stetig+differenzierbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} x^3cos(1+\bruch{1}{2x^2})+a, & \mbox{für } x<0 \\ exp(x)-bx, & \mbox{für } x \ge 0 \end{cases}
[/mm]
und a,b [mm] \in \IR. [/mm] Zeigen Sie, unter welcher Bedingung an a und b:
i) f in ganz [mm] \IR [/mm] stetig ist
ii) " differenzierbar ''
iii) " stetig differenzierbar" |
zu i)
erstens:
------------
f(0) muss bei beiden dasselbe sein, also beide Teile gleichsetzen und für x=0 einsetzen
[mm] 0^3cos(1+\bruch{1}{0})+a [/mm] = exp(0)-b*0
aber man darf doch nicht durch 0 teilen?!? oder soll man das einfach ignorieren weil im Produkt ja [mm] 0^{3} [/mm] steht? Dann wäre a=1
zweitens:
------------
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}}x^3cos(1+\bruch{1}{2x^2})+a =\limes_{x\rightarrow 0^{+}}exp(x)-bx
[/mm]
a=1 einsetzen
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}}x^3cos(1+\bruch{1}{2x^2})+1 [/mm] =1
Das Argument des Cosinus wird GANZ GROSS, wenn x [mm] \to 0^{-} [/mm] läuft, aber da [mm] x^3 [/mm] ja gegen 0 läuft ist der limes 1
also muss folgendes gelten
[mm] 1=\limes_{x\rightarrow 0^{+}}exp(x)-bx
[/mm]
d.h. b kann jede beliebige Zahl sein
die ergebnisse sind irgendwie komisch, hab ich das alles richtig gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:40 Do 06.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> man darf doch nicht durch 0 teilen?!?
Natürlich nicht.
> soll man das einfach ignorieren
Niemals.
> Dann wäre a=1
Ja.
> zweitens:
Nix zweitens. Das ist der Beweis für erstens.
> Das Argument des Cosinus wird GANZ GROSS,...
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
[mm] 1+\bruch{1}{2x^2}\to \infty [/mm] , für [mm] x\to 0^{-}
[/mm]
cos(x) konvergiert aber nicht für [mm] x\to \infty [/mm] .
Du musst also zumindest eine Abschätzung finden, um
>da $ [mm] x^3 [/mm] $ ja gegen 0 läuft ist der limes 1
folgern zu können.
> d.h. b kann jede beliebige Zahl sein
Genau.
Und was ist mit
ii) " differenzierbar "
iii) " stetig differenzierbar" ?
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Do 06.03.2008 | | Autor: | Kreide |
was ichda oben mit erstens und zweitens meinte bezog sich auf i)
man muss doch beides überprüfen, da die funktion an der stelle x=0 ja einen Sprung machen könnte, deshalb muss man den links und rechtsseitigen limes betrachten , aber auch den funktionswert an der stelle x=0,
aber wenn ich x=0 einsetze teile ich ja durch null?!? aber so müsste ich doch theoretisch vorgehen oder etwa nicht?
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> man muss doch beides überprüfen,
Hallo,
was "beides" meinst Du?
Um die Stetigkeit an der Stelle 0 zu überprüfen, mußt Du nachschauen, ob der Grenzwert von rechts und der von links gleich sind, und ob dieser gleich dem Funktionswert ist.
Wenn ja, stoßen die Funktionsteile an der "Nahtstelle" zusammen, es gibt also keinen Sprung.
> aber wenn ich x=0 einsetze teile ich ja durch null?!?
Ja, und deshalb darfst Du da nicht 0 einsetzen.
Wie gesagt: man interessiert sich für den Grenzwert, dafür, ob die Funktion von unten "ganz dicht" an f(0) heranrückt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Do 06.03.2008 | | Autor: | Kreide |
i)
f(0)=exp(0)-b*0=1
lim [mm] x^{3}cos(1+\bruch{1}{2x^2})+a [/mm] für x [mm] \to 0^{-} [/mm] MUSS=f(0)=1
also ist a=1
lim exp(x)-bx=1 für x [mm] \to 0^{+}
[/mm]
also b beliebig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Do 06.03.2008 | | Autor: | Zneques |
i) stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schöner wäre jedoch :
i)
f(0)=exp(0)-b*0=1
wegen [mm] |cos(1+\bruch{1}{2x^2})|\le [/mm] 1 folgt
[mm] |x^3*cos(1+\bruch{1}{2x^2})|\le |x^3| [/mm] und somit
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}}|x^3*cos(1+\bruch{1}{2x^2})|\le \limes_{x\rightarrow 0^{-}}|x^3|=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0^{-}} x^{3}cos(1+\bruch{1}{2x^2})+a=0+a=a [/mm] , es muss f(0)=1
also ist a=1
da [mm] \forall b\in\IR [/mm] gilt : lim exp(x)-bx=1 für x $ [mm] \to 0^{+} [/mm] $
ist b beliebig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Do 06.03.2008 | | Autor: | Kreide |
zu ii)
an der stelle x=0 darf keine knick sein --> Ab.leitungen anschauen:
[mm] f'(x)=\begin{cases} x^3(-sin(1+\bruch{1}{2x^2})4x+cos(1+\bruch{1}{2x^2})3x^2 \mbox{für } x<0 \\ exp(x)-b \mbox{für } x \ge 0 \end{cases}
[/mm]
--------
f'(0)=exp(0)-b=1-b
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}}x^3(-sin(1+\bruch{1}{2x^2}4x)+cos(1+\bruch{1}{2x^2}4x)3x^2=0
[/mm]
0=1-b [mm] \to [/mm] b= 1
a beliebig, da es beim Ableiten wegfällt
zu iii)
hier muss man die Stetigkeit der Ableitung anschauen
also was ist f(0) und ist l-lim=r-lim=f(0)
aber würde man da nicht so vorgehen wie bei ii) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Do 06.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> an der stelle x=0 darf kein knick sein
Ja. Das bezieht sich aber auf die Funktion f.
