spektralradius (symm. Matrix) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 So 01.10.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es sei $A [mm] \in \IR^{N,N}$ [/mm] eine symmetrische, positiv definite Matrix mit dem größten EW [mm] $\lambda_{\max}$ [/mm] und dem kleinsten EW [mm] $\lambda_{\min}$.
[/mm]
(i) Berechnen Sie den Spektralradius der Matrix $H = [mm] I_N [/mm] - [mm] \omega [/mm] A$, wobei [mm] $\omega \in \IR$ [/mm] und [mm] $I_N$ [/mm] die [mm] $N\times [/mm] N$ Einheitsmatrix bezeichnet.
(ii) Für welchen Wert von [mm] $\omega$ [/mm] gilt [mm] $\rho(H) [/mm] <1$?
(iii) Für welchen Wert von [mm] $\omega$ [/mm] wird [mm] $\rho(H)$ [/mm] am kleinsten? |
Hallo!
könnt ihr mir bitte bei dieser aufgabe helfen?
zum einen da A symm ist, ist A ja orthogonal diagbar, d.h. es gibt eine solche Zerlegung: A = Q A [mm] Q^t [/mm] = Q A [mm] Q^{-1} [/mm] = D. (mit EW [mm] \lambda_1 [/mm] ... [mm] \lambda_n [/mm] auf der Diagonalen)
hab das versucht mal hier einzusetzen: H = I - [mm] \omega [/mm] A = I - [mm] \omega Q^t [/mm] D Q = I - [mm] \omega [/mm] Q [mm] D^t Q^t [/mm] (da A symm)... bin damit noch nicht weitergekommen..?
zum andren könnte man ja annehmen, dass [mm] \gamma [/mm] die EW von H sind, also das gilt:
Hx = [mm] \gamma [/mm] x
(I - [mm] \omega [/mm] A) x = [mm] \gamma [/mm] x
und dann versuchen [mm] \gamma [/mm] durch [mm] \lambda [/mm] und [mm] \omega [/mm] auszudrücken?
aber wie werd ich den vektor x auf beiden seiten los?
zu (ii) und (iii) hab ich mir überlegt ob die neumannsche reihe weiterhilft?
also das würde ja heißen, dass wenn [mm] \omega=1 [/mm] und genau dann wenn [mm] \rho(H) [/mm] < 1 ist, dann kovergiert [mm] \summe_{i=1}^{n} H^n [/mm] . Außerdem würde dann [mm] (I-H)^{-1} [/mm] existieren. aber irgendwie brauch ich das ja andersrum...
bin ich so ganz auf der falschen fährte??
viele grüße
riley
ps: schon gefragt: http://www.matheboard.de/index.php
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Hallo Riley,
> zum einen da A symm ist, ist A ja orthogonal diagbar, d.h.
> es gibt eine solche Zerlegung: A = Q A [mm]Q^t[/mm] = Q A [mm]Q^{-1}[/mm] =
> D. (mit EW [mm]\lambda_1[/mm] ... [mm]\lambda_n[/mm] auf der Diagonalen)
> hab das versucht mal hier einzusetzen: H = I - [mm]\omega[/mm] A =
> I - [mm]\omega Q^t[/mm] D Q = I - [mm]\omega[/mm] Q [mm]D^t Q^t[/mm] (da A symm)...
> bin damit noch nicht weitergekommen..?
> zum andren könnte man ja annehmen, dass [mm]\gamma[/mm] die EW von
> H sind, also das gilt:
> Hx = [mm]\gamma[/mm] x
> (I - [mm]\omega[/mm] A) x = [mm]\gamma[/mm] x
> und dann versuchen [mm]\gamma[/mm] durch [mm]\lambda[/mm] und [mm]\omega[/mm]
> auszudrücken?
> aber wie werd ich den vektor x auf beiden seiten los?
Indem Du Dir vor Augen führst was ax=bx für den Vektor x und reelle(oder auch komplexe) Zahlen a,b bedeutet. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]") Ein Gleichungssystem!
