sinh / cosh Monotonie < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 So 18.05.2008 | | Autor: | Audience |
| Aufgabe | Die Hyperbelfunktionen sinh und cosh sind definiert durch:
sinhx := [mm] \bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}
[/mm]
und
coshx := [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}
[/mm]
für x [mm] \in \IR
[/mm]
Ausserdem lassen sie sich durch Potenzreihen darstellen:
[mm] {sinh(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}}
[/mm]
und
[mm] {cosh(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n)!}x^{2n}}
[/mm]
Beweisen Sie, dass sinh : [mm] \IR \to \IR [/mm] und cosh : ]0, [mm] \infty[ \to \IR [/mm] streng monton wachsend sind. |
Hallo,
ich bin irgendwie nicht richtig mit der Aufgabe zurecht gekommen. Ich habe nur immer halbe Ansätze, aber will was formales haben. Die Funktionen ableiten als Beweis dürfen wir nicht. Also würde ich zu den Potenzreihen tendieren. Wenn ich z. B. x < y vorraussetze und dann in die Potenzreihen einsetze, dann sehe ich, dass sinhy > sinhx und coshy > coshx, aber das scheint mir wenig mathematisch.
Wie sehen eure Lösungswege / Ideen aus?
Gruß,
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Die Hyperbelfunktionen sinh und cosh sind definiert durch:
> sinhx := [mm]\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}[/mm]
> und
> coshx := [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}[/mm]
> für x [mm]\in \IR[/mm]
> Ausserdem lassen sie sich durch
> Potenzreihen darstellen:
> [mm]{sinh(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}}[/mm]
>
> und
> [mm]{cosh(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n)!}x^{2n}}[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass sinh : [mm]\IR \to \IR[/mm] und cosh : ]0,
> [mm]\infty[ \to \IR[/mm] streng monton wachsend sind.
> Hallo,
>
> ich bin irgendwie nicht richtig mit der Aufgabe zurecht
> gekommen. Ich habe nur immer halbe Ansätze, aber will was
> formales haben. Die Funktionen ableiten als Beweis dürfen
> wir nicht. Also würde ich zu den Potenzreihen tendieren.
> Wenn ich z. B. x < y vorraussetze und dann in die
> Potenzreihen einsetze, dann sehe ich, dass sinhy > sinhx
> und coshy > coshx, aber das scheint mir wenig
> mathematisch.
Mathematisch könntest du das so aufschreiben, dass die Partialsummenfolge von sinh(y) bei jedem Glied größer als bei sinh(x) ist, was dann bedeuten würde, dass der Grenzwert nicht kleiner sein kann.
Achte hierbei auf meine Formulierung: "... [kann] nicht kleiner sein ...". Könnte aber vll genauso groß sein, d.h. du musst hast dann bloß die Monotonie, aber nicht die strenge Monotonie gezeigt. Musst also noch n Wort dazu verlieren, warum es streng ist.
> Wie sehen eure Lösungswege / Ideen aus?
>
> Gruß,
> Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 18.05.2008 | | Autor: | Audience |
Gibts da keine schöne Variante, in dem man wie bei den Folgen was abziehen kann oder den Quotient bildet und dann stehts da?
Gruß,
Thomas
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Hallo Thomas,
> Gibts da keine schöne Variante, in dem man wie bei den
> Folgen was abziehen kann oder den Quotient bildet und dann
> stehts da?
Ja, kannst du, du musst dabei benutzen, dass die e-Funktion (streng) monoton steigend ist
Nimm dir für den [mm] $\sinh(x)$ [/mm] mal [mm] $x_1,x_2\in\IR$ [/mm] her mit [mm] $x_1
Dann ist zu zeigen, dass [mm] $\sinh(x_1)<\sinh(x_2)$ [/mm] ist bzw. [mm] $\frac{\sinh(x_1)}{\sinh(x_2)}<1$
[/mm]
Setzen wir die Definition vom [mm] $\sinh$ [/mm] ein, so ist also zu zeigen: [mm] $\frac{\frac{e^{x_1}-e^{-x_1}}{2}}{\frac{e^{x_2}-e^{-x_2}}{2}}<1$
[/mm]
Also [mm] $\frac{\frac{e^{x_1}-e^{-x_1}}{2}}{\frac{e^{x_2}-e^{-x_2}}{2}}=\frac{e^{x_1}-e^{-x_1}}{e^{x_2}-e^{-x_2}}=\frac{e^{x_1}\cdot{}\left(1-e^{-2x_1}\right)}{e^{x_2}\cdot{}\left(1-e^{-2x_2}\right)} [/mm] \ < \ [mm] 1\cdot{}\frac{1-e^{-2x_1}}{1-e^{-2x_2}}$
[/mm]
Denn wegen [mm] $x_1
Nun du weiter, schätze ähnlich mit dem strengen Wachstum der Exponentialfkt. den Rest ab...
> Gruß,
> Thomas
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 So 18.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Die Hyperbelfunktionen sinh und cosh sind definiert durch:
> sinhx := [mm]\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}[/mm]
Hallo,
[mm] e^x [/mm] ist monoton wachsend.
[mm] e^{-x} [/mm] ist monoton fallend, also ist [mm] -e^{-x} [/mm] auch monoton wachsend.
[mm] e^{x}-e^{-x}=e^{x}+(-e^{-x}) [/mm] ist dann als Summe zweier monoton wachsender Funktionen ebenfalls monoton wachsend.
Bei coshx müsste man nachweisen, dass für x>0 [mm] e^x [/mm] stärker wächst, als [mm] e^{-x} [/mm] währenddessen fällt.
Viele Grüße
Abakus
> und
> coshx := [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}[/mm]
> für x [mm]\in \IR[/mm]
> Ausserdem lassen sie sich durch
> Potenzreihen darstellen:
> [mm]{sinh(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}}[/mm]
>
> und
> [mm]{cosh(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n)!}x^{2n}}[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass sinh : [mm]\IR \to \IR[/mm] und cosh : ]0,
> [mm]\infty[ \to \IR[/mm] streng monton wachsend sind.
> Hallo,
>
> ich bin irgendwie nicht richtig mit der Aufgabe zurecht
> gekommen. Ich habe nur immer halbe Ansätze, aber will was
> formales haben. Die Funktionen ableiten als Beweis dürfen
> wir nicht. Also würde ich zu den Potenzreihen tendieren.
> Wenn ich z. B. x < y vorraussetze und dann in die
> Potenzreihen einsetze, dann sehe ich, dass sinhy > sinhx
> und coshy > coshx, aber das scheint mir wenig
> mathematisch.
> Wie sehen eure Lösungswege / Ideen aus?
>
> Gruß,
> Thomas
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