singuläre punkte? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Fr 12.09.2008 | | Autor: | koko |
hallo leute,
hab da eine wichtige frage....wäre froh wenn mich jemand aufklären würde.
was is der unterschied zwischen einem stationären und einem singulären punkt, bzw. was sind diese beide sachen?
ich hab da eine definition vor mir liegen die da besagt, das ein sta. punkt gradf(x,y)=(0,0) sein muss....und beim sing. punkt noch zusätzlich f(x,y)=(0,0) sein muss....sprich, ein sing. punkt ist gleichsam ein stat. punkt aber nicht unbedingt umgekehrt....ist diese definition korrekt?
hab da nämlich einpaar aufgaben mit extremwerten mit und ohne nebenbedingungen mit 2 oder 3 veränderlichen zu lösen...aber bevor ich die beispiele und meine lösungen poste wollte ich mal das hier klarstellen.
ich hoffe jemand kann mir helfen, wäre sehr dankbar...
bedanke mich mal schon im voraus,
mfg
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> was is der unterschied zwischen einem stationären und einem
> singulären punkt, bzw. was sind diese beide sachen?
Hallo,
im Zusammenhang mit der Extremwertberechnung werden die Stellen mit gradf=0 je nach Autor stationäre Punkte, singuläre Punkte oder kritische Punkte genannt.
Da gibt's keinen Unterschied.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Sa 13.09.2008 | | Autor: | koko |
danke für deine antwort,
aber irgendwie kann ich mich trotzdem nicht beruhigen, denn in meinem skript...welches vor mir liegt steht geschrieben, das gradf=0 ein stat. punkt ist und das f=0 und gradf=0 ein sing. punkt ist, aber vielleicht liegts ja daran das das skriptum von einem komischen professor geschrieben wurde.
ich präsentiere hier mal ein bsp. damit mir das vieleicht klarer wird.
f(x,y)= [mm] x^3+2xy^2-x^2-2y^2
[/mm]
ausgerechnet ergibt sich folgendes:
p1(0,0), p2(2/3,0)...das sind, so wie ich das verstanden habe die stat. punkte, oder anders gesagt...die möglichen sing. punkte, also setzt man beides in f(x,y) ein und schaut für welches es zu f(x,y)=0 wird...also für p1(0,0)...was meint ihr (du) dazu?
hier ein weiteres bsp.:
[mm] x^2+yz+z^3x=3...gibt [/mm] es hier singuläre punkte is die frage?
nach der berechnung komme ich auf folgendes:
p1(0,0,0,)...aber wenn ich diese werte dann in f(x,y,z) einsetze krieg ich nicht f(x,y,z)=0 raus, ist das nun ein sing. punkt oder doch keins?...irgendwie verwirrend
kann mir jemand behilflich sein?
danke
mfg
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> aber irgendwie kann ich mich trotzdem nicht beruhigen, denn
> in meinem skript...welches vor mir liegt steht geschrieben,
> das gradf=0 ein stat. punkt ist und das f=0 und gradf=0 ein
> sing. punkt ist, aber vielleicht liegts ja daran das das
> skriptum von einem komischen professor geschrieben wurde.
Hallo,
nein, ich glaube nicht, daß wir dem Professor die Schuld in die Schuhe schieben können.
Es liegt wohl eher am Begriff "singulär", zu welchem das Fremdwörterbuch mitteilt: vereinzelt vorkommend, einen Sonder- oder Einzelfall darstellend.
Schau auch bei der ![[]](/images/popup.gif) wikipedia.
Man kann diesen Begriff also recht vielseitig verwenden, kommt eben drauf an, was man im Moment gerade darunter versteht.
>
> ich präsentiere hier mal ein bsp. damit mir das vieleicht
> klarer wird.
>
> f(x,y)= [mm]x^3+2xy^2-x^2-2y^2[/mm]
>
> ausgerechnet ergibt sich folgendes:
>
> p1(0,0), p2(2/3,0)...das sind, so wie ich das verstanden
> habe die stat. punkte,
Ja, dies sind die Punkte, an denen der Gradient der Funktion =0 ist, die Punkte, an denen lokale Extremwerte vorliegen können.
Diese Punkte werden oft als stationäre Punkte oder kritische Punkte bezeichnet (- manche bezeichnen sie auch als singuläre Punkte!)
Man interessiert sich nun dafür, ob diese Punkte wirklich Extrema sind oder womöglich Sattelpunkte.
Um das herauszufinden, kann man versuchen, mit der Hessematrix weiterzukommen, ich nehme an, daß das bei Euch dran war.
Die Hessematrix ist negativ definit für (0,0), also haben wir an dieser Stelle ein Maximum,
die Hessematrix ist indefinit im Punkt [mm] (\bruch{2}{3}, [/mm] 0), also haben wir hier einen Sattelpunkt.
