\sigma Algebren < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Für eine nichtleere Menge [mm] \Omega [/mm] wird das Mengensystem
A':= [mm] \{A \subseteq : A \mbox{ist abzählbar oder} A^c \mbox{ ist abzählbar} \}
[/mm]
definiert. Man zeige:
a) Das Mengensystem A' ist eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra in [mm] \Omega
[/mm]
b) Es seien D':= [mm] \{\{ w\} : w \in \Omega\} [/mm] das System der Einpunktemengen in [mm] \Omega [/mm] und B' eine weitere [mm] \sigma [/mm] - Algebra in [mm] \Omega [/mm] mit D' [mm] \subseteq [/mm] B'. Dann folgt A' [mm] \subseteq [/mm] B'.
c) Zeigen Sie, dass A'= [mm] \sigma(D') [/mm] gilt.
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Hallo,
könnt ihr mir bitte bei dieser aufgabe helfen?
hab mal angefangen mit teil a) aufzuschreiben, was ich nachweisen müsste, doch irgendwie weiß ich nicht wie ich das genau machen soll...*help*
a)
(i) z.z. [mm] \Omega \in [/mm] A'.
(ii) z.z. A [mm] \in [/mm] A' [mm] \Rightarrow A^c \in [/mm] A'
(iii) z.z. [mm] A_1, A_2,... [/mm] \ in A' [mm] \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n}A_i \in [/mm] A'
viele grüße
riley
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> Für eine nichtleere Menge [mm]\Omega[/mm] wird das Mengensystem
> A':= [mm]\{A \subseteq : A \mbox{ist abzählbar oder} A^c \mbox{ ist abzählbar} \}[/mm]
>
> definiert.
Hallo,
das soll ja sicher
A':= [mm][mm] \{A \subseteq \Omega : A \mbox{ist abzählbar oder} A^c \mbox{ ist abzählbar} \}
[/mm]
heißen.
Man zeige:
>
> a) Das Mengensystem A' ist eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra in [mm]\Omega[/mm]
> hab mal angefangen mit teil a) aufzuschreiben, was ich
> nachweisen müsste, doch irgendwie weiß ich nicht wie ich
> das genau machen soll...*help*
> a)
> (i) z.z. [mm]\Omega \in[/mm] A'.
Wann ist [mm]\Omega \in[/mm] A'?
Wenn [mm] \Omega [/mm] abzählbar ist, oder das Komplement von [mm] \Omega [/mm] abzählbar.
>
> (ii) z.z. A [mm]\in[/mm] A' [mm]\Rightarrow A^c \in[/mm] A'
B in A'
<==> B abzählbar oder [mm] B^c [/mm] abzählbar
<==> [mm] B=(B^c)^c [/mm] abzählbar oder [mm] B^c [/mm] abzählbar
<==> ...
>
> (iii) z.z. [mm]A_1, A_2,...[/mm] \ in A' [mm]\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n}A_i \in[/mm]
> A'
[mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_i [/mm] ist entweder die Vereinigung abzählbarer Mengen, dann ist alles klar.
Andernfalls betrachtet man
[mm] (\bigcup_{i=1}^{n}A_i)^c. [/mm] Diese Menge ist abzählbar.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Riley |
HI Angela,
vielen Dank für deine Hilfe!
ja, soll natürlich "aus [mm] \Omega" [/mm] heißen.
(i) ist das schon die ganze Begründung?
Wenn [mm]\Omega[/mm] abzählbar ist, oder das Komplement von [mm]\Omega[/mm] abzählbar.
wei über das [mm] \Omega [/mm] weiß ich doch gar nichts...=?
(ii) das ist cool, aus [mm] A^c [/mm] abzählbar oder [mm] (A^c)^c [/mm] abzählbar folgt ja dann gleich , dass [mm] A^c \in [/mm] A', oder?
(iii)
Andernfalls betrachtet man
[mm](\bigcup_{i=1}^{n}A_i)^c.[/mm] Diese Menge ist abzählbar.
warum ist diese Menge abzählbar? Ist das Komplement von der Vereinigung nicht abzählbarer Mengen immer abzählbar...?
und hast du vielleicht noch einen Tip für mich wie ich die b) anfangen könnte?? irgendwie find ich diese Mengen-Beweisaufgaben gar nicht so einfach...