In f' können die Werte völlig beliebig sein. Hauptsache ist, dass sie existieren.
Wenn bei 0 ein Sprung in der Ableitung ist, dann ist die Fkt. trotzdem differenzierbar.
Du musst also nur sagen, dass du für alle [mm] x\in\IR [/mm] einen eindeutigen Wert für f' bestimmen kannst.
> zu iii)
> hier muss man die Stetigkeit der Ableitung anschauen
> also was ist f'(0) und ist l-lim=r-lim=f'(0)
Genau. Das kommt dann erst im 3. Teil der Aufgabe.
Du musst deine Ableitung nochmal nachrechnen.
[mm] (1+\bruch{1}{2x^2})'\not=4x
[/mm]
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Kreide |
iii)
f stetig diffbar in x=0 [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow0^-}f('x)=f'(0)=\limes_{x\rightarrow0^+}f'(x)
[/mm]
------------
f'(0)=0, falls [mm] \alpha=\beta=1 [/mm] (aus i) und ii))
0=f'(0) MUSS = [mm] \limes_{x\rightarrow0^-}f('x) =\limes_{x\rightarrow0^-}(sin(1+\bruch{1}{2x^2}) [/mm] (*)
so nun hatte mein übungsleiter [mm] sin(1+\bruch{1}{2x^2}) [/mm] näher betrachtet
[mm] y_n:=1+\bruch{1}{2x^2}
[/mm]
[mm] y_n=2n\pi+\pi/2 [/mm] und " [mm] y_n [/mm] " [mm] =2n\pi
[/mm]
[mm] sin(1+\bruch{1}{2x^2}) [/mm] muss ja 0 sein siehe(*)
wieso muss man dann überhaupt [mm] y_n=2n\pi+\pi/2 [/mm] betrachten? Hierfür wäre [mm] sin(1+\bruch{1}{2x^2})=1 [/mm] und nicht gleich 0
--------
" [mm] y_n [/mm] " [mm] =2n\pi [/mm] -->sin(" [mm] y_n [/mm] ")=0
[mm] 2n\pi=1+\bruch{1}{2x_n^2} [/mm]
--> [mm] x_n=-\wurzel{ \bruch{1}{4 \pi n-2}}
[/mm]
wieso folgt hier daraus, dass
[mm] limes_{x\rightarrow0^-}f'(x) [/mm] nicht existiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kreide,
ohne, dass ich oben auf das Beispiel mal näher eingehen will:
Dir ist anscheinend unklar, wie man die Stetigkeit bzw. Unstetigkeit einer Funktion an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nachweisen kann.
Ich mache einfach mal absichtlich ein anderes (Standard-) Beispiel einer Funktion, die (genau) unstetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist, nämlich:
[mm] $f(x):=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] auf [mm] $\IR \setminus\{0\}$ [/mm] und $f(0):=0$ (Beachte: [mm] $D_f=\IR$).
[/mm]
Wir kümmern uns darum, warum sie unstetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist.
(Dass sie stetig in allen [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] ist: Wie könnte man das beweisen?)
Wäre diese Funktion stetig in [mm] $x_0=0$, [/mm] so müsste ja insbesondere [mm] $\lim_{x \to 0^+}f(x)=f(0)$ [/mm] gelten. Nun weiß man aber zum Beispiel folgendes:
1.) Es gilt [mm] $\sin(\pi+k*2\pi)=0$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] (es gilt sogar für alle $k [mm] \in \IZ$).
[/mm]
2.) Es gilt [mm] $\sin\left(\frac{\pi}{2}+k*2\pi\right)=1$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] (auch dieses gilt sogar für alle $k [mm] \in \IZ$)
[/mm]
Bei 1.) stehen Nullstellen des [mm] $\sin(.)$, [/mm] bei 2.) die "Hochstellen" ($x$-Werte der Hochpunkte) auf [mm] $(0,\infty)$.
[/mm]
Und jetzt liegt es nahe, sich zu fragen:
Wann treten bei [mm] $f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] in der Inneren Funktion die Werte auf?
