spezieller topologischer Raum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Di 26.05.2009 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Gibt es einen top. Raum X, sodass für jeden anderen top. raum gilt:
es existieren genau 2 stetige funktionen X->Y.
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nabend zusammen :)
bei der aufgaben steht mir nur n großes fragezeichen über dem kopf :-(
rein intuitiv würd ich nein sagen, wüsst aber auch nicht, wie ich bei dieser aussage rangehen soll, um sie zu beweisen.
wär nett, wenn mir jemand mal auf die sprünge hilft...
lg
eumel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Di 26.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> wär nett, wenn mir jemand mal auf die sprünge hilft...
Irgendwie brauchst du ein geschicktes Y, so dass bei beliebigen X es immer mehr als zwei stetige Abbildungen gibt. Schaue dir mal die Klumpentopologie an ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Di 26.05.2009 | | Autor: | eumel |
jo nabend :)
also X soll die gesuchte top. haben, sodass für jeden top. raum Y gilt: f:X->Y stetig.
so wie du das jetz dahin geschrieben hast meinte ich das net^^ es sei denn man vertauscht jetzt X und Y...
aber an die klumpentopologie hab ich auch zuerst gedacht, weil die ja die leere und die ganze menge nur beinhaltet und somit eben 2 elemente da sind.....
kann man dann ne fkt definieren, die einmal die leere menge von X auf die leere menge des raumes Y abbildet
und die ganze menge von X eben auf "alles andere" von Y?
wär auf jedenfall konstant und stetig.....hoff ich ma ^^
lg und schönen abend :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Di 26.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> so wie du das jetz dahin geschrieben hast meinte ich das
> net^^ es sei denn man vertauscht jetzt X und Y...
Nö, ich bestimme ein Y, so dass für beliebiges X es mehr als 2 stetige Funktionen nach Y gibt (außer X ist leer ...) - also existiert so ein X nicht.
> kann man dann ne fkt definieren, die einmal die leere menge
> von X auf die leere menge des raumes Y abbildet
> und die ganze menge von X eben auf "alles andere" von Y?
Nein, natürlich nicht - das verdreht ja alles!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Mi 27.05.2009 | | Autor: | eumel |
hey :)
also ich nehme jetz einfach ma an, mit der vorherigen andeutung und der wahl von Y, dass Y eben die klumpentop tragen soll....
mein problem ist jetzt auch, da ich net wirklich weiß, was unterschiedliche topologien bei einer vorgeg. funktion machen.... hab ich jetzt auch n bissle schwierigkeiten, überhaupt eine bzw mehr als 2 abbildungen zu definieren, wenn man von einem bel. top. raum ausgeht.
denn was mir gerad nen brainfuck gibt ist, wenn die klumpentop nur die leere menge und ganz X beinhaltet und die anderen topologien größtenteils mehr... wie kann man da vorgehen....
ich sach schomma danke und gut nacht ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:17 Mi 27.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Sei X ein beliebiger topologischer Raum. Für jede beliebige Menge Y gilt:
1) Wählt man auf Y die Klumpentopologie [mm] $\{Y,\emptyset\}$, [/mm] so ist jede Abbildung [mm] $f=X\to [/mm] Y$ stetig.
2) Es gibt mindestens so viele Abbildungen von X nach Y, wie Y Elemente hat - nimm einfach die konstanten Funktionen.
Fazit: Wenn Y mehr als drei Elemente hat und die Klumpentopologie trägt, dann gibt es mindestens 3 stetige Abbildungen von X nach Y.
Gruß, Robert
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