Viele Grüße
Riley
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> (i) ist das schon die ganze Begründung?
Nee, nicht ganz. Ich wollte Dir den Gag eigentlich nicht wegnehmen.
> Wenn [mm]\Omega[/mm] abzählbar ist, oder das Komplement von [mm]\Omega[/mm]
> abzählbar.
> wei über das [mm]\Omega[/mm] weiß ich doch gar nichts...=?
Das nicht. Aber das Komplement von [mm] \Omega [/mm] in [mm] \Omega [/mm] kennst Du recht gut...
>
> (ii) das ist cool, aus [mm]A^c[/mm] abzählbar oder [mm](A^c)^c[/mm] abzählbar
> folgt ja dann gleich , dass [mm]A^c \in[/mm] A', oder?
Genau.
>
> (iii)
> Andernfalls betrachtet man
> [mm](\bigcup_{i=1}^{n}A_i)^c.[/mm] Diese Menge ist abzählbar.
> warum ist diese Menge abzählbar? Ist das Komplement von
> der Vereinigung nicht abzählbarer Mengen immer
> abzählbar...?
Wie kannst Du [mm] (\bigcup_{i=1}^{n}A_i)^c [/mm] denn schreiben, wenn Du die große Klammer auflöst?
Das sollte Dich auf die Spur bringen.
(Was ist, wenn Du eine abzählbare Menge mit irgendeiner Menge schneidest?)
>
> und hast du vielleicht noch einen Tip für mich wie ich die
> b) anfangen könnte??
Ich glaube, ich habe nirgendwo behauptet, daß ich Wahrscheinlichkeitstheorie liebe oder kann...
Aber ein Hausfrauentip zu b) fällt mir just in diesem Moment doch ein:
wenn sämtliche einelementigen Mengen in der [mm] \sigma-Algebra [/mm] B' liegen, liegen auch alle abzählbaren Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] drin. Und, weil's eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist, auch die Komplemente. Oh - das war's dann ja schon!!!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Fr 20.04.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Angela,
> Nee, nicht ganz. Ich wollte Dir den Gag eigentlich nicht
das ist lieb  also ist das komplement von [mm] \Omega [/mm] einfach die leere Menge und die ist auf jeden fall abgeschlossen , d.h. damit ist (i) gezeigt?
> > (iii)
> Wie kannst Du [mm](\bigcup_{i=1}^{n}A_i)^c[/mm] denn schreiben, wenn
> Du die große Klammer auflöst?
nach De Morgan so: [mm] \cap_{i=1}^{n} A_i^c
[/mm]
>
> Das sollte Dich auf die Spur bringen.
du meinst die Spur [mm] \sigma [/mm] - Algebra ?? muss ich mit dieser def irgendetwas machen...?
> (Was ist, wenn Du eine abzählbare Menge mit irgendeiner
> Menge schneidest?)
hm, ich kenn mich mit mengen gar nicht gut aus, aber ich würd mal sagen sie ist wieder abzählbar??
> Ich glaube, ich habe nirgendwo behauptet, daß ich
> Wahrscheinlichkeitstheorie liebe oder kann...
aber du kannst es doch, pass auf bald magst du WT auch noch
> Aber ein Hausfrauentip zu b) fällt mir just in diesem
> Moment doch ein:
> wenn sämtliche einelementigen Mengen in der [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> B' liegen, liegen auch alle abzählbaren Teilmengen von
> [mm]\Omega[/mm] drin. Und, weil's eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist, auch die
> Komplemente. Oh - das war's dann ja schon!!!
besten dank für den hausfrauen tip, die sind doch immer gut! achsoo, das gilt wegen der eigenschaft (iii), wenn ich alle einelementigen Mengen irgendwie vereinige liegen auch alle weiteren abzählbaren drin... hab ich das so richtig verstanden...? klar, die komplemente dann auch *freu* danke!
dann muss ich nochmal über c) nachdenken, wenn ich noch ein hausfrauen tip brauch meld ich mich nochmal... 
viele grüße
riley
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>also ist das komplement von [mm]\Omega[/mm] einfach
> die leere Menge und die ist auf jeden fall abgeschlossen ,
> d.h. damit ist (i) gezeigt?