Naja:
[mm] 1.)$\frac{1}{x_k}=\pi+k*2\pi \gdw x_k=\frac{1}{\pi+k*2\pi}$ [/mm] für $k [mm] \in N_0$
[/mm]
2.) [mm] $\frac{1}{y_k}=\frac{\pi}{2}+k*2\pi \gdw y_k=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k*2\pi}$
[/mm]
Nun gilt sicherlich zudem:
[mm] $x_k \to [/mm] 0$ und [mm] $y_k \to [/mm] 0$ bei $k [mm] \to \infty$
[/mm]
Nach Konstruktion gilt aber auch:
[mm] $f(x_k)=0$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] und damit [mm] $f(x_k) \to [/mm] 0$ für $k [mm] \to \infty$ [/mm]
sowie
[mm] $f(y_k)=1$ [/mm] für jedes $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] und damit [mm] $f(y_k) \to [/mm] 1$ für $k [mm] \to \infty$ [/mm]
Damit kann aber [mm] $\lim_{x \to 0^+}f(x)$ [/mm] nicht existieren, denn:
Angenommen, doch. Sei [mm] $r:=f(0^+):=\lim_{x \to 0^+}f(x)$ ($\in \IR$). [/mm] Wäre $f(0^+)=r=1$, so kann man wegen [mm] $f(x_k)=0 \to [/mm] 0$ und [mm] $x_k \to [/mm] 0$ zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ ein [mm] $k_0 \in \IN_0$ [/mm] so angeben, dass [mm] $x_{k_0} \in (0,\delta)$, [/mm] aber [mm] $|f(x_{k_0})-1|=|0-1|=1 [/mm] > [mm] \frac{1}{2}$. [/mm] Zu [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2} [/mm] > 0$ kann es also kein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so geben, dass für alle $x [mm] \in (0,\delta)$ [/mm] gelten würde, dass $|f(x)-r| < [mm] \frac{1}{2}$, [/mm] damit kann $f(0^+)=1$ nicht gelten.
(Vollkommen analog erkennt man, dass $f(0^+)=0$ nicht gelten kann.)
Nehmen wir also mal an, es sei $r=f(0^+) [mm] \not=1$. [/mm] Nun setze [mm] $\varepsilon:=\frac{1}{2}\min\{|r-1|\}$. [/mm] In jedem [mm] $(0,\delta)$-Intervall [/mm] mit [mm] $\delta [/mm] > 0$ findest Du dann (mindestens) einen "störenden" Wert [mm] $y_{k_0}$, [/mm] denn:
[mm] $(y_k)_{k \in \IN_0}$ [/mm] war eine Folge in [mm] $(0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $y_k \to [/mm] 0$, und zudem gilt für jedes [mm] $y_k$, [/mm] dass [mm] $f(y_k)=1$.
[/mm]
Damit wäre aber [mm] $|f(y_{k_0})-r|=|r-1| [/mm] > [mm] \frac{|r-1|}{2}=\varepsilon$
[/mm]
Lange Rede, kurzer Sinn:
Ich empfehle Dir folgendes:
Lasse Dir mal den Graphen von [mm] $f(x):=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] auf [mm] $\IR \setminus\{0\}$ [/mm] mit $f(0):=0$ zeichnen.
Dann gucke Dir an, wo [mm] $x_k$ [/mm] und [mm] $y_k$ [/mm] auf der $x$-Achse liegen und was (die zugehörigen) [mm] $f(x_k)$ [/mm] und [mm] $f(y_k)$ [/mm] für Funktionswerte sind. Versuche mal, dieses Beispiel hier so komplett zu verstehen.
Danach werden sich nämlich Deine Fragen für die von Dir genannte Funktion selbst erklären, hoffe ich jedenfalls.
P.S.:
Noch einfacher wäre es, wenn Du Dir auch mal den Satz 10.7 in folgendem Skriptum anguckst (ich hoffe, er ist Dir bekannt, ggf. habt ihr [mm] $\lim_{x \to x_0}$ [/mm] anders definiert, als wir, aber auch dann gilt dieser Satz, weil ihr dann sicherlich eine zu unserer Definition äquivalente Definition habt)
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Denn aus diesem folgt mit obigen Überlegungen sofort, dass $f(0^+)$ nicht existiert (da bedarf es einer kleinen Zusatzüberlegung, wie man den Satz für "einseitige" Grenzwerte umformulieren kann), da [mm] $(x_k)_k$ [/mm] und [mm] $(y_k)_k$ [/mm] beides Folgen in [mm] $(0,\infty)$ [/mm] sind, die (von rechts) gegen $0$ konvergieren, aber die Folgen [mm] $(f(x_k))_k$ [/mm] und [mm] $(f(y_k))_k$ [/mm] streben gegen verschiedene Werte.
Und wenn Du das hier verstanden hast, dann sollte Dir vielleicht ein Licht aufgehen, was Dein Übungsleiter bei der von Dir angegeben Funktion $f(x)$ macht, um die Unstetigkeit an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] von der dortigen Funktion [mm] $\blue{f\mbox{ }'(x)}$ [/mm] nachzuweisen.