Und wann gilt für alle Gleichungen Gleichheit:
1. x ist komplett 0 (Widerspruch zu x ist Eigenvektor)
2. ..... (*)
> zu (ii) und (iii) hab ich mir überlegt ob die neumannsche
> reihe weiterhilft?
> also das würde ja heißen, dass wenn [mm]\omega=1[/mm] und genau
> dann wenn [mm]\rho(H)[/mm] < 1 ist, dann kovergiert [mm]\summe_{i=1}^{n} H^n[/mm]
> . Außerdem würde dann [mm](I-H)^{-1}[/mm] existieren. aber irgendwie
> brauch ich das ja andersrum...
Genau. Deswegen nützt das hier nichts.
Wenn Du (*) hast. Hast Du eine Funktion neue Eigenwerte in Abhängigkeit von den alten Eigenwerten. Die kannst Du dir ja mal anschauen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mo 02.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
ah, ein LGS. also meinst du ax=bx so:
a [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n} [/mm] = b [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n}
[/mm]
also [mm] ax_1 [/mm] = b [mm] x_1
[/mm]
[mm] ax_2 [/mm] = b [mm] x_2
[/mm]
...
[mm] ax_n [/mm] = b [mm] x_n [/mm] , d.h. a= b ??
und hier bei der aufgabe:
(I- [mm] \omega [/mm] A) x = [mm] \gamma [/mm] x
Ix - [mm] \omega [/mm] Ax = [mm] \gamma [/mm] x
Ix - [mm] \omega \lambda [/mm] x = [mm] \gamma [/mm] x
(I- [mm] \omega \lambda [/mm] I) x = [mm] \gamma [/mm] x
[mm] \pmat{ 1 - \omega \lambda & 0 & 0 & ... \\ ... &...&...&... \\ ... & ... & ... \\ ...& 0 & 0 & 1- \omega \lambda} [/mm] x = [mm] \gamma \vektor{x_1 \\ ... \\...\\ x_n}
[/mm]
stimmt das mit der einheitsmatrix so? weil dann bekomm ich ja so ein LGS: Ax=bx ?
und die gleichungen wären dann
(1- [mm] \omega \lambda) x_1 [/mm] = [mm] \gamma x_1
[/mm]
...
(1- [mm] \omega \lambda) x_n [/mm] = [mm] \gamma x_n [/mm] ?
also [mm] 1-\omega \lambda [/mm] = [mm] \gamma [/mm] ?
ist das die funktion die du gemeint hast??
viele grüße
riley =)
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Hallo Riley,
Ja genau das meinte ich.
Die Funktion bildet nun die [mm] \lambda [/mm] 's auf die [mm] \gamma [/mm] 's ab oder anders das Intervall [mm] $[\lambda_{min},\lambda_{max}]$ [/mm] auf das Intervall [mm] $[\gamma_{min},\gamma_{max}]$ [/mm] Was ist das für eine Funktion? -> wo nimmt sie ihre Maxima an?
viele Grüße
P.S.: [mm] I*x-\omega*\lambda*x=\gamma*x \gdw (1-\omega*\lambda)*x=\gamma*x [/mm] kann man auch schreiben. Das erspart die Matrix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mo 02.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hallo Mathemaduenn!
hm, dürfte ich die funktion dann auch so schreiben:
[mm] f_{\omega} (\lambda) [/mm] = 1 - [mm] \omega \lambda [/mm] = [mm] \gamma
[/mm]
und dann ableiten?
[mm] f'(\lambda) [/mm] = - [mm] \omega [/mm] = 0 , [mm] \omega [/mm] = 0 ?
aber um die maxima rauszubekommen, bringt die ableitung ja nichts, weil das [mm] \lambda [/mm] ja dann wegfällt, oder?
also wenn ich [mm] \lambda_{max} [/mm] einsetze, dann müsste 1 - [mm] \omega \lambda [/mm] = [mm] \gamma_{min} [/mm] am kleinsten werden, oder? aber über [mm] \omega [/mm] weiß ich ja gar nichts weiter...?
