steigung eines graphen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mo 22.01.2007 | | Autor: | ManuD |
hi ihr!
hab mal ne frage *gg*
ich hab die funktion [mm] f(x)=arctan(e^x)
[/mm]
die frage is, an welcher stelle der graph am steilsten is und wie groß dort die steigung is. könnt ihr mir da vielleicht helfen?
hab mir überlegt, irgendwas mit der ersten ableitung zu machen, da die ja die steigung is. aber wie krieg ich raus, an welcher stelle der graph am steilsten is? muss ich da dann auch mit der zweiten ableitung rechnen und diese werte in die dritte ableitung einsetzen?
wär echt cool, wenn ihr mir helfen könnt!
danke schon mal im voraus!!!
lg manu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Mo 22.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> hi ihr!
> hab mal ne frage *gg*
> ich hab die funktion [mm]f(x)=arctan(e^x)[/mm]
> die frage is, an welcher stelle der graph am steilsten is
> und wie groß dort die steigung is. könnt ihr mir da
> vielleicht helfen?
> hab mir überlegt, irgendwas mit der ersten ableitung zu
> machen, da die ja die steigung is. aber wie krieg ich raus,
> an welcher stelle der graph am steilsten is? muss ich da
> dann auch mit der zweiten ableitung rechnen und diese werte
> in die dritte ableitung einsetzen?
> wär echt cool, wenn ihr mir helfen könnt!
> danke schon mal im voraus!!!
> lg manu
Genau so funktioniert es. Du suchst ja die Extremstellen der Steigung, und da die Ableitung ja die "Steigungsfunktion" ist, ist dein Weg absolut korrekt.
![[]](/images/popup.gif) Hier noch eine Tabelle der Ableitungsregeln.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Di 23.01.2007 | | Autor: | ManuD |
hi!
also, ich hab jetz mal die ableitungen gebildet.
die erste ableitung is bei mir: [mm]\bruch{1}{(1+e^(2x))}[/mm]
die zweite: [mm]\bruch{-e^(2x)}{(1+2e^(2x)+e^(4x))}[/mm]
die dritte: [mm]\bruch{(2e^(8x^3)+e^(4x^2)-e^(2x))}[/mm]
um werte in die dritte einsetzen zu können, wollte ich ja die 2. ableitung gleich null setzen. jetz hab ich die 2. ableitung gleich null gesetzt und erhalte dann e^(2x)=0. die e-funktion hat aber ja keine nullstellen. kann ich dann überhaupt rausfinden, an wo der graph am steilsten is und wie groß die steigung is?
bin total ratlos. ich hoff, ihr könnt mir auch diesmal weiterhelfen.
danke!
lg manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Di 23.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Manu!
Du hast bereits bei der 1. Ableitung die innere Ableitung gemäß  Kettenregel vergessen:
$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{1+\left(e^x\right)^2}*\left(e^x\right)' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x}{1+e^{2x}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Di 23.01.2007 | | Autor: | ManuD |
hi Loddar!
die funktion heißt ja [mm] f(x)=arctan(e^x)
[/mm]
[mm] e^x [/mm] entspricht dem x bei f(x)=arctanx
da die ableitung von arctanx [mm]\bruch{1}{(1+x^2)}[/mm] is, hab ich gedacht, ich setz für x einfach nur [mm] e^x [/mm] ein. aber da hab ich wohl falsch gedacht, oder?
dann muss ich des ja bei allen aufgaben, wo nicht nur x dasteht, auch beachten. danke, dass du mir des gesagt hast, sonst hätt ich in meiner facharbeit echt a paar riesen fehler! die kettenregel mag ich nämlich überhaupt net *gg*
noch ne ganz doofe frage: die ableitung von e^(2x), is die dann 2e^(2x)?
ich hab für die zweite ableitung [mm]\bruch{e^x-e^(3x)}{(1+e^(2x))²}[/mm] wenn ich die dann gleich null setz, komm ich auf [mm] e^x [/mm] = e^(3x)
danke, lg manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Di 23.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> hi Loddar!
> die funktion heißt ja [mm]f(x)=arctan(e^x)[/mm]
> [mm]e^x[/mm] entspricht dem x bei f(x)=arctanx
> da die ableitung von arctanx [mm]\bruch{1}{(1+x^2)}[/mm] is, hab
> ich gedacht, ich setz für x einfach nur [mm]e^x[/mm] ein. aber da
> hab ich wohl falsch gedacht, oder?
> dann muss ich des ja bei allen aufgaben, wo nicht nur x
> dasteht, auch beachten. danke, dass du mir des gesagt hast,
> sonst hätt ich in meiner facharbeit echt a paar riesen
> fehler! die kettenregel mag ich nämlich überhaupt net *gg*
> noch ne ganz doofe frage: die ableitung von e^(2x), is die
> dann 2e^(2x)?
Yep, per Kettenregel
> ich hab für die zweite ableitung
> [mm]\bruch{e^x-e^(3x)}{(1+e^(2x))²}[/mm] wenn ich die dann gleich
> null setz, komm ich auf [mm]e^x[/mm] = e^(3x)
> danke, lg manu
Die Ableitung ist Korrekt.