Wenn das alles nix hilft:
Lasse Dir doch mal den Graphen von [mm] $\blue{f\mbox{ }'}$ [/mm] plotten. Gucke Dir damit an, welche Folgen [mm] $(y_n)_n$ [/mm] auf der $x$-Achse Dein Übungsleiter da betrachtet, wogegen die konvergieren und was es mit den zugehörigen Folgen der Funktionswerte (von [mm] $\blue{f\mbox{ }'}$) [/mm] auf sich hat. Sowas kann manchmal mehr helfen als jede formale Erklärung, zumindest zum "verinnerlichen".
P.P.S.:
Dein Übungsleiter hat das ganze vielleicht in Analogie zu oben mit dem linksseitigen Grenzwert an $0$ gemacht, aber so genau habe ich mir das nicht angeguckt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Kreide |
> Hallo Kreide,
>
> ohne, dass ich oben auf das Beispiel mal näher eingehen
> will:
>
> Dir ist anscheinend unklar, wie man die Stetigkeit bzw.
> Unstetigkeit einer Funktion an einer Stelle [mm]x_0[/mm] nachweisen
> kann.
>
> Ich mache einfach mal absichtlich ein anderes (Standard-)
> Beispiel einer Funktion, die (genau) unstetig in [mm]x_0=0[/mm] ist,
> nämlich:
>
> [mm]f(x):=\sin\left(\frac{1}{x}\right)[/mm] auf [mm]\IR \setminus\{0\}[/mm]
> und [mm]f(0):=0[/mm] (Beachte: [mm]D_f=\IR[/mm]).
>
> Wir kümmern uns darum, warum sie unstetig in [mm]x_0=0[/mm] ist.
> (Dass sie stetig in allen [mm]x_0 \not=0[/mm] ist: Wie könnte man
> das beweisen?)
>
> Wäre diese Funktion stetig in [mm]x_0=0[/mm], so müsste ja
> insbesondere [mm]\lim_{x \to 0^+}f(x)=f(0)[/mm] gelten. Nun weiß man
> aber zum Beispiel folgendes:
>
> 1.) Es gilt [mm]\sin(\pi+k*2\pi)=0[/mm] für alle [mm]k \in \IN_0[/mm] (es
> gilt sogar für alle [mm]k \in \IZ[/mm]).
>
> 2.) Es gilt [mm]\sin\left(\frac{\pi}{2}+k*2\pi\right)=1[/mm] für
> alle [mm]k \in \IN_0[/mm] (auch dieses gilt sogar für alle [mm]k \in \IZ[/mm])
wie kommt darauf, dass man die sinusfunktion einmal gleich 1 und einmal gleich0 setzt? besser gesagt, wieso gleich 1? uns interessiert doch eigentlich nur die stelle x=0 und nicht x=1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kreide,
es geht darum, dass an den Stellen [mm] $x_k$ [/mm] der FUNKTIONSWERT [mm] $f(x_k)$ [/mm] stets $=0$ ist und an den Stellen [mm] $y_k$ [/mm] der FUNKTIONSWERT [mm] $f(y_k)$ [/mm] stets $=1$ und, was nicht weniger wichtig hier ist: zudem streben die Folgen [mm] $(x_k)_k$ [/mm] und [mm] $(y_k)_k$ [/mm] "von rechts" gegen $0$.
(Das letzte ist ja sehr wichtig, da wir die Existenz von $f(0^+)$ widerlegen wollen.)
Bitte:
Wenn es unklar ist, dann lass' Dir mal den Graphen der Funktion zeichnen (meinetwegen im Intervall $[-1,1]$), und gucke dort, wo die [mm] $x_k$, $y_k$ [/mm] auf der $x$-Achse liegen und wo die zugehörigen Funktionswerte [mm] $f(x_k)$, $f(y_k)$ [/mm] liegen.
(Das sollte jeder einigermaßen vernünftige Funktionenplotter wenigstens für die ersten 10 [mm] $x_k$, $y_k$ [/mm] darstellen können, zumal es ja schon rechnerisch klar ist, was zu sehen sein sollte.)
(Genaugenommen:
Die Koordinaten im [mm] $\IR^2$ [/mm] sind dann ja einfach [mm] $(x_k,f(x_k))=(x_k,0)$ [/mm] und [mm] $(y_k,f(y_k))=(y_k,1)$ [/mm] mit [mm] $x_k$, $y_k$ [/mm] ($k [mm] \in \IN_0$) [/mm] wie oben.)