*grübel*
hm, und für [mm] \lambda_{min} [/mm] : 1- [mm] \omega \lambda_{min} [/mm] = [mm] \gamma_{max}?
[/mm]
darf man das so einfach sagen?
und der spektralradius ist dann [mm] |\gamma_{max}| [/mm] = |1- [mm] \omega \lambda_{min}| [/mm] ?
viele grüße
riley
ps: danke für den hinweis, aber warum darf man einfach 1 schreiben, wenn man doch eigentlich einen vektor ausklammert?
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Hallo Riley,
> hm, dürfte ich die funktion dann auch so schreiben:
> [mm]f_{\omega} (\lambda)[/mm] = 1 - [mm]\omega \lambda[/mm] = [mm]\gamma[/mm]
>
> und dann ableiten?
> [mm]f'(\lambda)[/mm] = - [mm]\omega[/mm] = 0 , [mm]\omega[/mm] = 0 ?
>
> aber um die maxima rauszubekommen, bringt die ableitung ja
> nichts, weil das [mm]\lambda[/mm] ja dann wegfällt, oder?
Das ist eine Gerade die hat freilich keine lokalen Extrema -> die Extrema liegen am Rand des Intervalls. Wenn man zusätzlich beachtet das die [mm] \lambda [/mm] alle positiv sind( wegen der positiven Definitheit) und die Gerade nur einen freien Parameter hat kann man sicher Grenzen für das [mm] \omega [/mm] angeben.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Di 03.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hallo Mathemaduenn!
oh ja, das mit den lokalen extrw war käse...
also ich betrachte diese gerade: [mm] \gamma [/mm] = [mm] -\lambda \omega [/mm] +1 , wobei [mm] \lambda>0 [/mm] und fest ist, [mm] \omega [/mm] ist der freie parameter, hab ich dich so richtig verstanden?
kann ich dann einfach annehmen, dass auch [mm] \omega [/mm] >0 ?
dann ist [mm] \gamma [/mm] am größten, wenn ich [mm] \lambda_{min} [/mm] einsetze?
und wenn [mm] \omega [/mm] < 0, dann ist [mm] \gamma [/mm] am größten für [mm] \lambda_{max} [/mm] ?
und für [mm] \omega [/mm] = 0 ist [mm] \gamma [/mm] = 1 ...
hm, hast du das so gemeint mit grenzen für [mm] \omega [/mm] angeben? oder bin ich immer noch auf dem falschen weg?
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> oh ja, das mit den lokalen extrw war käse...
> also ich betrachte diese gerade: [mm]\gamma[/mm] = [mm]-\lambda \omega[/mm]
> +1 , wobei [mm]\lambda>0[/mm] und fest ist, [mm]\omega[/mm] ist der freie
> parameter, hab ich dich so richtig verstanden?
Ja.
> kann ich dann einfach annehmen, dass auch [mm]\omega[/mm] >0 ?
Wieso?
> dann ist [mm]\gamma[/mm] am größten, wenn ich [mm]\lambda_{min}[/mm]
> einsetze?
Ja.
> und wenn [mm]\omega[/mm] < 0, dann ist [mm]\gamma[/mm] am größten für
> [mm]\lambda_{max}[/mm] ?
Ja.
> und für [mm]\omega[/mm] = 0 ist [mm]\gamma[/mm] = 1 ...
Ja.
> hm, hast du das so gemeint mit grenzen für [mm]\omega[/mm] angeben?
> oder bin ich immer noch auf dem falschen weg?
Für den Spektralradius interessiert natürlich der Betrag dieser Werte. Sprich aus dem Minimum kann auch ein Maximum werden.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
Vielen dank für deine hilfe.
das heißt der spektralradius ist entweder |1- [mm] \omega \lambda_{max}| [/mm] oder |1- [mm] \omega \lambda_{min}| [/mm] , eben das was größer ist, richtig?
und die beiden anderen fragen, wann p(H)<1 und wann am kleinsten muss man wohl irgendwie über fallunterscheidungen lösen... =?
