\sigma Algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mi 08.10.2008 | | Autor: | ivory |
Sei [mm] \Omega [/mm] eine Menge. X : [mm] \Omega \rightarrow \IR [/mm] eine Abbildung. Bestimmen Sie die kleinste [mm] \sigma [/mm] -Algebra A (über [mm] \Omega) [/mm] bezüglich der X A - B [mm] (\IR)-messbar [/mm] ist. Zeigen Sie, dass das von Ihnen gewählte Mengensystem A eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 Do 09.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Sei [mm]\Omega[/mm] eine Menge. X : [mm]\Omega \rightarrow \IR[/mm] eine
> Abbildung. Bestimmen Sie die kleinste [mm]\sigma[/mm] -Algebra A
> (über [mm]\Omega)[/mm] bezüglich der X A - B [mm](\IR)-messbar[/mm] ist.
> Zeigen Sie, dass das von Ihnen gewählte Mengensystem A
> eine [mm]\sigma[/mm] -Algebra ist.
Was sind deine Ansätze? Wie ist Messbarkeit definiert? Kennst du den [mm]\sigma-Operator[/mm]?
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Zu dieser Frage habe ich mir mal meine Gedanken gemacht, die leider nicht wirklich viel Sinn machen.
Die Abbildung [mm]X: \Omega \rightarrow \IR[/mm] ist ja nicht naeher spezifiziert. Wenn z.B. alle Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] auf einen Punkt in [mm] \IR [/mm] abbilden, so muesste fuer [mm]\mathcal{A} = \{\Omega,\emptyset\}[/mm], X doch [mm]\mathcal{A}-\mathcal{B}(\IR)[/mm] messbar sein und damit [mm] \mathcal{A} [/mm] auch die kleinste [mm] \sigma-Algebra [/mm] ueber [mm] \Omega, [/mm] oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Sa 11.10.2008 | | Autor: | Blech |
[mm] $\mathcal{A}:= \bigcap_{X\text{ ist } \mathcal{M}-\mathcal{B}(\IR)-\text{mb}} \mathcal{M}$
[/mm]
D.h. wir schneiden über alle [mm] $\sigma$-Algebren, [/mm] bzgl. derer X [mm] $\mathcal{M}$-$\mathcal{B}(\IR)$-meßbar [/mm] ist.
Das Ergebnis ist zwangsläufig die kleinste (wieso?) [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] (wieso?) bzgl. derer X ist meßbar ist (wieso? =).
ciao
Stefan
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Hey Stefan,
vielen Dank fuer deine Antwort!
Wenn ich das, was du schreibst richtig sehe, so wuerde die Loesung der Aufgabe ja in etwa so aussehen:
Fuer jede Funktion [mm]X: \Omega \to \IR[/mm] gibt es genau eine kleineste [mm]\sigma-Algebra \mathcal{M}[/mm], bezueglich derer X [mm]\mathcal{M}-\mathcal{B}(\IR)[/mm]-messbar ist.
Die kleinste [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist damit die [mm]\sigma-Algebra[/mm], die alle Mengen M enthaelt, fuer die gilt [mm]M = X^{-1}(B) \in \mathcal{M}, \forall B \in \mathcal{B}(\IR)[/mm]
Dies ist die Spur [mm]\sigma-Algebra[/mm] ueber [mm] \mathcal{M} [/mm] :
[mm]\mathcal{A}:= \bigcap_{X\text{ ist } \mathcal{M}-\mathcal{B}(\IR)-\text{mb}} \mathcal{M}[/mm]
Denkst du das reicht so und sehe ich das ueberhaupt richtig?
Vielen Dank, gruss Tim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Di 14.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 So 12.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Sei [mm]\Omega[/mm] eine Menge. X : [mm]\Omega \rightarrow \IR[/mm] eine
> Abbildung. Bestimmen Sie die kleinste [mm]\sigma[/mm] -Algebra A
> (über [mm]\Omega)[/mm] bezüglich der X A - B [mm](\IR)-messbar[/mm] ist.
> Zeigen Sie, dass das von Ihnen gewählte Mengensystem A
> eine [mm]\sigma[/mm] -Algebra ist.
Man kann diese Aufgabe uebrigens noch viel expliziter loesen:
Wenn $X$ [mm] $A$-$B(\IR)$-messbar [/mm] sein soll, dann muss ja fuer jedes $M [mm] \in B(\IR)$ [/mm] gelten, dass [mm] $X^{-1}(M) \in [/mm] A$ liegt. Also muss $A$ das Mengensystem $A' := [mm] \{ X^{-1}(M) \mid M \in B(\IR) \}$ [/mm] enthalten.
So, und jetzt behaupte ich mal: $A'$ ist bereits eine [mm] $\sigma$-Algebra! [/mm] (Und damit waere $A'$ auch die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] bzgl. der $X$ [mm] $A$-$B(\IR)$-messbar [/mm] ist.)
LG Felix
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