Wenn Du das nicht tust:
Vielleicht hat ja jemand mal Lust, das ganze wenigstens etwas zu skizzieren (mit Funkyplot z.B.) und das hier zu posten, momentan habe ich hier kein passendes "Werkzeug" an dem PC, sonst würde ich das machen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Kreide |
stimmt es geht um die funktionswerte, da hatte ich mich bei der frage etwas falsch ausgedrückt, aber mir ist leider immer noch nicht klar warum du
sin(..)=1 und sin(..)=0 setzt, warum nicht gleich -1 oder 0,5 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo
Habe zwar alles nur überflogen. In der vierletzten Nachricht stand: Dies seien die Nullstellen und die Hochpunkte der Sinus-Funktion. Dabei werden diese Nullstellen und Hochpunkte nicht "gesetzt", sondern sie sind da. Da brauch man nichts setzten.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> stimmt es geht um die funktionswerte, da hatte ich mich bei
> der frage etwas falsch ausgedrückt, aber mir ist leider
> immer noch nicht klar warum du
> sin(..)=1 und sin(..)=0 setzt, warum nicht gleich -1 oder
> 0,5 ?
im Prinzip ginge das auch, man könnte auch mit diesen Werten hier entsprechende Nullfolgen in [mm] $(0,\infty)$ [/mm] angeben, wobei die Funktionswerte der einen Folge immer $=-1$ und die der anderen immer $=0,5$ ist (ich finde nur gewisse Nullstellen und die $x$-Werte der Hochpunkte hier, alleine schon am Graphen betrachtet, sehr naheliegend). Das obige von mir ist ja nur EINE Möglichkeit, die Unstetigkeit der Funktion an [mm] $x_0=0$ [/mm] zu zeigen. Meinetwegen versuche mal die Folgen mit Deiner Idee konkret so anzugeben. Damit klappt das auch, wenn Du diese richtig angibst und damit richtig argumentierst. Why not?
(Die Argumentation geht dann schnell mit dem Satz 10.7, den ich schonmal erwähnte.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 So 30.03.2008 | | Autor: | Kreide |
> Hallo Kreide,
>
> ohne, dass ich oben auf das Beispiel mal näher eingehen
> will:
>
> Dir ist anscheinend unklar, wie man die Stetigkeit bzw.
> Unstetigkeit einer Funktion an einer Stelle [mm]x_0[/mm] nachweisen
> kann.
>
> Ich mache einfach mal absichtlich ein anderes (Standard-)
> Beispiel einer Funktion, die (genau) unstetig in [mm]x_0=0[/mm] ist,
> nämlich:
>
> [mm]f(x):=\sin\left(\frac{1}{x}\right)[/mm] auf [mm]\IR \setminus\{0\}[/mm]
> und [mm]f(0):=0[/mm] (Beachte: [mm]D_f=\IR[/mm]).
>
> Wir kümmern uns darum, warum sie unstetig in [mm]x_0=0[/mm] ist.
> (Dass sie stetig in allen [mm]x_0 \not=0[/mm] ist: Wie könnte man
> das beweisen?)
>
> Wäre diese Funktion stetig in [mm]x_0=0[/mm], so müsste ja
> insbesondere [mm]\lim_{x \to 0^+}f(x)=f(0)[/mm] gelten. Nun weiß man
> aber zum Beispiel folgendes:
>
> 1.) Es gilt [mm]\sin(\pi+k*2\pi)=0[/mm] für alle [mm]k \in \IN_0[/mm] (es
> gilt sogar für alle [mm]k \in \IZ[/mm]).
>
> 2.) Es gilt [mm]\sin\left(\frac{\pi}{2}+k*2\pi\right)=1[/mm] für
> alle [mm]k \in \IN_0[/mm] (auch dieses gilt sogar für alle [mm]k \in \IZ[/mm])
>
> Bei 1.) stehen Nullstellen des [mm]\sin(.)[/mm], bei 2.) die
> "Hochstellen" ([mm]x[/mm]-Werte der Hochpunkte) auf [mm](0,\infty)[/mm].
>
> Und jetzt liegt es nahe, sich zu fragen:
>
> Wann treten bei [mm]f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)[/mm] in der
> Inneren Funktion die Werte auf?
>
> Naja:
>
> 1.)[mm]\frac{1}{x_k}=\pi+k*2\pi \gdw x_k=\frac{1}{\pi+k*2\pi}[/mm]
> für [mm]k \in N_0[/mm]
>
> 2.) [mm]\frac{1}{y_k}=\frac{\pi}{2}+k*2\pi \gdw y_k=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k*2\pi}[/mm]
>
> Nun gilt sicherlich zudem:
>
> [mm]x_k \to 0[/mm] und [mm]y_k \to 0[/mm] bei [mm]k \to \infty[/mm]
>
> Nach Konstruktion gilt aber auch:
>
> [mm]f(x_k)=0[/mm] für jedes [mm]k \in \IN_0[/mm] und damit [mm]f(x_k) \to 0[/mm] für [mm]k \to \infty[/mm]
>
> sowie
>
> [mm]f(y_k)=1[/mm] für jedes [mm]k \in \IN_0[/mm] und damit [mm]f(y_k) \to 1[/mm] für [mm]k \to \infty[/mm]
>
Bis hierhin hab ich alles verstanden.
>
> Damit kann aber [mm]\lim_{x \to 0^+}f(x)[/mm] nicht existieren,
> denn:
kann jm , das bitte noch mal in anderen Worten erklären, hab immer so Problem mit der EpsilonDelta Umgebung? Wäre nett!
>
> Angenommen, doch. Sei [mm]r:=f(0^+):=\lim_{x \to 0^+}f(x)[/mm] ([mm]\in \IR[/mm]).
