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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mo 12.03.2007 | | Autor: | tAtey |
hallo. :)
es gibt ja 3 schritte zur standardisierung.
den 3. verstehe ich nicht so ganz. und zwar steht hier:
das stauchen der rechtecke in richtung der 1. achse wird dadurch ausgeglichen, dass auf der 2. achse (ich geh mal davon aus, dass die y-achse gemeint ist, oder?) nicht mehr die wahrscheinlichkeiten abgetragen werden, sondern die mit der standardabweichung vervielfachten wahrscheinlichkeiten.
warum ist das so? wieso muss denn das stauchen ausgeglichen werden?
ps: warum wird eigentlich gestaucht? damit an der skalierung nicht mehr sigma vorkommt, sondern nur noch zahlen wie 1,2,3 .. also der radius?
pps: wieso ist die standardabweichung nach dem standardisieren = 1?
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Vermutlich sprichst du über das Ersetzen der Binomial- durch die Standardverteilung.
Es geht um Folgendes: Will man die W. (Wahrscheinlichkeit) für einen gößeren Bereich der Binomialverteilung berechnen, muss man i.a. sehr viele Summanden ausrechnen (z.B. wie groß ist die W., dass man mehr als 20 defekte Glühlampen zwischen 1000 Stück entdeckt, wenn die Ausschussquote 1,5 % beträgt?). Hierzu gibt es dann Tabellen zum Nachschlagen. Diese sind aber nur für bestimmte Gesamtzahlen (20, 50, 100, 500, 1000...) angelegt (also mehr zu Übungszwecken) und nicht zB. für 1733.
Alle Kurven der Binomialverteilung sehen aber ganz ähnlich aus, wenn die Varianz der Verteilung [mm] \ge [/mm] 9 ist. Sie ähneln der sog. Standardverteilung, wenn man sie geeignet staucht oder streckt. Dann kann man für jede Anzahl, also auch für n=1733, auf einfache Weise verlässliche Werte errechnen.
Wenn man die Verteilung in x-Richtung (oder k-Richtung) geeignet zusammenstaucht, wird aber der Inhalt der Fläche unter der Verteilungskurve kleiner. Diese Fläche ist aber die Gesamtwahrscheinlichkeit und damit 1. Damit sie nicht kleiner wird, muss sie in y-Richtung wieder gestreckt werden. Damit werden dann alle Kurven ähnlich und entsprechen der Standardnormalverteilung. Für diese brauchst du jetzt nur eine einzige Tabelle, und durch Stauchen und Strecken kann man die W. damit berechnen.
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Die folgenden Ausführungen habe ich vor ein paar Tagen auf eine ähnliche Anfrage geschrieben:
Der Übergang von der Binomial- zur Normalverteilung von Gauss beruht rechnerisch auf einer Ähnlichkeits-Abbildung, zu der du nur so etwas wie Dreisatzrechnung brauchst (also nicht nötig, die Transformationsformeln auswendig zu lernen). Die gesuchte Binomialverteilung sieht fast genau so aus wie die Normalverteilung, wenn np(1-p)>9 ist: Sie ist nur auf der x-Achse verschoben und verbreitert/verschmälert und dadurch erniedrigt/erhöht (da die Fläche darunter immer 1 geben muss).
Merke dir folgendes Verfahren:
1. Stelle fest, wo der Erwartungswert für "Verbesserung" liegt: $ [mm] \mu [/mm] $ = np.
Dieser Wert entspricht auf der Gauss-Kurve dem Wert z = 0. (Man nimmt auf der Gausskurve meist z statt x als Argument). Hier - wenn die Behauptung stimmt - 950*0,99 =940,5
2. Stelle fest, wieviel die von dir betrachtete Grenze links oder rechts von $ [mm] \mu [/mm] $ abweicht. (Hier: 12 oder mehr keine Verbesserung, also Verbesserung bei maximal 938. Da 238 "erlaubt" ist, 239 aber nicht und da die Gaussverteilung im Gegensatz zur Binomialverteilung stetig ist, nimmt man eigentlich nun als Grenze 238,5. Dieser Wert liegt um 2 links von $ [mm] \mu. [/mm] $
3. Ist die Binomialkurve sehr breit auseinandergezogen, sind 2 nicht viel, ist sie sehr schmal, dann wohl. Deshalb
wird die Abweichung 2 mit $ [mm] \sigma =\wurzel{np(1-p)} [/mm] $ verglichen: z = $ [mm] \bruch{X-\mu}{\sigma} [/mm] $
4. Nun Schaust du dir den Gauss-Graphen an: Dort identifiziertst du z=0 mit $ [mm] \mu [/mm] $ (dort liegt bei beiden Kurven der Hochpunkt). Da das in 3 errechnete z dir angibt, wieviel % von $ [mm] \sigma [/mm] $ das x von $ [mm] \mu [/mm] $ abweicht, und da bei der Gauss-Kurve $ [mm] \sigma [/mm] $ = 1 ist, (*) liegt auf der Binomial-Kurve der X-Wert genau da, wo auf der Gausskurve der z-Wert liegt. (Wenn dir das Satzende ab (*) klar ist, hast du alles verstanden.)
5. Die Werte der $ [mm] \Phi [/mm] $ -Funktion sagen dir nun, wie groß die Fläche zwischen dem Graphen der Gauss-Funktion und der x-Achse von $ [mm] -\infty [/mm] $ bis z ist, also die Wahrscheinlichkeit, dafür, in diesen Bereich zu fallen. Das stimmt aber (fast) genau überein mit der Wahrscheinlichkeit bei der Binomialverteilung von 0 bis X zu liegen.
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