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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Sa 03.02.2007 | | Autor: | thalia |
halloo ich hab ein problem mit dieser funktion...kann mir jemand erklären wie ich bei solchen funktionen die stammfunktion bilden kann...
[mm] f(x)=0,5(\wurzel{25-x^2})
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Sa 03.02.2007 | | Autor: | DRRRRSCH |
Hi,
also du kannst dein Wurzelterm algebraisch umformen.
=>
$ [mm] f(x)=0,5(25-x^2)^{1/2} [/mm] $
Nun kannst du nach den gewohnten Potenz gesetzen Integrieren bzw. die Stammfunktion bilden.
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> halloo ich hab ein problem mit dieser funktion...kann mir
> jemand erklären wie ich bei solchen funktionen die
> stammfunktion bilden kann...
> [mm]f(x)=0,5(\wurzel{25-x^2})[/mm]
Hallo thalia,
ich fürchte, das ist nicht ganz so einfach.
Das Integral kann man m.E nur über Substitution finden:
[mm] \integral{\bruch{1}{2}\wurzel{25-x^2} dx}=\bruch{1}{2}\integral{\wurzel{5^2-x^2} dx}
[/mm]
nun substituiere x=5sin(y) [mm] \Rightarrow y=arcsin\left(\bruch{x}{5}\right) \Rightarrow \bruch{dx}{dy}=5cos(y) \Rightarrow [/mm] dx=5cos(y)dy
Also [mm] \bruch{1}{2}\integral{\wurzel{5^2-x^2} dx}=\bruch{1}{2}\integral{\wurzel{25-25sin^2(y)}*5cos(y) dy}=\bruch{1}{2}\integral{\wurzel{25(1-sin^2(y))}*5cos(y) dy}
[/mm]
[mm] =\bruch{25}{2}\integral{\wurzel{1-sin^2(y)}*cos(y) dy}=\bruch{25}{2}\integral{\wurzel{cos^2(y)}*cos(y) dy}=\bruch{25}{2}\integral{cos^2(y) dy}
[/mm]
[mm] =\bruch{25}{2}\integral{cos(y)cos(y) dy}=\bruch{25}{2}\left(\bruch{sin(y)cos(y)+y}{2}\right) [/mm] (mit partieller Integration oder Integraltafel!)
Rücksubstitution [mm] y=arcsin(\bruch{x}{5}):
[/mm]
[mm] =\bruch{25}{2}\left(\bruch{sin(arcsin(\bruch{x}{5}))cos(arcsin(\bruch{x}{5}))+arcsin(\bruch{x}{5})}{2}\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{25}{4}\left(\bruch{x}{5}*cos(arcsin(\bruch{x}{5}))+arcsin(\bruch{x}{5})\right)
[/mm]
[mm] =\bruch{25}{4}\bruch{x}{5}*cos(arcsin(\bruch{x}{5}))+\bruch{25}{4}arcsin(\bruch{x}{5})
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{4}x*\wurzel{1-sin^2(arcsin(\bruch{x}{5}))}+\bruch{25}{4}arcsin(\bruch{x}{5})
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{4}x*\wurzel{1-\left(\bruch{x}{5}\right)^2}+\bruch{25}{4}arcsin(\bruch{x}{5})
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{4}x*\wurzel{\bruch{25-x^2}{25}}+\bruch{25}{4}arcsin(\bruch{x}{5})
[/mm]
[mm] =\bruch{5}{4}x*\bruch{1}{5}*\wurzel{25-x^2}+\bruch{25}{4}arcsin(\bruch{x}{5})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}x\wurzel{25-x^2}+\bruch{25}{4}arcsin(\bruch{x}{5})
[/mm]
Alles in allem sehr unschön, dieses Biest und auch alles ohne Gewähr ;)
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 20:05 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
habe die Ableitung der Stammfunktion zeichnen lassen und die Funktion oben selbst auch.
Die beiden leigen exakt übereinander, also ist dein Ergebnis richtig.
