sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Sa 18.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:X\to Y [/mm] eine stetige Abbildung zwischen den metrischen Räumen X und Y. Zeigen Sie, dass für jede Borelmenge B in Y die Menge [mm] f(B)^{-1} [/mm] eine Borelmenge in X ist.
(Tipp: Betrachten Sie das Mengensystem [mm] \{E\subseteq Y:f(E)^{-1}\in \mathcal{B}(X)\}) [/mm] |
Ich habe nur eine kleine "Nebenfrage".
Dazu muss ich aber kurz den Beweisgang aufschreiben:
Sei [mm] D:=\{E\subseteq Y:f(E)^{-1}\in \mathcal{B}(X)\}.
[/mm]
Ich behaupte, dass D eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra ist.
Da f nach Voraussetzung stetig ist, enthält diese [mm] \sigma [/mm] -Algebra alle offenen Mengen [Es gibt einen Satz, der sagt: Sind X,Y metrische Räume und [mm] [mm] f:X\to [/mm] Y: f stetig auf [mm] X\gdw f(U)^{-1} [/mm] aller offenen Mengen [mm] U\subseteq [/mm] Y wieder offen in X], also alle Borelmengen.
Ich muss aber ja jetzt noch zeigen, dass D tatsächlich eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra ist.
Hier ist nun meine Frage.
Ich kenne die Definition einer [mm] \sigma [/mm] -Algebra:
Definition:
http://de.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-Algebra
Meine Frage ist nur:
Was ist in diesem Beispiel nun mein [mm] \mathcal{A} [/mm] und was meine Grundmenge [mm] \Omega [/mm] ?
Mein [mm] \mathcal{A} [/mm] müsste ja das D sein.
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Huhu,
du sollst doch zeigen, dass es eine Sigma-Algebra auf X ist.
Was ist also deine Grundmenge?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Sa 18.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Das hieße dann, dass X die Grundmenge ist.
Da verstehe ich aber etwas nicht. |
Damit eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra vorliegt, muss ja u.a. X dann in [mm] \mathcal{A}=D [/mm] enthalten sein.
Aber X ist doch nicht in dieser Menge enthalten, oder??
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Huhu,
> Damit eine [mm]\sigma[/mm] -Algebra vorliegt, muss ja u.a. X dann
> in [mm]\mathcal{A}=D[/mm] enthalten sein.
korrekt.
> Aber X ist doch nicht in dieser Menge enthalten, oder??
Doch.
Beschreib doch mal in Worten, woraus die Menge D besteht. Und dann überleg dir mal, was [mm] $f^{-1}(Y)$ [/mm] ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 So 19.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
>
> Doch.
> Beschreib doch mal in Worten, woraus die Menge D besteht.
> Und dann überleg dir mal, was [mm]f^{-1}(Y)[/mm] ist.
>
Die Menge D ist die Menge aller Mengen, deren Urbild eine Borelmenge ist. [mm] f(Y)^{-1}=X.
[/mm]
Und nun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 So 19.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Doch.
> > Beschreib doch mal in Worten, woraus die Menge D
> besteht.
> > Und dann überleg dir mal, was [mm]f^{-1}(Y)[/mm] ist.
> >
>
> Die Menge D ist die Menge aller Mengen, deren Urbild eine
> Borelmenge ist. [mm]f(Y)^{-1}=X.[/mm]
>
> Und nun?
Deine Grundmenge ist X und [mm] \mathcal{A}= \mathcal{B}(X)
[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 So 19.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich verstehe nicht, wie Du darauf kommst, dass [mm] \mathcal{A}=\mathcal{B}(X)gilt...
[/mm]
Ich habe es so verstanden, dass [mm] \mathcal{A}=D [/mm] ist und X die Grundmenge ist.
| Aufgabe | Jedenfalls muss ich dann zeigen:
1.) [mm] X\in \mathcal{B}(X)
[/mm]
2.) [mm] A\in \mathcal{B}(X)\Rightarrow A^{C}=X\backslash A\in \mathcal{B}(X)
[/mm]
3.) [mm] A_1, A_2,... \in \mathcal{B}(X)\Rightarrow \bigcup_{n\in \IN} A_n\in \mathcal{B}(X) [/mm] |
Ich bin damit gerade überfordert.
