sinh + cosh < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a)Begründe, warum die Umkehrfunktion von sinh für alle reelen Zahlen gilt, im Fall von cosh jedoch nicht.
b)Zeige dass [mm] sinh^{−1}(y) [/mm] = ln(y [mm] +\wurzel{y^{2} + 1}) [/mm] die Umkehrfunktion von sinh ist und gebe den Def. Bereich an.
z = [mm] e^{x} [/mm] |
Hi,
bräuchte etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.
a) So weit ich weiß ist das einfach eine Definitionssache, der cosh h ist ja auch nicht bijektiv, also Definitionsbereich 1 gegen unendlich, Abbildebereich 0 gegen unendlich ?
bei der b stehe ich gerade total auf dem Schlauch... Ich verstehe hpts. den Ansatz nicht..
Im vorraus besten Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
zur a): nein, so kann man nicht argumentieren. Untersuche beide Funktionen auf strenge Monotonie!
zur b): vertauche in der Funktionsgleichung
[mm] y=sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
[/mm]
die Variablen und löse anschließend nach y auf. Dabei muss man an einer Stelle eine Mehrdeutigkeit auflösen. Es wird dir helfen, wenn du an dieser Stelle bedenkst, dass eine Umkehrabbildung stets von der Ziel- in die Urbildmenge abbildet.
Hilft dir das weiter?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Also ertsmal danke.
Könnte ich das dann so machen:
sinh= [mm] \bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x})
[/mm]
[mm] e^{x} [/mm] ist monoton wachsend
[mm] e^{-x} [/mm] ist monoton fallend, also ist [mm] -e^{-x} [/mm] auch monoton wachsend
[mm] e^{x}+(-e^{-x}) [/mm] müsste ja dann als Summe auch monoton wachsend sein
für cosh dann ähnlich wobei dann die Grenzen auffallen?
Oder wie sollte ich das anders machen? Ich vermute ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch;).
ok bei der b bin ich denke etwas weiter ;)
[mm] y=sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{z-\bruch{1}{z}}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{z-1}{2z}
[/mm]
*2z
[mm] 2zy=z^{2}-1
[/mm]
[mm] z^{2}-2yz=1
[/mm]
.erweitern mit [mm] y^{2}
[/mm]
[mm] z^{2}-2yz [/mm] + [mm] y^{2}=1 [/mm] + [mm] y^{2} [/mm]
.binomische Formel
[mm] (z-y)^{2}=y^{2}+1
[/mm]
.Wurzel
[mm] (z-y)=\wurzel{ y^{2}+1}
[/mm]
z=y+ [mm] \wurzel{ y^{2}+1}
[/mm]
[mm] .z=e^{x} [/mm] .ln anweden wg. hochzahl
x=ln [mm] (y\pm\wurzel{y^{2}+1}
[/mm]
der log ist ja dann glaub nur für reele Zahlen definiert wodurch minus wegfällt oder?
(hoffentlich ist das jetzt net falsch)
ich glaube ich bin hier auch über 2 Riesenumwege zum Ziel marschiert
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Monotonieeigenschaften der Hyperbelfunktionen untersucht man zweckmäßigereise mit der 1. Ableitung. Hat diese überall das gleiche Vorzeichen, so ist die Funktion in jedem Fall streng monoton.
Zur Gleichung der Umkehrfunktion: das ist schon alles richtig, inkl. der vorgenommenen Substitution (ok: die Vorgehensweise beim Auflösen der Gleichung könnte man noch optimieren  ). Dein Argument hinsichtlich der Vorzeichenwahl ist ja für diesen Fall nicht falsch. Aber bei anderen Aufgaben dieser Art wirst du es nicht zur Verfügung haben. Daher mein Hinweis, genau zu überprüfen, ob die ermittelte Umkehrfunktion auch wirklich die Definitionsmenge der Grundfunktion als Wertemenge hat.
Deine Argumentation könntest du noch durch die Ungleichung
[mm] y<\wurzel{y^2+1} \gdw
[/mm]
[mm] y^2
untermauern.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