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> Vielen dank für deine hilfe.
Bitte.
> das heißt der spektralradius ist entweder |1- [mm]\omega \lambda_{max}|[/mm]
> oder |1- [mm]\omega \lambda_{min}|[/mm] , eben das was größer
> ist, richtig?
Ja.
> und die beiden anderen fragen, wann p(H)<1 und wann am
> kleinsten muss man wohl irgendwie über fallunterscheidungen
> lösen... =?
Zunächst mal Überlegungen. Wenn Du gar keinen Plan hast mal Dir doch mal ein Koordinatensystem hin zeichne dir den Bereich ein wo die [mm] \lambda [/mm] 's liegen. und verschiedene Geraden (die alle an der 1 festgenagelt sind) und den zugehörigen Bereich in dem die [mm] \gamma [/mm] 's liegen. Das mit dem p(H)<1 kannst Du nat. auch über Fallunterscheidungen lösen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
hm, wenn ich das richtig verstehe, bekomm ich lauter geraden durch den punkt (0/1), die an der x-achse aber so ne spitze bilden wegen des betrages... ? bzw ist es vielleicht hilfreicher die x-achse als [mm] \omega-achse [/mm] zu nehmen, und auf der y-achse den spektralradius einzutragen, darf man das so machen=?
eigentlich müsste [mm] \rho(H) [/mm] doch dann bei 0 am kleinsten sein?
und zu den abschätzungen für p(H) < 1, gilt genau dann wenn
|1- [mm] \omega \lambda_{min}| [/mm] < 1 und |1- [mm] \omega \lambda_{max}| [/mm] < 1?
ist das mit dem "und" korrekt, es muss gleichzeitig gelten, oder?
d.h ich ich muss dann untersuchen wann das "zusammenpasst"?
also:
sei p(H) = |1- [mm] \omega \lambda_{max}| [/mm]
1.fall: 1- [mm] \omega \lambda_{max} [/mm] > 0 , funktioniert aber irgendwie nicht, weil dann |1- [mm] \omega \lambda_{max}| [/mm] nicht größer sein kann als |1- [mm] \omega \lambda_{min}| [/mm] und somit nicht [mm] \rho(H) [/mm] wäre?
2. fall: 1- [mm] \omega \lambda_{max} [/mm] < 0
d.h. |1- [mm] \omega \lambda_{max}| [/mm] = [mm] -(1-\omega \lambda_{max}) [/mm] = -1 + [mm] \omega \lambda_{max} [/mm] und das soll sein < 1, also
[mm] \omega \lambda_{max} [/mm] < 2
[mm] \omega [/mm] < [mm] \bruch{2}{\lambda_{max}}
[/mm]
stimmt das soweit?
und dann das ganze noch für p(H) = |1- [mm] \omega \lambda_{min}|
[/mm]
1.fall: 1- [mm] \omega \lambda_{min} [/mm] > 0 , dann darf ich betragsstriche wieder weglassen: 1- [mm] \omega \lambda_{min} [/mm] < 1
- [mm] \omega \lambda_{min} [/mm] < 0
- [mm] \omega [/mm] < 0, d.h. [mm] \omega [/mm] > 0 ?
2.fall: 1- [mm] \omega \lambda_{min} [/mm] < 0
oh, das geht glaub ich nicht, oder? wenn das kleiner null ist, dann kann nicht gelten dass |1- [mm] \omega \lambda_{min}| [/mm] >|1- [mm] \omega \lambda_{max}|oder [/mm] doch...?? *verwirrtbin*
gibt es eigentlich einen schnelleren weg als so??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> hm, wenn ich das richtig verstehe, bekomm ich lauter
> geraden durch den punkt (0/1), die an der x-achse aber so
> ne spitze bilden wegen des betrages... ? bzw ist es
> vielleicht hilfreicher die x-achse als [mm]\omega-achse[/mm] zu
> nehmen, und auf der y-achse den spektralradius einzutragen,
> darf man das so machen=?
