stet. Funk. in metr. Raum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Di 15.11.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Seien $(X,d)$ ein metrischer Raum und $f,g: [mm] X\rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] stetige Funktionen. Man zeige:
(i) $f(x) = g(x) [mm] \forall x\in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \bar{A}$ [/mm]
(ii) $f(x) [mm] \le [/mm] g(x) [mm] \forall x\in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \bar{A}$ [/mm]
Zusatzfrage: Gilt dies auch für topologische Räume? |
Zu (i): Es ist also zu zeigen, dass zwei Funktionen, die in einer (eventuell offenen) Teilmenge A übereinstimmen, auch in den Funktionswerten ihres Abschluss übereinstimmen (d.h. ihrer kleinsten abgeschlossenen Obermenge).
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich an den Beweis herankommen soll. Ich denke außerdem nicht, dass ich die Stetigkeit überhaupt brauche.
Kann mir jemand helfen und sagen, was ich genau definitionsgemäß zu zeigen habe. Auch wenn mir die Stetigkeitsdefinition in metrischen Räumen bekannt ist, weiß ich leider trotzdem nicht, wieso ich erstes die Stetigkeit brauche zweitens, was hier in Definitionsschreibweise überhaupt zu zeigen ist.
Kann mir da jemand aushelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Di 15.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum und [mm]f,g: X\rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> stetige Funktionen. Man zeige:
> (i) [mm]f(x) = g(x) \forall x\in A \Rightarrow f(x) = g(x) \forall x \in \bar{A}[/mm]
> (ii) [mm]f(x) \le g(x) \forall x\in A \Rightarrow f(x) \le g(x) \forall x \in \bar{A}[/mm]
>
> Zusatzfrage: Gilt dies auch für topologische Räume?
> Zu (i): Es ist also zu zeigen, dass zwei Funktionen, die
> in einer (eventuell offenen) Teilmenge A übereinstimmen,
> auch in den Funktionswerten ihres Abschluss übereinstimmen
Genau.
> (d.h. ihrer kleinsten abgeschlossenen Obermenge).
>
> Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich an den
> Beweis herankommen soll. Ich denke außerdem nicht, dass
> ich die Stetigkeit überhaupt brauche.
Doch, die brauchst Du.
> Kann mir jemand helfen und sagen, was ich genau
> definitionsgemäß zu zeigen habe.
Das hast Du doch oben gesagt: gilt f=g auf A, so folgt: f=g auf [mm] \overline{A}
[/mm]
> Auch wenn mir die
> Stetigkeitsdefinition in metrischen Räumen bekannt ist,
> weiß ich leider trotzdem nicht, wieso ich erstes die
> Stetigkeit brauche zweitens, was hier in
> Definitionsschreibweise überhaupt zu zeigen ist.
>
> Kann mir da jemand aushelfen?
Sei [mm] x_0 \in \overline{A}. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in A mit: [mm] x_n \to x_0.
[/mm]
Da f und g stetig sind, haben wir:
[mm] f(x_n) \to f(x_0) [/mm] und [mm] g(x_n) \to g(x_0).
[/mm]
Aus [mm] f(x_n)=g(x_n) [/mm] für alle n folgt dann [mm] f(x_0)=g(x_0)
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Di 15.11.2011 | | Autor: | clemenum |
Hallo Fred!
Vielen Dank für deine Antwort, ich habe es nun verstanden und damit das zweite Problem auch gelöst! :)
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