stammfunktion von ln(1/x) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mo 27.03.2006 | | Autor: | k007 |
also ich will die oben genannte funtion um die y-Achse rotieren lassen und habe für die umkehrfunktion f(x)=ln(1/x)-2 heraus.. das sieht auf dem taschenrechner auch ziemlich richtig aus. muss ich aber nicht doch die version f(y)=ln(1/y)-2 für die rotation um die y-achse nehmen?
und dann muss ich noch die stammfunktion bilden. ist die F(y)=y*ln(1/y)-y+2*y ?
ich brauch das für meine facharbeit, die ich schon mittwoch abgeben muss.
vielen dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nur ein Hinweis:
[mm]\ln{\frac{1}{x}} = \ln{x^{-1}} = - \ln{x}[/mm]
(drittes Logarithmus-Gesetz)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 27.03.2006 | | Autor: | k007 |
| Aufgabe | | F(x)=-x*ln(x)-x+2*x |
*ditsch*... ja.. auf sowas komm ich dann irgendwie nich.. zu einfach^^ erhalte ich dann die oben genannte(neue) Stammfunktion?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mo 27.03.2006 | | Autor: | k007 |
| Aufgabe | V= [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{7,389}{(ln(1/y)+2) dx}
[/mm]
= [mm] \pi [/mm] * [-y * ln(y) - y + 2 * y] |
bei der oben genannten integralformel bekomm ich ein negatives volumen heraus... oder muss das -y * ln(y) +y +2 * y heißen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Tanja,
das Volumen des Rotationskörpers errechnet sich nach der Formel
$V=\pi\cdot\int_{a}^{b}{\left(f^{-1}(x)\right)^2\ dx}$.
Du hast das Quadrat vergessen! Es müsste heißen:
$V=\pi\cdot\int_{0}^{e^2}{\left(2-\ln{(x)}\right)^2\ dx}$.
Das heißt, du brauchst eine ganz andere Stammfunktion:
$\int{\left(2-\ln{(x)}\right)^2\ dx}=\int{\left(4-4\ln{(x)}+\left(\ln{(x)}\right)^2\right)\ dx}$.
$\left(\ln{(x)}\right)^2\right)=\ln{(x)}\cdot\ln{(x)}$ kannst du partiell integrieren!
Zur Kontrolle: Die Stammfunktion von $4-4\ln{(x)}+\left(\ln{(x)}\right)^2$ müsste lauten:
$x\cdot\left(\ln{(x)}\right)^2\right)-6x\cdot\ln{(x)}+10x$.
Als Endergebnis erhalte ich $V=2\pi\cdot e^2\approx 46,4$.
Frag' bitte nochmal nach, wenn du nicht auf diesen Wert kommst, bzw. etwas anderes unklar ist, ok? 
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Di 28.03.2006 | | Autor: | k007 |
also ich bin auf alles soweit gekommen, nur hab ich eine etwas andere stammfunktion:
F(x)= [mm] x*(ln(x))^2-6*x*ln(x)+2*x
[/mm]
denn ich habe in dem rechenweg vorher [mm] 4x-4x*ln(x)-4x+x(ln(x))^2-2xln(x)+2x
[/mm]
und ich erhalte einen negativen wert(-338,722) am ende. auch wenn ich das mit +10x rechne(-48,71).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Di 28.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tanja!
> denn ich habe in dem rechenweg vorher
> [mm]4x-4x*ln(x)-4x+x(ln(x))^2-2xln(x)+2x[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen durch Ausmultiplizieren der Klammer:
$F(x) \ = \ [mm] 4x-4x*\ln(x) [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] 4x+x*[\ln(x)]^2-2x*\ln(x)+2x [/mm] \ = \ ...$
> und ich erhalte einen negativen wert(-338,722) am ende.
> auch wenn ich das mit +10x rechne(-48,71).
Wie setzt Du denn ein? Denn ich erhalte hier ein positives Ergebnis.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 28.03.2006 | | Autor: | k007 |
aber ich habe doch gar nicht ausmultipliziert *verwirrt*
ich habe einfach nur die stammfunktion der einzelnen teile gebildet mit dieser liste: natürliche Logarithmusfunktion und davon abgeleitete Funktionen http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/stammfkt.htm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Di 28.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Tanja,
Loddar hat eigentlich schon alles gesagt, der Fehler passiert beim Ausmultiplizieren:
Die Stammfunktion von $\left(f^{-1}(x)\right)^2=4-4\ln{(x)}+\ldots$ ist
$H(x)=4x-4\left(x\cdot\ln{(x)}-x\right)+\ldots=4x-4x\cdot\ln{(x)}\ \red{+}\ 4x\right)+\ldots$
An Stelle des roten Plus hast du ein Minus - ist dir jetzt klar, was wir meinen?
Und auch beim Einsetzen vertust du dich irgendwo:
H(e^2)=$e^2\cdot\left(\ln{(e^2)}\right)^2\right)-6e^2\cdot\ln{(e^2)}+10e^2=e^2\cdot 2^2-6e^2\cdot 2+10e^2=(4-12+10)\cdot e^2=2e^2$.
Das Endergebnis ist also $V=\pi\cdot\left(H(e^2)-H(0)\right)=\pi\cdot (2e^2-0)=2\pi e^2$.
Ich hoffe, das hilft dir weiter! Frag' ansonsten bitte nochmal nach, ok?
MFG,
Yuma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Tanja,
also nochmal kurz zusammengefasst:
Die Umkehrfunktion zu [mm] $f(x)=\bruch{1}{e^{x-2}}$ [/mm] ist [mm] $f^{-1}(x)=2-\ln{(x)}$ [/mm] und die Stammfunktion wäre
[mm] $F^{-1}(x)=2x-(x\cdot \ln{(x)}-x)=3x-x\cdot\ln{(x)}=x\cdot(3-\ln{(x)})$.
[/mm]
Diese Stammfunktion nützt dir aber leider nichts - für die Volumenbestimmung benötigst du die Stammfunktion des Quadrates der Funktion [mm] $f^{-1}(x)$.
[/mm]
MFG,
Yuma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mo 27.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Tanja,
deine Umkehrfunktion stimmt nicht so ganz: Es ist doch
[mm] $y=\bruch{1}{e^{x-2}}\gdw y=e^{-(x-2)}\gdw \ln{(y)}=-(x-2)\gdw \ln{(y)}=-x+2\gdw x+\ln{(y)}=2\gdw x=2-\ln{(y)}$.
[/mm]
Deshalb wird deine weitere Rechnung leider falsch (du hast [mm] $-2-\ln{(y)}$)!
[/mm]
Die richtige Stammfunktion findest du hier,
und ein weiteres Problem ergibt sich hier! 
MFG,
Yuma
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