> eigentlich müsste [mm]\rho(H)[/mm] doch dann bei 0 am kleinsten
> sein?
[Dateianhang nicht öffentlich]
DAs war schon so als Bild gedacht.
Der Bereich in dem die [mm] \lambda [/mm] 's liegen (rot) wird durch die Gerade (grün) auf den Bereich abgebildet in dem die [mm] \gamma [/mm] 's liegen.
> und zu den abschätzungen für p(H) < 1, gilt genau dann
> wenn
> |1- [mm]\omega \lambda_{min}|[/mm] < 1 und |1- [mm]\omega \lambda_{max}|[/mm]
> < 1?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Korrekt Spektralradius ist der Betragsmäßig größte Eigenwert. Sie Bild die Randpunkte des blauen Bereichs hätten den größten Betrag.
> sei p(H) = |1- [mm]\omega \lambda_{max}|[/mm]
> 1.fall: 1- [mm]\omega \lambda_{max}[/mm] > 0 , funktioniert aber
> irgendwie nicht, weil dann |1- [mm]\omega \lambda_{max}|[/mm] nicht
> größer sein kann als |1- [mm]\omega \lambda_{min}|[/mm] und somit
> nicht [mm]\rho(H)[/mm] wäre?
Dazu mußt Du zuerst überlegen das [mm] \omega > 0 [/mm] gilt. Sonst stimmt das nämlich nicht.(*)
> 2. fall: 1- [mm]\omega \lambda_{max}[/mm] < 0
> d.h. |1- [mm]\omega \lambda_{max}|[/mm] = [mm]-(1-\omega \lambda_{max})[/mm]
> = -1 + [mm]\omega \lambda_{max}[/mm] und das soll sein < 1, also
> [mm]\omega \lambda_{max}[/mm] < 2
> [mm]\omega[/mm] < [mm]\bruch{2}{\lambda_{max}}[/mm]
> stimmt das soweit?
>
> und dann das ganze noch für p(H) = |1- [mm]\omega \lambda_{min}|[/mm]
>
> 1.fall: 1- [mm]\omega \lambda_{min}[/mm] > 0 , dann darf ich
> betragsstriche wieder weglassen: 1- [mm]\omega \lambda_{min}[/mm] <
> 1
> - [mm]\omega \lambda_{min}[/mm] < 0
> - [mm]\omega[/mm] < 0, d.h. [mm]\omega[/mm] > 0 ?
>
> 2.fall: 1- [mm]\omega \lambda_{min}[/mm] < 0
> oh, das geht glaub ich nicht, oder? wenn das kleiner null
> ist, dann kann nicht gelten dass |1- [mm]\omega \lambda_{min}|[/mm]
> >|1- [mm]\omega \lambda_{max}|oder[/mm] doch...?? *verwirrtbin*
Dasselbe wie (*)
Schnellere Wege gibt's sicher. Mir fällt gerade keiner ein.
viele Grüße
mathemaduenn
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Do 05.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hallo Mathemaduenn,
danke für deine eklärungen samt bild!
d.h. die [mm] \gamma's [/mm] liegen in dem blauen bereich?
aber das versteh ich nicht ganz, wie kann der rote [mm] \lambda [/mm] - bereich durch die gerade auf den blauen abgebildet werden, wenn die gerade wie du geschrieben hast in der 1 festgenagelt ist??
und wenn bei den blauen randpunkten der betrag am größten wird, dann müsste er ja "im innersten punkt" am kleinsten sein...?
was meinst du genau mit (*) ?
diese ungleichung: |1- [mm] \omega \lambda_{max}| [/mm] > |1- [mm] \omega \lambda_{min}|?
[/mm]
liegt es daran, weil [mm] \lambda [/mm] >0 und deshalb muss auch [mm] \omega [/mm] > 0 sein, damit ads ganze erfüllt ist?
ok, lass mich wissen falls dir doch noch ein besserer/schnellerer weg einfällt =)
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> d.h. die [mm]\gamma's[/mm] liegen in dem blauen bereich?
