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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Di 01.11.2005 | | Autor: | VHN |
hallo an alle!
ich hätte hier erstmal ein paar generelle fragen, und würd ich euch gerne um eine verbesserung meiner lösung bitten!  danke!
1. wenn eine menge A endlich (bzw. abzählbar) ist, ist es dann richtig, wenn ich sage, dass das komplement [mm] A^{c} [/mm] unendlich (bzw. nicht abzählbar ) ist?
2. stimmt meine lösung der aufgabe?
ich soll entscheiden, wann [mm] \cal{A}_{1} [/mm] und [mm] \cal{A}_{2} [/mm] eine algebra, oder sogar eine sigma-algebra bildet, wobei folgendes gegeben ist:
[mm] \omega \not= [/mm] {leere Menge} -> [mm] \omega [/mm] soll hier der grundraum sein.
[mm] \cal{A}_{1} [/mm] := {A [mm] \subset \omega [/mm] : A oder [mm] A^{c} [/mm] ist endlich}
[mm] \cal{A}_{2} [/mm] := {A [mm] \subset \omega [/mm] : A oder [mm] A^{c} [/mm] abzählbar}
meine lösung:
ich weise die 3 punkte nach, die eine algebra definieren:
(i) [mm] \omega \in \cal{A}_{1}, [/mm] da [mm] (\omega^{c} [/mm] = {leere menge} [mm] \in \cal{A}_{1}
[/mm]
(ii) sei A [mm] \in \cal{A}_{1}, [/mm] dann auch [mm] A^{c} \in \cal{A}_{1}, [/mm] da ( [mm] A^{c})^{c} [/mm] = A enldich [mm] \in \cal{A}_{1}
[/mm]
(iii) Seien [mm] A_{1}, A_{2} [/mm] ... [mm] \in \cal{A}_{1}, [/mm] so auch [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \cal{A}_{1}, [/mm] da (Fallunterscheidung)
(a) falls alle [mm] A_{n} [/mm] endlich, so auch [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} [/mm] endlich.
(b) falls alle [mm] A_{n} [/mm] unendlich, so gilt [mm] (\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n})^{c}endlich.
[/mm]
(c) falls einige [mm] A_{n} [/mm] endlich, die restlichen [mm] A_{n} [/mm] unendlich, so gilt [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} [/mm] unendlich, aber [mm] (\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n})^{c}endlich, [/mm] also [mm] \in \cal{A}_{1}.
[/mm]
für [mm] \cal{A}_{2} [/mm] würde ich im prinzip genauso analog argumentieren, aber ich weiß, dass das so nicht stimmen kann. nach meinem beweis bedeute dies doch, dass sowohl [mm] \cal{A}_{1} [/mm] als auch [mm] \cal{A}_{2} [/mm] beide sigma-algebren sind.
ich denke aber, dass eine davon eine mengenalgebra ist, aber ich weiß nicht genau welche.
stimmt meine argumentation von oben?
ist die fallunterscheidung überhaupt nötig?
ich habe hier angenommen, dass [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} [/mm] endlich bzw. unendlich ist, falls alle [mm] A_{n} [/mm] endlich bzw. unendlich sind. stimmt das so? und wenn ja, warum eigentlich? ich verstehe das nicht so.
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. vielen dank!
VHN
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> hallo an alle!
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> ich hätte hier erstmal ein paar generelle fragen, und würd
> ich euch gerne um eine verbesserung meiner lösung bitten!
> danke!
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> 1. wenn eine menge A endlich (bzw. abzählbar) ist, ist es
> dann richtig, wenn ich sage, dass das komplement [mm]A^{c}[/mm]
> unendlich (bzw. nicht abzählbar ) ist?
Das kommt auf die Grundmenge an .
Wenn die GrundmengeX= {1,2}= ist, A={1} [mm] \subsetX [/mm] ist
mitnichten [mm] A^c={2} [/mm] unendlich
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Deine Fallunterscheidungen sind doch arg umständlich, aber vom Ansatz her richtig. Nicht richtig sind jedoch im Allgemeinen die Behauptungen, die innerhalb der Fallunterscheidung gemacht werden. So ist die abzählbare Vereinigung endlicher Mengen im Allgemeinen nicht endlich (es sei denn der Grundraum [mm] $\Omega$ [/mm] ist endlich).
Daher musst du eine Fallunterscheidung machen:
Im Falle [mm] $|\Omega| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] sind beide Mengensysteme [mm] $\sigma$-Algebren.
[/mm]
Im Falle [mm] $|\Omega|= [/mm] + [mm] \infty$ [/mm] ist das erste Mengensystem eine Algebra und das zweite eine [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
Wie man die Fallunterscheidung einfacher führen kann, kannst du im Forum Uni-Stochastik nachlesen. Das habe ich dort vor kurzem erläutert.
Liebe Grüße
Stefan
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