sin(x) nach x auflösen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 So 19.08.2007 | | Autor: | belimo |
Hallo Leute
Ich sollte gerade die Gleichung [mm] sin(t+\bruch{\pi}{2})=sin(2t) [/mm] nach t auflösen, wobei t zwischen [mm] 0 Aber ich stehe da gerade auf dem Schlauch...
Hat mir jemand ein Tipp? Danke im Voraus.
Grüsse belimo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 So 19.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Was hältst Du davon (In Deinem Intervall):
Überlege Dir zunächst, dass [mm] $\sin(t+\pi/2)=\cos(t)$.
[/mm]
Dann wird Deine Aufgabe zu
[mm] \sin(2t)=\cos(t)
[/mm]
Links kannst Du ein Additionstheorem anwenden:
[mm] 2\sin(t)\cos(t) [/mm] = [mm] \cos(t)
[/mm]
Durch cos(t) (ist von 0 verschieden) teilen:
[mm] $2\sin(t) [/mm] = 1$
und schließlich
$t=arcsin(1/2)$
fetig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 So 19.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Ich bereue. Siehe meine modifizierte Mitteilung.
Liebe Grüße
Markus-Hermann!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 So 19.08.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Hallo
Nein, es ist mathematisch natürlich nicht zulässig.
Dadurch habe ich auch einige Lösungen unterschlagen.
Gruß
Reinhold
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 So 19.08.2007 | | Autor: | kochmn |
* Bei [mm] $f(g_1(x)) [/mm] = [mm] f(g_2(x))$
[/mm]
Darfst Du das $f$ kürzen, wenn es im Wertebereich von [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] zumindest mal injektiv
(und damit umkehrbar, darum geht's!) ist. Beim sin(x) ist das im Intervall [mm] $x\in (0,\pi)$
[/mm]
nicht gegeben.
* Die einzige "einfachere" Methode die mir einfiele wäre, dass Du Dir die Graphen der
beiden Funktionen ansiehst und direkt erkennst, dass
[mm] $\sin((\pi/2)-\alpha)=\sin((\pi/2)+\alpha)$
[/mm]
und dann argumentierst, dass
[mm] $\sin(2\cdot 30^\circ) \overset{!}{=} \sin(90^\circ+30^\circ)$,
[/mm]
da [mm] $\sin(2\cdot 30^\circ) [/mm] = [mm] \sin(90^\circ-30^\circ)$
[/mm]
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 So 19.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo nochmal,
ich verstehe nicht ganz wie Dein Dreieck aussieht, gehe aber mal davon aus, dass die Formel
$U = 2*cos(t)+sin(2t)$
schon stimmt. Nun nachdem Du Dich bereits mit den AT's angefreundet hast...
Deine Aufgabe lautet umformuliert: Maximiere
$U = [mm] 2\cos(t) [/mm] + 2 [mm] \sin(t)\cos(t)$
[/mm]
oder lassen wir die 2 als positive Konstante weg und klammern aus: Maximiere
[mm] $\tilde{U} [/mm] = [mm] \cos(t)(1+\sin(t))$
[/mm]
Wie Du vorschlägst: Ableiten und 0 setzen...
$0 [mm] \overset{!}{=} -\sin(t)(1+\sin(t))+\cos^2(t)$
[/mm]
$0 [mm] \overset{!}{=} -\sin(t)+\cos^2(t)-\sin^2(t)$
[/mm]
$0 [mm] \overset{!}{=} -\sin(t)+\cos(2t)$
[/mm]
Hier schlage ich Dir nun die Substitution u=2t vor mit [mm] $u\in (0,\pi)$ [/mm] und überlasse
Dir den Rest als Übungsaufgabe! 
Liebe Grüße
MHK.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 19.08.2007 | | Autor: | belimo |
Hm, danke nochmals für die Erläuterungen.
> [mm]U = 2*cos(t)+sin(2t)[/mm]
>
> schon stimmt.
In der Aufgabe steht ja, dass das gleichschenkliche Dreieck mit cos(t), cos(t), und sin(2t) gebildet wird. deshalb...
> Deine Aufgabe lautet umformuliert: Maximiere
>
> [mm]U = 2\cos(t) + 2 \sin(t)\cos(t)[/mm]
>
> oder lassen wir die 2 als positive Konstante weg und
> klammern aus: Maximiere
>
> [mm]\tilde{U} = \cos(t)(1+\sin(t))[/mm]
>
> Wie Du vorschlägst: Ableiten und 0 setzen...
>
> [mm]0 \overset{!}{=} -\sin(t)(1+\sin(t))+\cos^2(t)[/mm]
>
> [mm]0 \overset{!}{=} -\sin(t)+\cos^2(t)-\sin^2(t)[/mm]
>
> [mm]0 \overset{!}{=} -\sin(t)+\cos(2t)[/mm]
Konnte ich nachvollziehen (Ableiten, Produktregel und umformen).
> Hier schlage ich Dir nun die Substitution u=2t vor mit [mm]u\in (0,\pi)[/mm]
Mit deinem Tipp Substitution komme ich allerdings leider nicht sehr weit.
Ich nehme an so, oder:
[mm] 0=-sin(\bruch{u}{2})*cos(u)
[/mm]
Dann könnte ich höchstens noch das cos eliminieren bzw. ersetzen:
[mm] 0=-sin(\bruch{u}{2})*sin(u+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Da hat das Substituieren irgendwie nicht so viel gebracht. Statt t und 2t habe ich jetzt einfach [mm] \bruch{1}{2}*u [/mm] und u. Aber wahrscheinlich sehe ich nur das nicht, was ich schon lange wissen sollte
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Hallo belimo!
Anstatt der genannten Substitution kannst Du für $0 \ = \ [mm] -\sin(t)+\cos(2t)$ [/mm] auch folgendes Additionstheorem verwenden:
[mm] $\cos(2t) [/mm] \ = \ [mm] 1-2*\sin^2(t)$
[/mm]
Damit erhältst Du dann folgende Gleichung: $0 \ = \ [mm] -\sin(t)+1-2*\sin^2(t)$
[/mm]
Wenn Du nun $z \ := \ [mm] \sin(t)$ [/mm] substituierst, hast Du eine quadratische Gleichung, die Du sicher lösen kannst (z.B. mit der  p/q-Formel):
$0 \ = \ [mm] -z+1-2*z^2$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo
Streiche "sin" einfach weg und löse dann die entstandene Gleichung nach t auf.
Gruß
Reinhold
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