Also bleibt
[mm] e^{x}=e^{3x} [/mm] |ln
[mm] \gdw ln(e^{x})=ln(e^{3x})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x=3x
[mm] \gdw [/mm] ...
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mi 24.01.2007 | | Autor: | ManuD |
hi ihr!
also ich hab die zweite ableitung f''(x) = [mm]\bruch{e^x-e^(3x)}{(1+e^(2x))^2}[/mm]. da kommt dann x=3x raus, d.h. x=0
die 0 setz ich dann in die dritte ableitung f'''(x) = [mm]\bruch{e^x-6e^(3x)+9^(5x)}{(1+e^(2x))^3}[/mm]
wenn ich null da einsetz, kommt f'''(x) = 1/2 raus. da liegt aber des problem, weil ich ja schaun muss, wo der graph am steilsten is. wenn aber >0 rauskommt, wär des ja ein minimum, oder?
weiß echt nimmer weiter!
lg manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Mi 24.01.2007 | | Autor: | maybe. |
Hallo,
deine Ableitung ist leider schon wieder falsch. Wie kommst du denn auf:
f'''(x) = $ [mm] \bruch{e^x-6e^(3x)+9^(5x)}{(1+e^(2x))^3} [/mm] $
9^5x her ?
Wahrscheinlich hast du dich nur verschrieben.
Muss jedenfalls
f'''(x) = $ [mm] \bruch{e^x-6e^(3x)+e^(5x)}{(1+e^(2x))^3} [/mm] $
heissen.
Setz da dann mal 0 ein und ....
Gruss
PS: Recht hilfreich wenn man sich nicht sicher ist:
http://calc101.com/webMathematica/derivatives.jsp
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mi 24.01.2007 | | Autor: | ManuD |
hi!
also meine zweite ableitung lautet: f''(x)= [mm]\bruch{e^x-e^(3x)}{(1+e^(2x))^2}[/mm]
abgeleitet hab ich nach [mm]\bruch{NAZ-ZAN}{N^2}[/mm] (N=nenner, AZ=ableitung des zählers, AZ=ableitung des nenners)
also:
f'''(x)= [mm]\bruch{(1+e^(2x))^2*(e^x-3e^(3x))-(e^x-e^(3x))*2(1+e^(2x))*2e^(2x)}{(1+e^(2x))^4}[/mm] = [mm]\bruch{(1+e^(2x))*(e^x-3e^(3x))-4e^(3x)*(e^x-3e^(3x))}{(1+e^(2x))^3}[/mm] = [mm]\bruch{e^x-3e^(3x)+e^(3x)-3e^(5x)-4e^(3x)+12e^(5x)}{(1+e^(2x))^3}[/mm] = [mm]\bruch{e^x-6e^(3x)+9e^(5x)}{(1+e^(2x))^3}[/mm]
wenn ich dann 0 einsetz, kommt folgendes raus:
f'''(0)= [mm]\bruch{1-6+9}{(1+1)^3}[/mm] = [mm]\bruch{4}{8}[/mm] = 0,5
wenn die 3. ableitung falsch wär, würde ja net 0,5 rauskommen. hab meinen lehrer mal gefragt, der hat diesen wert in seiner lösung nachgeschaut. also irgendwas passt da net.
aber zu der ganzen aufgabe: is die steigung dann am punkt (0/?) gleich 0,5 und der graph an der stelle am steilsten?
lg manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mi 24.01.2007 | | Autor: | maybe. |
Dann ist wohl die Musterloesung deines Lehrers falsch!!!
hi!
also meine zweite ableitung lautet: f''(x)= $ [mm] \bruch{e^x-e^(3x)}{(1+e^(2x))^2} [/mm] $
abgeleitet hab ich nach $ [mm] \bruch{NAZ-ZAN}{N^2} [/mm] $ (N=nenner, AZ=ableitung des zählers, AZ=ableitung des nenners)
also:
f'''(x)= $ [mm] \bruch{(1+e^(2x))^2\cdot{}(e^x-3e^(3x))-(e^x-e^(3x))\cdot{}2(1+e^(2x))\cdot{}2e^(2x)}{(1+e^(2x))^4} [/mm] $ =
soweit stimmts.
$ [mm] \bruch{(1+e^(2x))\cdot{}(e^x-3e^(3x))-4e^(3x)\cdot{}(e^x-3e^(3x))}{(1+e^(2x))^3} [/mm] $
Da ist der Fehler! (sogar 2!!!) es muss heissen:
$ [mm] \bruch{(1+e^(2x))\cdot{}(e^x-3e^(3x))-4e^(2x)\cdot{}(e^x-e^(3x))}{(1+e^(2x))^3} [/mm] $
also ich betrachte jetzt mal im weiteren nur den Nenner:
= $ [mm] e^x-3e^{3x}+e^{3x}-3e^{5x}-4e^{3x}+4e^{5x} [/mm] $
= $ [mm] e^x-6e^{3x}+e^{5x} [/mm] $
wenn du jetzt null ein setzt bekommst du :
1-6+1 = -4
also insgesamt f'''(0) = -1/2
da auch f''(0) = 0 hat f' bei x=0 ein maximum und deshalb ist f an der stelle 0 dann am steilsten.
gruss
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