> Wäre [mm]f(0^+)=r=1[/mm], so kann man wegen [mm]f(x_k)=0 \to 0[/mm] und [mm]x_k \to 0[/mm]
> zu jedem [mm]\delta > 0[/mm] ein [mm]k_0 \in \IN_0[/mm] so angeben, dass
> [mm]x_{k_0} \in (0,\delta)[/mm], aber [mm]|f(x_{k_0})-1|=|0-1|=1 > \frac{1}{2}[/mm].
> Zu [mm]\varepsilon=\frac{1}{2} > 0[/mm] kann es also kein [mm]\delta > 0[/mm]
> so geben, dass für alle [mm]x \in (0,\delta)[/mm] gelten würde, dass
> [mm]|f(x)-r| < \frac{1}{2}[/mm], damit kann [mm]f(0^+)=1[/mm] nicht gelten.
>
> (Vollkommen analog erkennt man, dass [mm]f(0^+)=0[/mm] nicht gelten
> kann.)
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:54 So 30.03.2008 | | Autor: | Kreide |
liegt es vielleicht daran?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sin(1+\bruch{1}{x_n})=0
[/mm]
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n=0
[/mm]
[mm] x_n [/mm] ist eine Nullfolge. Das Argument von dem sinus wäre null, aber sin(0) ungleich 0
-- > [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f'(x) existiert nicht
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Hallo,
was Du unten schreibst ist mir mehrfach rätselhaft.
Hast Du gerade eine Nullfolge [mm] (x_n) [/mm] und betrachtest
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sin(1+\bruch{1}{x_n}) [/mm] ?
> liegt es vielleicht daran?
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sin(1+\bruch{1}{x_n})=0[/mm]
Wie kommst Du darauf, daß das =0 ist?
>
> und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n=0[/mm]
>
> [mm]x_n[/mm] ist eine Nullfolge. Das Argument von dem sinus wäre
> null,
Wieso? Wenn [mm] x_n\to [/mm] 0, dann [mm] (1+\bruch{1}{x_n})\to \infty.
[/mm]
Folglich somit existiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sin(1+\bruch{1}{x_n}) [/mm] nicht.
> Das Argument von dem sinus wäre
> null, aber sin(0) ungleich 0
???
sin(0)=0
Gruß v. Angela
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> > Hallo Kreide,
> >
> > ohne, dass ich oben auf das Beispiel mal näher eingehen
> > will:
> >
> > Dir ist anscheinend unklar, wie man die Stetigkeit bzw.
> > Unstetigkeit einer Funktion an einer Stelle [mm]x_0[/mm] nachweisen
> > kann.
> >
> > Ich mache einfach mal absichtlich ein anderes (Standard-)
> > Beispiel einer Funktion, die (genau) unstetig in [mm]x_0=0[/mm] ist,
> > nämlich:
> >
> > [mm]f(x):=\sin\left(\frac{1}{x}\right)[/mm] auf [mm]\IR \setminus\{0\}[/mm]
> > und [mm]f(0):=0[/mm] (Beachte: [mm]D_f=\IR[/mm]).
> >
> > Wir kümmern uns darum, warum sie unstetig in [mm]x_0=0[/mm] ist.
> > (Dass sie stetig in allen [mm]x_0 \not=0[/mm] ist: Wie könnte man
> > das beweisen?)
> >
> > Wäre diese Funktion stetig in [mm]x_0=0[/mm], so müsste ja
> > insbesondere [mm]\lim_{x \to 0^+}f(x)=f(0)[/mm] gelten. Nun weiß man
> > aber zum Beispiel folgendes:
> >
> > 1.) Es gilt [mm]\sin(\pi+k*2\pi)=0[/mm] für alle [mm]k \in \IN_0[/mm] (es
> > gilt sogar für alle [mm]k \in \IZ[/mm]).
> >
> > 2.) Es gilt [mm]\sin\left(\frac{\pi}{2}+k*2\pi\right)=1[/mm] für
> > alle [mm]k \in \IN_0[/mm] (auch dieses gilt sogar für alle [mm]k \in \IZ[/mm])
>
> >
> > Bei 1.) stehen Nullstellen des [mm]\sin(.)[/mm], bei 2.) die
> > "Hochstellen" ([mm]x[/mm]-Werte der Hochpunkte) auf [mm](0,\infty)[/mm].
> >
> > Und jetzt liegt es nahe, sich zu fragen:
> >
> > Wann treten bei [mm]f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)[/mm] in der
> > Inneren Funktion die Werte auf?