Ob die abgeschlossen ist, interessiert für die Frage, ob sie in A' liegt, überhaupt nicht. Aber sie ist gewiß abzählbar - man muß nicht lange zählen.
> > > (iii)
>
> > Wie kannst Du [mm](\bigcup_{i=1}^{n}A_i)^c[/mm] denn schreiben, wenn
> > Du die große Klammer auflöst?
>
> nach De Morgan so: [mm]\cap_{i=1}^{n} A_i^c[/mm]
Ja, als den Schnitt der Komplemente.
Nun betrachten wir ja gerade den Fall, daß eine der Mengen [mm] A_i [/mm] nicht abzählbar ist. Folglich ist mindestens eins der Komplemente abzählbar (denn die [mm] A_i [/mm] sind ja in A'.)
>
> >
> > Das sollte Dich auf die Spur bringen.
> du meinst die Spur [mm]\sigma[/mm] - Algebra ?? muss ich mit
> dieser def irgendetwas machen...?
Himmel, nein!!! D.h. ich weiß nicht. Ich weiß nicht, was die Spur einer Algebra ist.
Ich meinte das völlig ohne Hinztergedanken ganz umgangssprachlich.
>
> > (Was ist, wenn Du eine abzählbare Menge mit irgendeiner
> > Menge schneidest?)
> hm, ich kenn mich mit mengen gar nicht gut aus, aber ich
> würd mal sagen sie ist wieder abzählbar??
Klar. Im Schnitt liegen ja die gemeinsamen Elemente. Das können doch allerhöchstens soviele sein wie in der "kleinsten" Ausgangsmenge.
>
> > Aber ein Hausfrauentip zu b) fällt mir just in diesem
> > Moment doch ein:
> > wenn sämtliche einelementigen Mengen in der
> [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> > B' liegen, liegen auch alle abzählbaren Teilmengen von
> > [mm]\Omega[/mm] drin. Und, weil's eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist, auch die
> > Komplemente. Oh - das war's dann ja schon!!!
>
> besten dank für den hausfrauen tip, die sind doch immer
> gut! achsoo, das gilt wegen der eigenschaft (iii), wenn ich
> alle einelementigen Mengen irgendwie vereinige liegen auch
> alle weiteren abzählbaren drin... hab ich das so richtig
> verstanden...?
Ich glaube ja.
Du kannst jede abzählbare Menge als (abzählbare) Vereinigung einelementiger Mengen schreiben.
Bem.: eingangs hast Du in unter Punkt iii) eine endliche Vereinigung hingeschrieben.
Meines Wissens handelt es sich aber um die Vereinigung abzählbar vieler Teilmengen - und nur so klappt mein Lösungsvorschlag.
> klar, die komplemente dann auch
Genau.
>
> dann muss ich nochmal über c) nachdenken, wenn ich noch ein
> hausfrauen tip brauch meld ich mich nochmal...
Tu das. Ich müßte dann aber meine Unterlagen finden, nur mit dem Wischeimer und Putzlappen ist das für mich nicht mehr getan.
Mehr, als daß man zeigen mußt, daß A' die von D' erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist, also die kleinste [mm] \sigma-Algebra, [/mm] die D' enthält, weiß ich aus dem Stand nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Sa 21.04.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Angela,
vielen Dank nochmal, die beiden ersten Teilaufgaben hab ich nun verstanden!
zu c) hab ich nun folgendes:
erstmal die Definition :
Es sei M' [mm] \subseteq Potenzmenge(\Omega)=P'(\Omega). [/mm]
Dann heißt [mm] \sigma [/mm] (M') := [mm] \bigcap\{A' \subseteq P'(\Omega) : A' ist \sigma-Algebra und M' \subseteq A'\} [/mm] die von M' erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] und M' heißt Erzeuger von [mm] \sigma(M'). [/mm]
d.h. unser [mm] \sigma(D') [/mm] = [mm] \bigcap \{M' \subseteq P'(\Omega): M' ist \sigma - Algebra und D' \subseteq M'\}
[/mm]
Beh.: A' = [mm] \sigma(D')
[/mm]
in unsrem Skript hab ich zum Beweisen folgendes "Rezept" gefunden:
1.) zeige A' ist [mm] \sigma [/mm] - Algebra die D' enthält, dann folgt [mm] \sigma(D') \subseteq [/mm] A'.
ich mein dass A' [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist haben wir bei (i). Kann man sagen, dass D' ja lauter abzählbare Mengen enthält und deshalb auch abzählbar ist?
und damit aus A' ?
