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| Aufgabe | Sei [mm] M=\IR^2 [/mm] und sei sei [mm] \omega \in \Omega^1(M)
[/mm]
[mm] \omega =\bruch{-y}{x^2+y^2}dx+\bruch{x}{x^2+y^2}dy
[/mm]
berechne [mm] \integral_{0}^{1}{\omega(\gamma'(t)) dt} [/mm] für den Weg [mm] \gamma(t)=e^{2\pi it}, [/mm] wobei [mm] \IR^2 [/mm] mit [mm] \IC [/mm] identifiziert wird.
Zeige, dass [mm] d\omega=0 [/mm] gilt, dass aber [mm] \omega [/mm] dennoch keine Stammfunktion hat. |
hallo,
zum 2. Teil habe ich [mm] d\omega [/mm] berechnet und es kommt tatsächelich 0 heraus, aber warum hat es somit keine stammfunktion? ich habe gedacht, wenn die bedingung [mm] d\omega=0 [/mm] erfüllt ist dann hat [mm] \omega [/mm] eine Stammfunktion?
zum 1. Teil: [mm] \omega [/mm] ist von 2 variable abhängig wie solle ich [mm] \gamma'(t) [/mm] einsetzten?
[mm] \Rightarrow \gamma'(t)=2\pi i\cdot e^{2\pi it}
[/mm]
danke im voraus
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Hallo questionpeter.
> Sei [mm]M=\IR^2[/mm] und sei sei [mm]\omega \in \Omega^1(M)[/mm]
> [mm]\omega =\bruch{-y}{x^2+y^2}dx+\bruch{x}{x^2+y^2}dy[/mm]
>
> berechne [mm]\integral_{0}^{1}{\omega(\gamma'(t)) dt}[/mm] für den
> Weg [mm]\gamma(t)=e^{2\pi it},[/mm] wobei [mm]\IR^2[/mm] mit [mm]\IC[/mm]
> identifiziert wird.
>
> Zeige, dass [mm]d\omega=0[/mm] gilt, dass aber [mm]\omega[/mm] dennoch keine
> Stammfunktion hat.
> hallo,
>
> zum 2. Teil habe ich [mm]d\omega[/mm] berechnet und es kommt
> tatsächelich 0 heraus, aber warum hat es somit keine
> stammfunktion? ich habe gedacht, wenn die bedingung
> [mm]d\omega=0[/mm] erfüllt ist dann hat [mm]\omega[/mm] eine Stammfunktion?
>
Die notwendige Bedingung ist somit erfüllt.
Dies alleine reicht aber nicht für die Existenz einer Stammfunktion.
Da ist noch die Definitionsmenge, z. B. die Sternförmigkeit
bezüglich eines Punktes aus der Definitionsmenge.
> zum 1. Teil: [mm]\omega[/mm] ist von 2 variable abhängig wie solle
> ich [mm]\gamma'(t)[/mm] einsetzten?
> [mm]\Rightarrow \gamma'(t)=2\pi i\cdot e^{2\pi it}[/mm]
>
Es ist doch:
[mm]\gamma\left(t\rigiht)=x\left(t\right)+i*y\left(t\right)[/mm]
> danke im voraus
Gruss
MathePower
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