> >
> > Naja:
> >
> > 1.)[mm]\frac{1}{x_k}=\pi+k*2\pi \gdw x_k=\frac{1}{\pi+k*2\pi}[/mm]
> > für [mm]k \in N_0[/mm]
> >
> > 2.) [mm]\frac{1}{y_k}=\frac{\pi}{2}+k*2\pi \gdw y_k=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k*2\pi}[/mm]
>
> >
> > Nun gilt sicherlich zudem:
> >
> > [mm]x_k \to 0[/mm] und [mm]y_k \to 0[/mm] bei [mm]k \to \infty[/mm]
> >
> > Nach Konstruktion gilt aber auch:
> >
> > [mm]f(x_k)=0[/mm] für jedes [mm]k \in \IN_0[/mm] und damit [mm]f(x_k) \to 0[/mm] für [mm]k \to \infty[/mm]
> >
> > sowie
> >
> > [mm]f(y_k)=1[/mm] für jedes [mm]k \in \IN_0[/mm] und damit [mm]f(y_k) \to 1[/mm] für [mm]k \to \infty[/mm]
> >
>
> Bis hierhin hab ich alles verstanden.
Hallo,
das ist gut.
Marcel hat also zwei Folgen [mm] (x_n), (y_n) [/mm] konstruiert, die beide von oben gegen 0 gehen.
Dann hat er festgestellt :
die Folge [mm] (f(x_n)) [/mm] geht gegen 0 und die Folge [mm] (f(y_n)) [/mm] geht gegen 1.
Was müßte aber für beide Folgen gelten, wenn f an der Stelle x=0 einen Grenzwert v. oben hätte?
Es müßte gelten ...
(Was muß man für ... sagen? Der Beweis für ... interessiert zunächst gar nicht so sehr, sondern die Kenntnis der Tatsache.)
Also:
> > Damit kann aber [mm]\lim_{x \to 0^+}f(x)[/mm] nicht existieren,
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 So 30.03.2008 | | Autor: | Kreide |
> Marcel hat also zwei Folgen [mm](x_n), (y_n)[/mm] konstruiert, die
> beide von oben gegen 0 gehen.
>
> Dann hat er festgestellt :
>
> die Folge [mm](f(x_n))[/mm] geht gegen 0 und die Folge [mm](f(y_n))[/mm] geht
> gegen 1.
>
> Was müßte aber für beide Folgen gelten, wenn f an der
> Stelle x=0 einen Grenzwert v. oben hätte?
>
> Es müßte gelten ...
die beiden Folgen müssten gegen denselben wert laufen
>
> (Was muß man für ... sagen? Der Beweis für ... interessiert
> zunächst gar nicht so sehr, sondern die Kenntnis der
> Tatsache.)
hier weiß ich nicht was du meinst ;)
>
> Also:
> > > Damit kann aber [mm]\lim_{x \to 0^+}f(x)[/mm] nicht existieren,
>
Dank euch allen noch mal für eure Hilfen!!! Ihr seid super!!!
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> > Marcel hat also zwei Folgen [mm](x_n), (y_n)[/mm] konstruiert, die
> > beide von oben gegen 0 gehen.
> >
> > Dann hat er festgestellt :
> >
> > die Folge [mm](f(x_n))[/mm] geht gegen 0 und die Folge [mm](f(y_n))[/mm] geht
> > gegen 1.
> >
> > Was müßte aber für beide Folgen gelten, wenn f an der
> > Stelle x=0 einen Grenzwert v. oben hätte?
> >
> > Es müßte gelten ...
>
> die beiden Folgen müssten gegen denselben wert laufen
Hallo,
genau.
> > Also:
> > > > Damit kann aber [mm]\lim_{x \to 0^+}f(x)[/mm] nicht
> existieren,
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kreide,
> > Nach Konstruktion gilt aber auch:
> >
> > [mm]f(x_k)=0[/mm] für jedes [mm]k \in \IN_0[/mm] und damit [mm]f(x_k) \to 0[/mm] für [mm]k \to \infty[/mm]
> >
> > sowie
> >
> > [mm]f(y_k)=1[/mm] für jedes [mm]k \in \IN_0[/mm] und damit [mm]f(y_k) \to 1[/mm] für [mm]k \to \infty[/mm]
> >
>
> Bis hierhin hab ich alles verstanden.
> >
> > Damit kann aber [mm]\lim_{x \to 0^+}f(x)[/mm] nicht existieren,
> > denn:
>
> kann jm , das bitte noch mal in anderen Worten erklären,
> hab immer so Problem mit der EpsilonDelta Umgebung? Wäre
> nett!
einfach des Spaßes wegen machen wir dann das mal mit Satz 10.7, der hier lauten würde:
[mm] $(\*)$ $f(0^+):=\lim_{x \to 0^+}f(x)$ [/mm] existiert genau dann, wenn für jede Folge [mm] $(z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $(0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n \to \infty}z_n=0$ [/mm] gilt, dass [mm] $(f(z_n))_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert (und zwar gegen $f(0^+)$).
(Eigentlich müßtest Du das auch noch beweisen. Könntest Du das?)
Oben:
[mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] strebt gegen $0$, [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] strebt gegen $0$ und beides sind zudem Folgen in [mm] $(0,\infty)$.
[/mm]
Betrachte mal [mm] $(z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch:
[mm] $z_n:=\begin{cases} x_m, & \mbox{für } m=\frac{n}{2} \\ y_k, & \mbox{für } k=\frac{n+1}{2} \end{cases}$
[/mm]
(D.h.:
[mm] $z_1=y_1$, $z_2=x_1$, $z_3=y_2$, $z_4=x_2$,...)