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Sa 03.02.2007 | | Autor: | DRRRRSCH |
Hi,
bist du sicher das man das nur mit Substitution lösen kann?
Man kann doch [mm] \wurzel{x} [/mm] auch als [mm] x^{1/2} [/mm] darstellen.
die integration von [mm] \wurzel{x} [/mm] wäre somit einfach.
Wenn man das gleiche am obigen Fall anwedet hätte man doch nur noch ein Produkt dastehen das man dann mit den normalen Integrationsregeln lösen könnte. Von mir auch keine Gewähr. Aber eigentlich bin ich mir sicher das es stimmt.
Auch wenn ich nur ein Ingenierusstudium mache :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:35 So 04.02.2007 | | Autor: | DRRRRSCH |
Mhm, habe gerade nochmal in meinem Mathebuch nachgeschaut, weil ichs einfach nicht glauben konnte. Und sehe da, mir wird das bestätigt.
Also sorry für meine falsche aussagen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 So 04.02.2007 | | Autor: | thalia |
wooowww!! so etwas hab ich ja noch nie gesehen...darauf wäre niemals gekommen...puuuuhh.. danke vielmals
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Hallo thalia
ja, wenn man ein Integral der Form [mm] \integral{\wurzel{a^2-x^2}} [/mm] sucht, kommt man mit der Substitution x=a*sin(y) immer zum Ziel. (für a>0)
Das ist für diese Art Integrale ein "Standardtrick", ist abr immer sehr hässlich ;)
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Do 29.03.2007 | | Autor: | DeDuevel |
Hi,
hätte da eine andere Frage zur ähnlichen Funktion, aus einem Test.
Hier an der Uni werden diese Terme in so eine Art Partialbrüche zerlegt und dann eben berechnet berechnet, wie es genau funktioniert weiss ich nicht, aber darum gehts eigentlich nicht.
In einem Test gabs eine ähnliche Funktion wie oben dargestellt, habe natürlich wie gelernt $ [mm] x=a\cdot{}cos [/mm] t $ substituiert, nun gabs aber nur 2 statt 3 Punkten für die Aufgabe, da es angeblich formell $ x= [mm] \pm a\cdot{}cos [/mm] t $ heißt.
An einer anderen Uni habe ich allerdings folgende Substitutionen gelernt:
$ [mm] \integral_{}^{}{f(x,\wurzel{x^{2}+a}) dx} [/mm] $ ; $ [mm] x=a\cdot{}sinh [/mm] t $
$ [mm] \integral_{}^{}{f(x,\wurzel{x^{2}-a}) dx} [/mm] $ ; $ x= [mm] \pm a\cdot{}cosh [/mm] t $
$ [mm] \integral_{}^{}{f(x,\wurzel{a-x^{2}}) dx} [/mm] $ ; $ [mm] x=a\cdot{}cos [/mm] t $
Die Frage ist nun, heisst es nun formell wirklich $ x= [mm] \pm a\cdot{}cos [/mm] t $?
Jruss Duevel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Do 29.03.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
den Punktabzug find ich uebertrieben! aber richtig ist natuerlich dass du eigentlich [mm] x^2=a^2cos^2t [/mm] subst. und damit fuer x [mm] \pm [/mm] hast.
Wenn man am Schluss nur [mm] x^2 [/mm] ruecksubst. ist es egal, sonst kann man sich bei best. integralen verrechnen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Fr 30.03.2007 | | Autor: | DeDuevel |
Hmm, tatsächlich, daran hab ich gar nicht gedacht, allerdings hats nun wirklich keine Bedeutung ob man + oder - substituiert, da auch wenn $ [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = [mm] \pm [/mm] a (- [mm] \sin{x} [/mm] ) $ ist, kehren sich alle Vorzeichen um.
Naja, der ganze Punktabzug war dann wohl dafür, dass ich es nicht mit Ihrer Methode lösen wollte, wird noch ein richtig nettes Semester ;)
Großen Dank
Jruss Duevel
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
) ... aber ich kenne bei diesem Integral lediglich die Variante mit der o.g. Substitution.
Potenzregel