[mm] \mathcal{B}(X) [/mm] ist doch die kleinste [mm] \sigma [/mm] -Algebra, die alle offenen Mengen von X enthält.
Wie kann ich 1., 2. und 3. zeigen? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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Huhu,
> Ich verstehe nicht, wie Du darauf kommst, dass
> [mm]\mathcal{A}=\mathcal{B}(X)gilt...[/mm]
das gilt auch gar nicht. Da hat Fred sich vertan 
> Ich habe es so verstanden, dass [mm]\mathcal{A}=D[/mm] ist und X
> die Grundmenge ist.
Mit deiner Grundmenge irrst du dich.
D besteht doch aus Teilmengen von Y, d.h. D ist eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf Y !
Und wenn du zeigen willst, dass D eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, so musst du die Eigenschaften einer solchen Nachweisen.
Ich mach mal i) und du die anderen Beiden:
i) zz. $Y [mm] \in [/mm] D$
Es gilt $Y [mm] \in [/mm] D$, da [mm] $f^{-1}(Y) [/mm] = X [mm] \in \mathcal{B}(X)$.
[/mm]
Nun bist du dran.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 So 19.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Also ich muss noch zeigen:
2.) [mm] A\in D\Rightarrow A^{C}\in D [/mm]
3.) [mm] A_1,A_2,...\in D\Rightarrow \bigcup_{n\in \IN}A_n\in D [/mm]
Zu 2.)
Sei [mm] A\in D. [/mm]
[mm] A^{C}=Y\backslash A\in D [/mm], denn da [mm] A^{C}\subseteq Y [/mm] und [mm] f^{-1}(A^{C})\subseteq f^{-1}(Y)=X, [/mm] folgt: [mm] f^{-1}(A^{C})\in \mathcal{B}(X). [/mm]
Zu 3.)
Seien [mm] A_1,A_2,...\in D. [/mm]
Dann sind [mm] A_1,A_2,... [/mm] sämtlich Teilmengen von Y und deren Urbilder sind Teilmengen von X und daher Borelmengen.
Dann ist auch die Vereinigung aller dieser Teilmengen von Y eine Borelmenge, also in D enthalten.
Stimmt das so??
Ich habe noch nie mit Borelmengen richtig gearbeitet, daher wäre es nett, wenn man mich berichtigt.
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> Also ich muss noch zeigen:
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> 2.) [mm]A\in D\Rightarrow A^{C}\in[/mm] D.
> 3.) [mm]A_1,A_2,...\in D\Rightarrow \bigcup_{n\in \IN}A_n\in[/mm]
> D.
Ja, na dann mal los.
Mach dir nochmal klar, was die Bedingung ist, damit ein Element in D liegt und dann weise diese für [mm] A^c [/mm] bzw $ [mm] \bigcup_{n\in \IN}A_n$ [/mm] nach.
Voraussetzungen benutzen!
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 So 19.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
[Hier nochmal mein letzter Vorschlag, da es eine ungünstige Überschneidung gab:]
Also ich muss noch zeigen:
2.) [mm] A\in D\Rightarrow A^{C}\in D [/mm]
3.) [mm] A_1,A_2,...\in D\Rightarrow \bigcup_{n\in \IN}A_n\in D [/mm]
Zu 2.)
Sei [mm] A\in D. [/mm]
[mm] A^{C}=Y\backslash A\in D [/mm], denn da [mm] A^{C}\subseteq Y [/mm] und [mm] f^{-1}(A^{C})\subseteq f^{-1}(Y)=X, [/mm] folgt: [mm] f^{-1}(A^{C})\in \mathcal{B}(X). [/mm]
Zu 3.)
Seien [mm] A_1,A_2,...\in D. [/mm]
Dann sind [mm] A_1,A_2,... [/mm] sämtlich Teilmengen von Y und deren Urbilder sind Teilmengen von X und daher Borelmengen.
Dann ist auch die Vereinigung aller dieser Teilmengen von Y eine Borelmenge, also in D enthalten.
Stimmt das so??