Mit der Angabe, daß man im Punkt (0,0) ein lokales Maximum hat und daß der Funktionswert an dieser Stelle =0 ist, wäre die Aufgabe gelöst.
Ich bin mir 100%-tig sicher, daß Dein Prof. zufrieden wäre.
Dein Prof. hat aber einen anderen Weg gewählt um herauszufinden, was es mit der Stelle (0,0) auf sich hat, einen Weg, welcher ohne die Hessematrix auskommt. Und zwar funktioniert dieser Weg, weil f(0,0)=0 ist:
Die Funktion [mm] f(x,y)=x^3+2xy^2-x^2-2y^2 [/mm] kann man auch schreiben als [mm] f(x,y)=(x^2+2y^2)(x-1).
[/mm]
Jetzt kann man sich die Höhenlinien für den Funktionswert 0 anschauen und diese in ein Koordinatensystem zeichen. Wann hat man den Funktionswert 0?
Es ist f(x,y)=0 <==> x-1=0 oder [mm] x^2+2y^2 [/mm] <==> x=1 oder (x,y)=(0,0).
Trägst Du das in ein Koordinatensystem ein, hast Du für x=1 eine Parallele zur y-Achse, zusätzlich einen einzelnen (singulären) Punkt an der Stelle (0,0).
Nun kann man sich überlegen, welche Vorzeichen die Funktion f über den Gebieten hat.
Ergebnis: rechts der Parallen ist das Vorzeichen immer positiv, links der parallen negativ (mit Ausnahme des einen Punktes).
Der Punkt (0,0) mit seinem Funktionswert f(0,0)=0 ist also umgeben von Punkten, deren Funktionswerte allesamt kleiner als 0 sind. Also muß in dem Punkt ein lokales Maximum sein.
Immer, wenn einzelne Punkte mit dem Funktionswert 0 in positiven oder negativen Gebieten liegen, handelt es sich um lok. Extrema, und das meint Dein Prof. hier.
(Du kannst aber Extremwerte, deren Funktionswert nicht 0 ist, nicht so einfach untersuchen).
An diesen Höhenlinien für f(x,y)=0 siehst Du auch, wo es Sattelpunkte gibt, deren Funktionswert=0 ist, nämlich dort, wo sich Höhenlinien schneiden und pos. und negative Gebiete zusammenkommen.
> [mm]x^2+yz+z^3x=3...gibt[/mm] es hier singuläre punkte is die
> frage?
Hier ist mir nicht klar, was man tun soll. Ist [mm] x^2+yz+z^3x=3 [/mm] eine Nebenbedingung für eine zu untersuchende Funktion f in Abhängigkeit von x,y,z ?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Sa 13.09.2008 | | Autor: | koko |
als erstes möchte ich mir sehr herzlichst bei dir bedanken angela, hilfst mir immer wieder weiter, danke!
okey soweit so gut, ahh übrigens [mm] x^2+yz+z^3x=3 [/mm] ist wohl keine nebnbedingung so wie das auffasse, wahrscheinlich meint er damit [mm] f(x,y,z)=x^2+yz+z^3x-3...und [/mm] diese soll auf ihre sing. punkte untersucht werden.
hab gleich noch eine frage, wo du ja das thema nebenbedingngen angesprochen hast  ...wenn ich ne extremwertaufgabe habe mit einer nebenbedingung, dann kann ich ja mittels der methode nach langrange die stat. punkte herausfinden, jedoch nicht die extramas, die in sing. punkten der nebenbedingung liegen oder?
beispiel: f(x,y)=x und [mm] NB(x,y)=y^2-x^3 [/mm] <--- neilsche parabel
nach lagrange existiert hier kein extrema, jedoch ist der punkt p(0,0) ein minimum, sprich weils das extremum in einem sing. punkt der neilschen parabel liegt, wie kann ich dann diese funktion oder bei funktionen im allgmeinen wissen, wenn ich nach lagrange rechne, das keine weiteren extramas vorhanden sind, die auf sing. punkten der NB liegen? oder eben diese sing. punkte berechnen?
nochmald dankeschön im voraus,
liebe grüße
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> als erstes möchte ich mir sehr herzlichst bei dir bedanken
> angela, hilfst mir immer wieder weiter, danke!
Gern geschehen.
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> okey soweit so gut, ahh übrigens [mm]x^2+yz+z^3x=3[/mm] ist wohl
> keine nebnbedingung so wie das auffasse, wahrscheinlich
> meint er damit [mm]f(x,y,z)=x^2+yz+z^3x-3...und[/mm] diese soll auf
> ihre sing. punkte untersucht werden.
Aha.
Bei der Untersuchung des Gradienten stellt man fest, daß man für (0,0,0) einen kritischen Punkt hat.