2.) zeige, dass für jede beliebige [mm] \sigma-Algebra [/mm] C' mit D' [mm] \subseteq [/mm] C' folgt, dass A' [mm] \subseteq [/mm] C'. D.h. dass dann A' [mm] \subseteq \sigma [/mm] (D')
hier hat ich aber noch keine zündende idee...
und aus 1.) und 2.) würde dann die Beh. folgen...
also wenn du noch eine tip hast, würd mich sehr freuen...
viele grüße
riley
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>
> in unsrem Skript hab ich zum Beweisen folgendes "Rezept"
> gefunden:
Ein Kochrezept. Gut. Damit kann ich umgehen.
> 1.) zeige A' ist [mm]\sigma[/mm] - Algebra die D' enthält, dann
> folgt [mm]\sigma(D') \subseteq[/mm] A'.
> ich mein dass A' [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist haben wir bei (i).
> Kann man sagen, dass D' ja lauter abzählbare Mengen enthält
> und deshalb auch abzählbar ist?
> und damit aus A' ?
Ich weiß nicht, warum es Dich interessiert, ob D' abzählbar ist. (?)
Entscheiden ist die Klärung der Frage, ob D' [mm] \subseteq [/mm] A'.
Und die Frage hast Du nahezu beantwortet: es enthält D' nur abzählbare Teilmengen von [mm] \Omega, [/mm] also ist D' [mm] \subseteq [/mm] A'.
>
> 2.) zeige, dass für jede beliebige [mm]\sigma-Algebra[/mm] C' mit D'
> [mm]\subseteq[/mm] C' folgt, dass A' [mm]\subseteq[/mm] C'. D.h. dass dann
> A' [mm]\subseteq \sigma[/mm] (D')
> hier hat ich aber noch keine zündende idee...
Komisch. Echt komisch!
Das haben wir doch in Teil b. gezeigt!!
(Die beliebige Menge hieß dort B'.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Angela,
nochmal vielen dank für deine Hilfe, ich hoff ich habs jetzt verstanden!!
Viele Grüße
Riley
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Falls [mm] \Omega [/mm] nicht abzählbar ist, so definiert
[mm] \mu [/mm] (A) := [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } A \mbox{ abzählbar} \\ 1, & \mbox{falls } A^c \mbox{ abzählbar} \end{cases},
[/mm]
A [mm] \in \cal{A}
[/mm]
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] \cal{A}. [/mm] |
Hallo,
ich hab noch eine Frage, dies ist eine weitere Teilaufgabe der ursprünglichen Aufgabe.
(i) z.z. [mm] \mu (\Omega) [/mm] =1, ist klar, da aus [mm] \Omega [/mm] nicht abzählbar folgt, dass [mm] \Omega^c [/mm] abzählbar ist.
(ii) z.z. für alle [mm] A_1, A_2,... \in \cal{A} [/mm] p.d. gilt [mm] \mu( \cup_{k=1}^{\infty} A_k) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \mu(A_k).
[/mm]
Könnt ihr mir hier helfen?
Ich dachte an eine Falluntescheidung für [mm] A_i [/mm] abzählbar bzw nicht. d.h.
1.) [mm] A_i [/mm] abzb. dann ist [mm] \cup A_i [/mm] abzb. und [mm] \mu(\cup A_k) [/mm] = 0....??
nur ich versteh nicht wie ich auf die Summe kommen kann?
Viele Grüße,
Riley
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> Falls [mm]\Omega[/mm] nicht abzählbar ist, so definiert
>
> [mm]\mu[/mm] (A) := [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{falls } A \mbox{ abzählbar} \\ 1, & \mbox{falls } A^c \mbox{ abzählbar} \end{cases},[/mm]
>
> A [mm]\in \cal{A}[/mm]
>
> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm]\cal{A}.[/mm]
> Hallo,
> ich hab noch eine Frage, dies ist eine weitere Teilaufgabe
> der ursprünglichen Aufgabe.
