skalarprodukt mit Integrale < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Mi 26.10.2005 | | Autor: | geckolux |
Hallo wiedermal, hoffe es geht euch gut.
Ich habe noch eine Aufgabe bei der mir absolut nichts einfällt, da ich die Überlegung der Integrale hier nicht verstehe, hoffe wiedermal auf tolle Tipps von euch:
Gegeben sei V = span(1, t, [mm] t^{2} [/mm] , [mm] t^{3} [/mm] ) [mm] \subset \IR[/mm] [t] und
s(f,g) = [mm] \integral_{-1}^{1} [/mm] {f(t)g(t) dt} .
i) Zeigen Sie, daß durch s ein Skalarprodukt auf V definiert wird.
ii) Bestimen Sie die Matrix [mm] M_{B} [/mm] für die Basis B = (1, t, [mm] t^{2} [/mm] , [mm] t^{3} [/mm] ) .(Wie geht das noch mal?? :( )
iii) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von V (geht das genau gleich trotz Polynome wie normal? )
Hoffe ihr wisst Tipps,
mfg
gecko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Mi 26.10.2005 | | Autor: | statler |
Hallo nach Letzeburg!
> Hallo wiedermal, hoffe es geht euch gut.
> Ich habe noch eine Aufgabe bei der mir absolut nichts
> einfällt, da ich die Überlegung der Integrale hier nicht
> verstehe, hoffe wiedermal auf tolle Tipps von euch:
>
> Gegeben sei V = span(1, t, [mm]t^{2}[/mm] , [mm]t^{3}[/mm] ) [mm]\subset \IR[/mm]
> [t]und
> s(f,g) = [mm]\integral_{-1}^{1}[/mm] {f(t)g(t) dt} .
> i) Zeigen Sie, daß durch s ein Skalarprodukt auf V definiert wird.
Da mußt du doch nur die entsprechenden Regeln, die ein Skalarprodukt definieren, nachrechnen, und das machst du mit der Integralrechnung, angewandt auf Polynome, die max. 6. Grades sind. Das kannst du vom LK!
> ii) Bestimen Sie die Matrix [mm]M_{B}[/mm] für die Basis B = (1, t, [mm]t^{2}[/mm] , [mm]t^{3}[/mm] ) .(Wie geht das noch mal?? :( )
Ja genau, wie geht das noch mal? Vielleicht einen Blick in ein geeignetes Lehrbuch riskieren? Tip: Man nehme für f und g alle Kombinationen von Basiselementen. Da du Polynome integrieren kannst, kriegst du das auch locker hin!
> iii) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von V (geht das genau gleich trotz Polynome wie normal? )
Allerdings, das geht genau wie immer: Man fängt mit einem Basiselement an, bringt es auf die richtige Länge, nimmt dann das nächste Basiselement, ändert es um ein Vielfaches des neuen ersten ab, bis die beiden orthogonal sind, bringt dann das zweite auf die richtige Länge usw. usw.
> Hoffe ihr wisst Tipps,
Sind sie auch ausreichend?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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