Die Frage ist: Sattelpunkt oder Extremwert?
Anhand der Indefinitheit der Hessematrix weiß man: Sattelpunkt.
Man kann dies jedoch auch so untersuchen.
Es ist f(0,0,0)=-3.
Nun kommt es darauf an, daß man herausfindet, ob ies eine Umgebung gibt, in der alle Funktionswerte größer (bzw. kleiner) sind, oder ob es in jeder Umgebung sowohl größere als auch kleinere Funktionswerte gibt.
Setze ich für x,y,z alles positive Zahlen ein, so ist der Funktionswert an diesen Stellen größer als -3.
Setze ich für x,z pos. Zahlen ein und für y negative, so ist der Funktionswert kleiner als -3.
Also Sattelpunkt.
(Ich gehe nicht davon aus, daß Dein Professor sich brennend dafür interessiert, wo diese Funktion =0 ist. ich vermute sehr stark, daß er wissen will, wo Extremwerte sind.)
>
> hab gleich noch eine frage, wo du ja das thema
> nebenbedingngen angesprochen hast ...wenn ich ne
> extremwertaufgabe habe mit einer nebenbedingung, dann kann
> ich ja mittels der methode nach langrange die stat. punkte
> herausfinden, jedoch nicht die extramas, die in sing.
> punkten der nebenbedingung liegen oder?
Bitte sag' nie wieder Extremas. Das ist grauenhaft!
Ein Extremum, zwei, drei viele Extrema.
Wenn Du Dir nicht sicher bist, verwende Extremwert und Extremwerte.
Für Minimum, Maximum genauso.
> beispiel: f(x,y)=x und [mm]NB(x,y)=y^2-x^3[/mm] <--- neilsche
> parabel
Ja. Diese Neillsche Parabel ist im Punkt (0,0) nicht diffbar - und in diesem Sinne hier singulär. (Mannomann, mit diesem universell einsetzbaren Wort kann man wirklich ganz schön verwirren.)
Mit Lagrange kann man also f über der Neillschen Parabel nur mit Ausnahme dieses Punktes untersuchen. Ergebnis: kein kritischer Punkt.
Es ist immer gut, sich eine Skizze von den zu untersuchenden Gebieten zu machen. Die Stellen, an denen das Gebiet Knicke hat, sind Stellen, die gesondert zu untersuchen sind.
Man muß nu nalso den Punkt (0,0) unter die Lupe nehmen.
Es ist f(0,0)=0, und es kommt darauf an, daß man nun herausfindet, was mit den Funktionswerten in der Umgebung dieses Punktes ist.
Der Skizze entnimmt man, daß nur pos. x-Werte vorkommen, und wegen f(x,y)=0 sind somit alle Funktionswerte positiv mit Ausnahme dessen im Punkt (0,0). Also hat man bei (0,0) ein Minimum.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Sa 13.09.2008 | | Autor: | koko |
hallo nochmals, tut mir leid das ich dich (euch) wieder "belästige", aber irgendwie hauts noch nicht ganz hin...
das mit der singularität hab ich so eingermaßen gut verstanden.
hab trotzdem paar fragen, die 1.) wäre dann bezüglich des vorherigen beispiels [mm] f(x,y,z)=x^2+yz+z^3x-3, [/mm] hier steht nämlich in der angabe, gibt es singuläre punkte?...der punkt (0,0,0) ist ja ein kritischer (stat. punkt) oder?
2.) bezüglich des beispiels f(x,y)=x, [mm] NB(x,y)=y^2-x^3... [/mm] hier muss ich doch die funktion f(x,y) auf Extrema untersuchen...mit lagrange erreich ich das ja auch...aber du sagst nachher
Es ist immer gut, sich eine Skizze von den zu untersuchenden Gebieten zu machen. Die Stellen, an denen das Gebiet Knicke hat, sind Stellen, die gesondert zu untersuchen sind.
Man muß nu nalso den Punkt (0,0) unter die Lupe nehmen.
Es ist f(0,0)=0, und es kommt darauf an, daß man nun herausfindet, was mit den Funktionswerten in der Umgebung dieses Punktes ist.
Der Skizze entnimmt man, daß nur pos. x-Werte vorkommen, und wegen f(x,y)=0 sind somit alle Funktionswerte positiv mit Ausnahme dessen im Punkt (0,0). Also hat man bei (0,0) ein Minimum.
ja der skizze entnimmt man, das nur pos. werte vorkommen....aber der skizze der neilschen parabel, und mit dieser schlussfolgerung gehe ich dann auf f(x,y) los...das is mir noch nicht ganz klar.