Ich habe noch nie mit Borelmengen richtig gearbeitet, daher wäre es nett, wenn man mich berichtigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 So 19.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> Sei [mm]A\in D.[/mm]
> [mm]A^{C}=Y\backslash A\in D [/mm], denn da
> [mm]A^{C}\subseteq Y[/mm] und [mm]f^{-1}(A^{C})\subseteq f^{-1}(Y)=X,[/mm]
> folgt: [mm]f^{-1}(A^{C})\in \mathcal{B}(X).[/mm]
also nur weil etwas eine Teilmenge von X ist, muss es nicht Element der Borel-Algebra sein! Nutze aus, dass [mm] f^{-1}(A^c) [/mm] = [mm] \left(f^{-1}(A)\right)^c
[/mm]
Und nun: Warum liegt das Urbild von [mm] A^c [/mm] auch in [mm] \mathcal{B}(X) [/mm] ?
Analog bei 3.)
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 So 19.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
> also nur weil etwas eine Teilmenge von X ist, muss es nicht
> Element der Borel-Algebra sein! Nutze aus, dass [mm]f^{-1}(A^c)[/mm]
> = [mm]\left(f^{-1}(A)\right)^c[/mm]
Warum gilt das?
>
> Und nun: Warum liegt das Urbild von [mm]A^c[/mm] auch in
> [mm]\mathcal{B}(X)[/mm] ?
Ich würde sagen, weil [mm] f^{-1}(A) [/mm] in X enthalten ist und das Komplement ist dann abgeschlossen (oder offen)?
Hmm..ich weiß es nicht genau!
>
> Analog bei 3.)
Warum liegt die Vereinigung in [mm] \mathcal{B}(X)...
[/mm]
Da habe ich gerade noch keine Idee, auch wenn Du sagst, dass es analog ist.
Ich glaube, ich habe gar nicht verstanden, was Borelmengen sind.
>
> MFG,
> Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 So 19.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
vorweg: Stell deine Fragen doch auch als solche und nicht als Mitteilungen!
> > also nur weil etwas eine Teilmenge von X ist, muss es nicht
> > Element der Borel-Algebra sein! Nutze aus, dass [mm]f^{-1}(A^c)[/mm]
> > = [mm]\left(f^{-1}(A)\right)^c[/mm]
>
> Warum gilt das?
Rechenregeln für Urbilder. Da sollte jemand mal Grundlagen nacharbeiten 
Analog gilt [mm] $f^{-1}(\bigcup A_n) [/mm] = [mm] \bigcup f^{-1}(A_n)$
[/mm]
> > Und nun: Warum liegt das Urbild von [mm]A^c[/mm] auch in
> > [mm]\mathcal{B}(X)[/mm] ?
>
> Ich würde sagen, weil [mm]f^{-1}(A)[/mm] in X enthalten ist und das
> Komplement ist dann abgeschlossen (oder offen)?
Nix mit abgeschlossen, sondern [mm] \mathcal{B}(X) [/mm] ist eine [mm] \sigma [/mm] Algebra, also gilt was, wenn nach Voraussetzungen $A [mm] \in [/mm] D$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 So 19.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
>
> Nix mit abgeschlossen, sondern [mm]\mathcal{B}(X)[/mm] ist eine
> [mm]\sigma[/mm] Algebra, also gilt was, wenn nach Voraussetzungen [mm]A \in D[/mm]
>
Du meinst die Eigenschaften einer [mm] \sigma [/mm] - Algebra?
Wenn nach Voraussetzung [mm] A\in [/mm] D, so gilt [mm] f^{-1}(A)\in \mathcal{B}(X) [/mm] und dann auch das Komplement hiervon, das entsprechend Deiner Umformung nach den Rechenregeln für Urbilder dann eben auch in [mm] \mathcal{B}(X) [/mm] liegt.
Ebenso nutzt man dann die Voraussetzung einer [mm] \sigma [/mm] - Algebra, dass die Vereinigung enthalten ist!!
Ich glaube, das habe ich nun verstanden!! Ich danke Dir dafür.
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Kannst Du mir vielleicht trotzdem erklären, was eine [mm] Borel\sigma [/mm] - Algebra und eine Borelmenge ist??
[Kann ich bestimmt immer gebrauchen!]
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> Du meinst die Eigenschaften einer [mm]\sigma[/mm] - Algebra?