Ja je nach Gerade wäre der dann eben unterschiedlich.
> aber das versteh ich nicht ganz, wie kann der rote [mm]\lambda[/mm]
> - bereich durch die gerade auf den blauen abgebildet
> werden, wenn die gerade wie du geschrieben hast in der 1
> festgenagelt ist??
Für jeden roten Punkt( jedes vorkommende [mm] \lambda [/mm] zwischen [mm] \lambda_{min} [/mm] und [mm] \lambda_{max} [/mm] ist [mm] 1-\omega*\lambda [/mm] im blauen Bereich.
> und wenn bei den blauen randpunkten der betrag am größten
> wird, dann müsste er ja "im innersten punkt" am kleinsten
> sein...?
Wenn [mm] 1-\omega\lambda=0 [/mm] gilt ist er am kleinsten aber das hat mit der Aufgabe nix zu tun da ja der Spektralradius interessiert, also der Betrag des größten Eigenwertes.
> was meinst du genau mit (*) ?
Naja das die Aussage die bei(*) steht auch darauf übertragbar ist was bei "Dasselbe wie (*)" steht.
> diese ungleichung: |1- [mm]\omega \lambda_{max}|[/mm] > |1- [mm]\omega \lambda_{min}|?[/mm]
>
> liegt es daran, weil [mm]\lambda[/mm] >0 und deshalb muss auch
> [mm]\omega[/mm] > 0 sein, damit ads ganze erfüllt ist?
Jein. [mm] \lambda [/mm] ist größer 0 JA. wenn nun omega kleiner Null wäre wo liegt dann der blaue Bereich? Welche Auswirkung hätte das auf den Spektralradius?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:04 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
wenn [mm] \omega [/mm] < 0 wäre, dann würde [mm] |1-\omega \lambda|> [/mm] 1, d.h. auch [mm] \rho(H) [/mm] >1 und wir wollen ja wissen wann der spektralradius am kleinsten wird....
...mhm, da kommt mir noch eine idee, kann man sagen, dass [mm] \rho(H) [/mm] am kleinsten wird wenn |1- [mm] \lambda_{min}| [/mm] = [mm] |1-\lambda_{max}| [/mm] gilt, ist es das??? *grübel*
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> wenn [mm]\omega[/mm] < 0 wäre, dann würde [mm]|1-\omega \lambda|>[/mm] 1,
> d.h. auch [mm]\rho(H)[/mm] >1 und wir wollen ja wissen wann der
> spektralradius am kleinsten wird....
Ja.
> ...mhm, da kommt mir noch eine idee, kann man sagen, dass
> [mm]\rho(H)[/mm] am kleinsten wird wenn |1- [mm]\lambda_{min}|[/mm] =
> [mm]|1-\lambda_{max}|[/mm] gilt, ist es das??? *grübel*
Das [mm] \omega [/mm] hat Du vermutlich nur vergessen 
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
ohja, so meinte ich das: |1- [mm] \omega \lambda_{min}| [/mm] = |1- [mm] \omega \lambda_{max}|
[/mm]
wie ist das dann in der zeichnung, wenn die randpunkte von dem blauen bereich die betragsmäßig größten sind, heißt das dass die beiden dann in einem punkt zusammenfallen damit der spektralradius am kleinsten ist?
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
Ich glaub ich versteh die Frage nicht so ganz eine Gerade ist auf jeden Fall injektiv. DA gibts keine 2 zusammenfallenden Punkte in der Zeichnung.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Riley |
guten morgen Mathemaduenn,
hm, ich glaub meine frage ist einfach wie man diese bedingug in der zeichnung sehen kann...?
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
Was passiert denn mit der Gerade wenn man [mm] \omega [/mm] größer/kleiner wählt?
viele Grüße
mathemadeunn
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:51 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn,
ich würd mal sagen die steigung ändert sich...? so fern man ein festes [mm] \lambda [/mm] betrachtet...
viele grüße
riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 13.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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