3.) ich hab die funktion f(x,y,z)= x+y+z unter der NB(x,y,z)=xyz=1
wenn ich hier mit lagrange vorgehe dann komme ich auf ein extremum mit p(1,1,1), was ein minimum ist...aber wie weis ich jetzt nun, das keine exrema auf singulären punkten der NB liegen, wie bei der neilschen parabel...sieht man das oder muss ich diese auch noch extra untersuchen?
hab eigentlich noch eine frage, aber diese lass ich mal vorerst weg...denn ich hab ja so ohnehin schon genug gefragt...nicht das es zu unübersichtlich wird.
wie immer ein dankeschön im voraus,
mfg
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> hab trotzdem paar fragen, die 1.) wäre dann bezüglich des
> vorherigen beispiels [mm]f(x,y,z)=x^2+yz+z^3x-3,[/mm] hier steht
> nämlich in der angabe, gibt es singuläre punkte?...der
> punkt (0,0,0) ist ja ein kritischer (stat. punkt) oder?
Hallo,
das steht felsenfest.
Außerdem wissen wir inzwischen, daß es ein Sattelpunkt ist.
Ich denke, Du wirst nicht gut schlafen können, bevor Du weißt, ob Du "singulär" ankreuzen mußt oder nicht.
Frag Deinen Prof. Du kannst das guten Gewissens tun, denn Du hast ja alles brav durchgerechnet und willst nur wissen, was er in diesem Zusammenhang unter "singulär" versteht.
Wenn er darunter versteht, daß singuläre Punkte die Stellen sind, an denen Extremwerte vorliegen, wäre es keiner. Wie gesagt: frag nach.
>
> 2.) bezüglich des beispiels f(x,y)=x, [mm]NB(x,y)=y^2-x^3...[/mm]
> hier muss ich doch die funktion f(x,y) auf Extrema
Du bist sehr gelehrig - und das ganz ohne Leckerlies oder Mohrrüben!
> untersuchen...mit lagrange erreich ich das ja auch...aber
> du sagst nachher
>
>
> Es ist immer gut, sich eine Skizze von den zu
> untersuchenden Gebieten zu machen. Die Stellen, an denen
> das Gebiet Knicke hat, sind Stellen, die gesondert zu
> untersuchen sind.
> Man muß nu nalso den Punkt (0,0) unter die Lupe nehmen.
> Es ist f(0,0)=0, und es kommt darauf an, daß man nun
> herausfindet, was mit den Funktionswerten in der Umgebung
> dieses Punktes ist.
> Der Skizze entnimmt man, daß nur pos. x-Werte vorkommen,
> und wegen f(x,y)=0 sind somit alle Funktionswerte positiv
> mit Ausnahme dessen im Punkt (0,0). Also hat man bei (0,0)
> ein Minimum.
>
> ja der skizze entnimmt man, das nur pos. werte
> vorkommen....aber der skizze der neilschen parabel, und mit
> dieser schlussfolgerung gehe ich dann auf f(x,y) los...das
> is mir noch nicht ganz klar.
Mach Dir klar, was Du tust, wenn Du eine Funktion f unter einer Nebenbedingung untersuchst: Du schaust Dir die Funktion nur über diesem Bereich an.
Wenn Du f über der Neillschen Parabel betrachtest, interessierst Du Dich nur für die Funktionswerte von Punkten, die auf der Neillschen Parabel liegen.
Wenn ich übers Funktionsgebirge wandere, dann so, daß die Projektion auf die Landkarte die Neillsche Parabel ist. Nur dieser Weg interessiert. Und das ist ein Weg mit positiven x-Werten.
> 3.) ich hab die funktion f(x,y,z)= x+y+z unter der
> NB(x,y,z)=xyz=1
>
> wenn ich hier mit lagrange vorgehe dann komme ich auf ein
> extremum mit p(1,1,1), was ein minimum ist...aber wie
> weis ich jetzt nun, das keine exrema auf singulären punkten
> der NB liegen, wie bei der neilschen parabel...sieht man
> das oder muss ich diese auch noch extra untersuchen?
Es gibt hier keine solche bösen Stellen.
Ich weiß natürlich nicht, was Ihr zu den Nebenbedingungen aufgeschrieben habt.
Falls Ihr was mit Jacobimatrix hattet: die Jacobimatrix der Nebenbedingung ist J(x,y)=(yz, xz, xy) und sobald zwei der x,y,z [mm] \not=0 [/mm] sind, ist sie [mm] \not=0.
[/mm]
Die Punkte, für die eine der Koordinaten =0 ist, berühren uns hier sowieso nicht, denn diese erfüllen ja die Nebenbedingung nicht.
(Bei der Neillschen Parabel ist das anders: die Jacobimatrix der Nebenbedingung ist [mm] (3x^2, [/mm] 2y), und der Punkt, für welche sie =0 ist, interessierte uns sehr wohl.)
Gruß v. Angela
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