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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:12 Do 18.12.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1, X_2, ...\in\mathcal{L}^2$ [/mm] unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen.
Zeigen Sie, dass
[mm] $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(X_k-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)^2\to var(X_1)$ [/mm] fast sicher. |
Hallo,
ich bearbeite gerade folgende Aufgabe und wollte fragen ob dieser Ansatz korrekt ist.
Offensichtlich muss man hier das "starke Gesetz der großen Zahlen" anwenden.
Dazu ist ja dann eigentlich nur der Erwartungswert des Terms zu berechnen über den summiert wird. Also
[mm] $E[\left(X_k-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)^2]$
[/mm]
Die Varianz ist ja so definiert:
[mm] $var(X)=E[(X-E[X])^2]$
[/mm]
Das sieht ja jedenfalls schon mal "ähnlich" aus.
Ich muss nun obigen Ausdruck
[mm] $E[\left(X_k-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)^2]$
[/mm]
so bearbeiten, dass ich [mm] $var(X_1)$ [/mm] erhalte und damit wäre die Behauptung bereits bewiesen?
Wäre der Ansatz richtig?
Vielen Dank.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 21:21 Do 18.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Kann ich vielleicht einfach das starke Gesetz der großen Zahlen auf den Ausdruck anwenden.
$ [mm] E[\left(X_k-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)^2] [/mm] $
Wenn ich davon den Limes für n gegen unendlich betrachte, dann ist nach dem Gesetz der großen Zahlen der Summenausdruck im Erwartungswert einfach [mm] $E[X_1]$
[/mm]
Aber ich denke so leicht geht das nicht. Und dann müsste auch noch [mm] X_k [/mm] irgendwie gleich [mm] X_1 [/mm] sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 20.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 20.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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