> (ii) z.z. für alle [mm]A_1, A_2,... \in \cal{A}[/mm] p.d. gilt [mm]\mu( \cup_{k=1}^{\infty} A_k)[/mm]
> = [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \mu(A_k).[/mm]
>
> Könnt ihr mir hier helfen?
Hallo,
wenn alle [mm] A_i [/mm] abzählbar sind, ist die Sache ja eh klar.
Betrachen wir also den Fall, daß es Mengen [mm] A_i [/mm] gibt, welche nicht abzählbar sind.
A. Unter den [mm] A_i [/mm] ist genau eine Menge, etwa [mm] A_1, [/mm] welche nicht abzählbar ist.
Als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist [mm] B:=\bigcup_{i=2}^{\infty}A_i [/mm] abzählbar, offensichtlich ist B [mm] \subset \Omega, [/mm] also ist B [mm] \in \cal{A}.
[/mm]
Es ist [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=A_1\cup [/mm] B nicht abzählbar. Da [mm] \cal{A} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist, ist [mm] A_1\cup [/mm] B [mm] \in \cal{A}, [/mm] also ist [mm] (A_1\cup B)^c [/mm] abzählbar.
Folglich ist [mm] \mu(A_1\cup [/mm] B)=1, und es ist [mm] \mu(A_1)+\mu(B)=0+1=1, [/mm] denn [mm] A_1\in \cal{A}, [/mm] also [mm] A_1^c [/mm] abzählbar.
B. Es gibt (mindestens) zwei Mengen, etwa [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2, [/mm] die nicht abzählbar sind.
Dann ist [mm] \mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=1.
[/mm]
Angenommen, [mm] \mu(A_1)=1 [/mm] und [mm] \mu(A_2)=1.
[/mm]
==> [mm] A_1^c [/mm] abzählbar und [mm] A_2^c [/mm] abzählbar.
==> abzählbar ist [mm] A_1^c \cup A_2^c=(A_1 \cap A_2)^c \in \cal{A}
[/mm]
==> [mm] A_1 \cap A_2 [/mm] ist nicht abzählbar. Widerspruch zur Disjunktheit.
Also können nicht beide das Maß 1 haben.
Also hat etwa [mm] A_2 [/mm] das Maß 0. Dann ist [mm] A_2 [/mm] abzählbar. Widerspruch.
Also kann in [mm] (A_1, A_2,...) [/mm] mit paarweise disjunkten Mengen nur eine nichtabzählbare Menge enthalten sein.
Ich hoffe, das stimmt jetzt in groben Zügen. Wichtig ist, daß [mm] \cal{A} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist. Das hatten wir ja vor Urzeiten gezeigt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 So 26.08.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Angela,
vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 26.08.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo,
hab doch nochmal eine Frage, hab zu schnell über den Anfang hinweg gelesen, warum ist alles klar, wenn alle [mm] A_i [/mm] abzählbar sind?
Wie kann dieser Fall überhaupt eintreten, wenn [mm] \Omega [/mm] doch nicht abzählbar ist?
Viele Grüße,
Riley
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> Hallo,
>
> hab doch nochmal eine Frage, hab zu schnell über den Anfang
> hinweg gelesen, warum ist alles klar, wenn alle [mm]A_i[/mm]
> abzählbar sind?
Hallo,
die abzählbare vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar, daher ist [mm] \bigcup A_i [/mm] abzählbar, also ist das Maß =0.
Und da alle [mm] A_i [/mm] abzählbar sind, ist daß Maß einer jeglichen dieser Mengen =0 , also auch die Summe.
>
> Wie kann dieser Fall überhaupt eintreten, wenn [mm]\Omega[/mm] doch
> nicht abzählbar ist?
Die [mm] A_i [/mm] sind ja beliebige Elemente von [mm] \cal{A}, [/mm] also Teilmengen von [mm] \Omega, [/mm] die abzählbar sind, oder deren Komplement abzählbar ist.
Da können wir doch zwecks Vereinigung solche aussuchen, die abzählbar sind.
Und da die zu beweisende Aussage für beliebige Familien [mm] (A_i|i\in \IN) [/mm] zu beweisen ist, müssen wir diesem Fall auch tatsächlich Beachtung schenken.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Mo 27.08.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Angela,
ah okay, besten Dank nochmal. Jetzt hab ichs ganz verstanden! :)
Viele Grüße,
Riley
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