> Wenn nach Voraussetzung [mm]A\in[/mm] D, so gilt [mm]f^{-1}(A)\in \mathcal{B}(X)[/mm]
> und dann auch das Komplement hiervon, das entsprechend
> Deiner Umformung nach den Rechenregeln für Urbilder dann
> eben auch in [mm]\mathcal{B}(X)[/mm] liegt.
Korrekt.
> Ebenso nutzt man dann die Voraussetzung einer [mm]\sigma[/mm] -
> Algebra, dass die Vereinigung enthalten ist!!
Genau.
> Kannst Du mir vielleicht trotzdem erklären, was eine
> [mm]Borel\sigma[/mm] - Algebra und eine Borelmenge ist??
Ok, also das leichte Vorweg:
Eine Borelmenge ist einfach ein Element der [mm] Borel-$\sigma$-Algebra.
[/mm]
Woraus besteht nun die Borel-Algebra?
Definiert ist sie als die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] die alle offenen Mengen enthält. (Oder in anderen Worten: Ein Erzeuger sind die offenen Mengen)
Mach dir klar, dass daraus sofort folgt, dass sie alle abgeschlossenen Mengen enthält. Ebenso bilden die abgeschlossenen Mengen einen Erzeuger.
Wirklich mehr kann man dazu nicht sagen, auf den rellen Zahlen gibt es noch viel mehr Erzeuger, die man angeben kann.
Dort kann man sich auf sämtliche Arten von Intervallen beschränken, also offene, abgeschlossene, halboffene, etc..
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:43 Mo 20.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Huhu,
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> > Ich verstehe nicht, wie Du darauf kommst, dass
> > [mm]\mathcal{A}=\mathcal{B}(X)gilt...[/mm]
>
> das gilt auch gar nicht. Da hat Fred sich vertan
>
Nein, Fred hat sich nicht vertan.
Wir haben: X,Y metrische Räume und f:X [mm] \to [/mm] Y stetig.
Weiter seien [mm] \mathcal{B}(X) [/mm] und [mm] \mathcal{B}(Y) [/mm] die Borelschen [mm] \sigma [/mm] - Algebren auf X bzw. Y.
Zu zeigen ist nun: f ist [mm] \mathcal{B}(X) [/mm] - [mm] \mathcal{B}(Y) [/mm] - messbar.
(so lautet die Aufgabenstellung umformuliert.)
Daher ist die Grundmenge der metr. Raum X und die auf X zu betrachtende [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist [mm] \mathcal{B}(X)
[/mm]
Das Mengensystem $D:= [mm] \{E\subseteq Y:f(E)^{-1}\in \mathcal{B}(X)\}) [/mm] $ zu betrachten, ist ein Hilfsmittel für den Beweis ("Prinzip der guten Mengen")
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Fred,
da hast du sicherlich recht, was die Aufgabenstellung angeht. Der Fragesteller wollte aber zeigen, dass D eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist und wollte die Definition prüfen, in denen aber nur [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] vorkommt.
Wenn er zeigen will, dass D eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, ist sein [mm] $\mathcal{A} [/mm] = D$ und Grundmenge Y, da D eine Algebra auf Y ist.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Mo 20.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> da hast du sicherlich recht, was die Aufgabenstellung
> angeht. Der Fragesteller wollte aber zeigen, dass D eine
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist und wollte die Definition prüfen, in
> denen aber nur [mm]\mathcal{A}[/mm] vorkommt.
>
> Wenn er zeigen will, dass D eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist, ist
> sein [mm]\mathcal{A} = D[/mm] und Grundmenge Y, da D eine Algebra
> auf Y ist.
>
> MFG,
> Gono.
Hallo Gono,
Du könntes recht haben. Ich hab oben nochmal nachgelesen, so ganz klar ist es nicht, was der Fragesteller mit [mm] \mathcal{A} [/mm] und [mm] \Omega [/mm] gemeint hat.
Deine Auslegung ist berechtigt (meine auch)
Gruß FRED
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Hallo Fred,
sein [mm] \mathcal{A} [/mm] war für ihn D und D ist nicht [mm] \mathcal{B}(X) [/mm]
MFG,
Gono.
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