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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Fr 12.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
| Aufgabe | | F ist eine Stammfunktion von f mit f(x) = (1/2) x . Der Graph von F schneidet die x-Achse in den Punkten P und Q . Die Tangenten an den graphen von F in P und Q sind zueinander orthogonal. Bestimme F(x) |
Hallo,
habe ein bisschen probleme damit ich hab gedacht man kann das irgendwie allgemein lösen also
F(x) ist ja [mm] \bruch{1}{4}x^2 [/mm] +C
da hab ich die Nullstellen ausgerechnet:
(+-) [mm] 2\wurzel{c} [/mm] c>0
für die erste nullstelle [mm] +2\wurzel{c}Die [/mm] Steigung in den Tangenten ist [mm] \wurzel{c}
[/mm]
nach einsetzten muss die erste Tangente die Funktionsgleichung
y= [mm] \wurzel{c}x-2c [/mm] haben dei zweite dementsprechend die steigung
[mm] \bruch{-1}{\wurzel{c}} [/mm] und nach der zweiten nullstelle also [mm] -2\wurzel{c}
[/mm]
müsste n in y(2) =-2 sein, aber ich weis leider immer noch nciht wie ich jetzt irgendwie auf c kommen soll, kann es sein, dass wenigstens der schnittpunkt gegeben sein müsste?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Richtig, [mm] F(x)=\bruch{1}{4}x^2+C.
[/mm]
Die Nullstellen liegen aber bei [mm] x_1=2\wurzel{-C} [/mm] und [mm] x_2=-2\wurzel{-C}. [/mm] Daran sieht man auch schon, dass es nur Nullstellen gibt, wenn [mm] C\le0 [/mm] gilt.
Da F achsensymmetrisch zur y-Achse ist (ist ja nur eine Parabel, die entlang der y-Achse verschoben ist), reicht es aus, wenn du C so bestimmst, dass der Anstieg der Parabel bei der linken Nullstellen -1 beträgt. oder 1 bei der rechten. Kannst es dir ja mal skizzieren, wenn du willst!
Damit sich beide Tangenten orthogonal schneiden, müssen beide Tangenten mit der x-Achse einen Winkel von 45° einschließen. Das geht hier aber eben nur so gut, weil die Parabel achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
[mm] f(2\wurzel{-C})=1 [/mm] musst du also nur noch lösen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Sa 13.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ja aber du sagtest doch, dass 1 der anstieg sei oder?
also warum am ende
$ [mm] f(2\wurzel{-C})=1 [/mm] $ musst du also nur noch lösen.
der y wert von der Nulstelle ist logischerweise immer 0 und doch nicht 1 oder? kann es sein, dass du meinst, dass du das in die erste ableitung einsetzten musst, weil das hab ich auch gemacht, abe rman kommt im endeffekt zu keinem ergebnis
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Hallo,
Du hast [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x.
[/mm]
Du weißt, daß die gesuchte Funktion f die Gestalt [mm] F(x)=\bruch{1}{4}x^ [/mm] + c hat.
Es sollen die Tangenten an den Graphen von F in den Nullstellen orthogonal sein.
Für c>0 hat die Funktion F keine Nullstellen (Parabel über der x-Achse), also muß [mm] c\le [/mm] 0 sein.
Die Nullstellen sind dann [mm] x_1=2\wurzel{-c} [/mm] und [mm] x_2=-2\wurzel{-c} [/mm] .
Die Ableitungen von F in [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2, [/mm] also die Steigung der Tangente in diesen Punkten, sind
[mm] F'(x_1)=f(x_1)=\wurzel{-c} [/mm] und [mm] F'(x_2)=f(x_2)=-\wurzel{-c} [/mm] .
Nun ist gefordert, daß die zweite Tangente orthogonal zur ersten ist. Daher muß die zweite Tangente die Steigung [mm] m=\-bruch{1}{\wurzel{-c}} [/mm] haben. (Steigung orthogonaler geraden)
Gleichzeitig weißt Du aus der Ableitung, daß diese Tangente die Steigung [mm] m=-\wurzel{-c} [/mm] hat.
Durch Gleichsetzen kannst Du nun das c errechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Sa 13.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ja also so weit war ich auch shcon mal.
und eigentlich ist es doch egal ob es heißt [mm] \wurzel{+C} \wurzel{-C} [/mm] ( man beachte das große C) es muss so oder so gelten c>0 damit es nullstellen gibt
So wie es im ersten Post steht
y(1) = [mm] \wurzel{C}x+n
[/mm]
wenn man nun hier die Nullstelle also [mm] 2\wurzel{C} [/mm] einsetzt udn somit für y=0 kommt man auf n=-2c
y(2) muss natürlich die Steigung [mm] -(\bruch{1}{\wurzel{C}}) [/mm] haben und wir haben ja auch die zweite Nullstelle wodurhc wir wieder n errechnen können , aber wo soll ich jetzt gleichsetzten?
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Hallo,
zuerst einmal: Nein, es ist nicht egal, ob Plus oder Minus, da du ja oben stehen hast [mm] $F(x)=\frac{1}{4}x^2+C$ [/mm] und nicht $-C$. Wenn du also aus dem Minus unter der Wurzel einfach ein Plus machst und dann den so gewonnenen Wert für C nachher oben in die Formel einsetzt, bekommst du eine falsche Funktion.
Dich interessiert ja nur die Steigung, nicht die genaue Gleichung der Tangenten, von daher:
Die Steigung im Punkt [mm] $-2\sqrt{-C}$ [/mm] ist [mm] $f(-2\sqrt{-C})=-\sqrt{-C}$, [/mm] die zweite Steigung ist [mm] $f(2\sqrt{-C})=\sqrt{-C}$.
[/mm]
Wie angela schon sagte und du ebenfalls, muss für Steigungen [mm] $m_1,m_2$ [/mm] für Orthogonalität gelten: [mm] $m_1=-\frac{1}{m_2}$.
[/mm]
Setzen wir mal unsere Steigungen ein: [mm] $-\sqrt{-C}=-\frac{1}{\sqrt{-C}}$.
[/mm]
Das musst du jetzt nur noch nach C auflösen und fertig.
Gruß
Johannes
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