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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Sa 16.02.2013 | | Autor: | melodie |
| Aufgabe | Skizzieren Sie folgende Teilmengen.
z [mm] \in \IC [/mm] :
1. [mm] -\pi \le \bruch{z-\overline{z}}{i} \le 2\pi [/mm]
2. [mm] \bruch{z+3}{z-3} \le [/mm] 1
3. [mm] z^{4}= [/mm] -625 |
Ich kenne die Rechenregeln und kann einfache komplexe Zahlen zeichnen komme aber mit z in Brüchen der Potenz nicht klar.
die erste Gleichung habe ich durch Umformen auf [mm] -\pi \le [/mm] 2y [mm] \le 2\pi [/mm] gebracht kann ich jetzt durch zwei teilen und [mm] -\bruch{1}{2}\pi \le [/mm] y [mm] \le \pi [/mm] zeichen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Skizzieren Sie folgende Teilmengen.
> z [mm]\in \IC[/mm] :
> 1. [mm]-\pi \le \bruch{z-\overline{z}}{i} \le 2\pi[/mm]
> 2. [mm]\bruch{z+3}{z-3} \le[/mm] 1
> 3. [mm]z^{4}=[/mm] -625
> Ich kenne die Rechenregeln und kann einfache komplexe
> Zahlen zeichnen komme aber mit z in Brüchen der Potenz
> nicht klar.
>
> die erste Gleichung habe ich durch Umformen auf [mm]-\pi \le[/mm]
> 2y [mm]\le 2\pi[/mm] gebracht kann ich jetzt durch zwei teilen und
> [mm]-\bruch{1}{2}\pi \le[/mm] y [mm]\le \pi[/mm] zeichen?
Du solltest Deine Überlegungen besser vorrechnen. Ich mache das nun mal
beispielhaft für Dich:
Du schreibst [mm] $z=x+i*y\,$ [/mm] mit $x,y [mm] \in \IR\,,$ [/mm] genauer: [mm] $x:=\text{Re}(z)$ [/mm] und [mm] $y:=\text{Im}(z)\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $$-\pi \le \frac{z-\overline{z}}{i} \le 2\pi$$
[/mm]
[mm] $$\iff -\pi \le \frac{i*(z-\overline{z})}{-1} \le 2\pi$$
[/mm]
[mm] $$\iff -\pi \le i*(\overline{z}-z) \le 2\pi$$
[/mm]
[mm] $$\iff -\pi \le [/mm] i*(x-i*y-(x+i*y)) [mm] \le 2\pi$$
[/mm]
[mm] $$\iff -\pi \le [/mm] i*(-2*i*y) [mm] \le 2\pi$$
[/mm]
[mm] $$\iff -\pi \le [/mm] 2y [mm] \le 2\pi$$
[/mm]
(Nebenbei sollte man sich immer die untenstehenden Gleichheiten merken,
auch, wenn sie 'trivial' herleitbar sind (benutze $z=x+iy$ und [mm] $\overline{z}=x-iy$): [/mm]
$z - [mm] \overline{z}=2*i*\text{Im}(z)\,,$ $z+\overline{z}=2*\text{Re}(z)$ [/mm] und [mm] $z*\overline{z}=|z|^2=|z^2|\,.$)
[/mm]
Und natürlich darfst Du diese Ungleichung durch $2 > [mm] 0\,$ [/mm] teilen (wegen $2 > [mm] 0\,$ [/mm]
"bleiben dann alle Ungleichheitszeichen 'erhalten'") und erhältst dann
[mm] $$-\pi \le [/mm] 2y [mm] \le 2\pi$$
[/mm]
[mm] $$\iff -\pi/2 \le [/mm] y [mm] \le \pi$$
[/mm]
D.h., etwas "lax" gesagt : Du zeichnest nun im kartesischen [mm] $x,y\,$-Koordinatensystem [/mm]
die beiden Geraden gegeben durch die Geradengleichungen
[mm] $$g_1(x)=\pi\;\;\;\;\;\;(x \in \IR)$$
[/mm]
und
[mm] $$g_2(x)=-\pi/2\;\;\;\;\;\;(x \in \IR)$$
[/mm]
und die gesuchte Menge ist der "Streifen", der durch diese Geraden
eingesperrt wird (INKLUSIVE der beiden eingrenzenden Geraden)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> 2. [mm]\bruch{z+3}{z-3} \le[/mm] 1
benutze zunächst
[mm] $$\frac{z+3}{z-3}=\frac{z+3}{z-3}*\frac{\overline{z-3}}{\overline{z-3}}\,,$$
[/mm]
damit zunächst mal der Nenner des Bruches rein reell wird [mm] $\text{(}$typisch [/mm] bei
Brüchen komplexer Zahlen [mm] $z,w\,$ [/mm] mit $w [mm] \not=0$: [/mm] Es ist
[mm] $$\frac{z}{w}=\frac{z}{w}*\frac{\overline{w}}{\overline{w}}=\frac{z*\overline{w}}{|w|^2}\,.\text{)}$$ [/mm]
Damit die Aufgabe sinnvoll ist, musst Du zunächst erstmal die $z [mm] \in \IC$ [/mm]
"herausfiltern", für die der Bruch [mm] $\tfrac{z+3}{z-3}$ [/mm] reellwertig ist.
(D.h. der erste Teil der Aufgabe besteht darin, zu sagen: Wenn [mm] $\IC \ni [/mm] z=x+iy$ mit
$x,y [mm] \in \IR\,,$ [/mm] welche Bedingungen ist an $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] zu stellen, damit
[mm] $$(z+3)*\overline{(z-3)}=(x+3+iy)*(x-3-iy)=\ldots \in \IR$$
[/mm]
gilt?
Tipp: Bei den [mm] $\ldots$ [/mm] weiterrechnen!)
> 3. [mm]z^{4}=[/mm] -625
Sagt Dir ![[]](/images/popup.gif) die Eulersche Identität (klick!) etwas?
Es ist ja [mm] $z^4=-625 \iff (z/5)^4=-1$ [/mm] und damit [mm] $|z/5|=1\,.$ [/mm] Das kannst Du
dabei verwenden!
Eventuell arbeitet ihr mit der Formel von de Moivre...
Gruß,
Marcel
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