[/mm]
Zeige:
Dann ist [mm] $(z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge in [mm] $(0,\infty)$, [/mm] so dass [mm] $(f(z_n))_{n \in \IN}$ [/mm] nicht konvergiert.
(Nach obigem Satz [mm] $(\*)$, [/mm] Richtung [mm] $\Rightarrow$, [/mm] kann dann daher $f(0^+)$ nicht existieren (Kontraposition)!)
Vielleicht ist es so für Dich so dann doch verständlicher? Nichtsdestotrotz solltest Du versuche, die [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Beweise [/mm] zu üben und zu verinnerlichen (später definiert man in der Topologie Stetigkeit (z.B.) mit Umgebungen, und wenn man die [mm] $\varepsilon$-$\delta$ [/mm] Beweise hier versteht und dann weiß, wie das auf Umgebungen zu übertragen ist, versteht man schon einiges in der Topologie, weil man einfach nur einen kleinen Transfer machen muss, um das "spezielle" hier nochmal zu verallgemeinern).
Gruß,
Marcel
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Hallo,
die allgemeine Vorgehensweise hat Dir Marcel ja erklärt, und Du solltest Dich mit seinem Beispiel eingehend auseinandersetzen.
Ich möchte nur noch mal ergänzend grob den Ablauf dessen schildern, was Ihr in der Übung getan habt.
Zunächst hattet Ihr ja gewiß die Diffbarkeit der Funktion (für a=b=1) gezeigt und ihre Ableitung berechnet:
[mm] f'(x)=\begin{cases} sin(1+\bruch{1}{2x^2}), & \mbox{für } x<0 \mbox{ } \\ e^x-1, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Zu klären war nun die Frage, ob f stetig differenzierbar ist.
Das bedeutet: die Stetigkeit der Funktion f' ist zu untersuchen.
Die einzige Stelle, an welcher die Stetigkeit zur Debatte steht, ist die Stelle x=0, die "Nahtstelle".
Hierzu ist zu prufen, ob an dieser Stelle der Grenzwert von rechts (=0) und der von links übereinstimmen.
Hierfür würde untersucht, ob es den GW von links, also [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0^{-}}sin(1+\bruch{1}{2x^2}) [/mm] gibt.
Man sieht sofort, daß das nicht der Fall ist: wenn [mm] x\to [/mm] 0 geht, geht [mm] 1+\bruch{1}{2x^2}\to \infty, [/mm] und die Funktionswerte laufen - etwas flapsig ausgedrückt - immer zwischen -1 und 1 hin und her.
---
Wenn eine Funktion g an der Stelle a einen Grenzwert b hat, bedeutet dies, daß für sämtliche Folgen [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n\to [/mm] a die Folge der Funktionwerte [mm] (g(x_n)) [/mm] gegen b konvergiert.
Umgekehrt: findet man eine Folge [mm] (x_n) \to [/mm] a, für welche die Folge [mm] (y_n) [/mm] , [mm] y_n:=g(x_n) [/mm] nicht konvergiert, so hat die Funktion g an der Stelle a keinen Grenzwert.
---
Und solche eine Folge hat Dein Übungsleiter konstuiert, basierend auf Überlegungen zur Periodizität der Funktion f'.
(Möglicherweise hat er nicht alles ganz geschickt aufgeschreiben - sein Anliegen war jedoch hochlobesam: den Studenten nicht nur die Folge zu zeigen, sondern auch wie man "auf so eine Folge kommt".)
Wenn Du Marcels Beispiel durchgearbeitet und verstanden hast, kannst Du Dich dann über diese Aufgabe hermachen, vielleicht ohne Deine Aufzeichnungen aus der Übung, da diese Dich ja zu verwirren scheinen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Kreide |
bei der ii) hat er folgendes gemacht:
[mm] x^3cos(1+\bruch{1}{(2x^2})+a
[/mm]
Dieser Quotient unten beschreibt ja die Ableitung am punkt 0...
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^-} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0^-} \bruch{x^3cos(1+\bruch{1}{(2x^2})+x-x}{x}=\limes_{x\rightarrow 0^-} x^2cos(1+1/(2x^2))=0
[/mm]
wie kommt man auf x-x im Zähler?
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> bei der ii) hat er folgendes gemacht:
> [mm]x^3cos(1+\bruch{1}{(2x^2})+a[/mm]
>
> Dieser Quotient unten beschreibt ja die Ableitung am punkt
> 0...
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0^-} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0^-} \bruch{x^3cos(1+\bruch{1}{(2x^2})+x-x}{x}=\limes_{x\rightarrow 0^-} x^2cos(1+1/(2x^2))=0[/mm]
>
> wie kommt man auf x-x im Zähler?
Ich nehme an, daß Du es falsch abgeschrieben hast.
Ihr hattet ja sicher im Zusammenhang mit der Untersuchung der Stetigkeit festgestellt, daß a=1 sein muß.
Nun geht es um die Diffbarkeit, bzw. darum, wie b beschaffen sein muß, damit die Funktion diffbar ist.
Es ist ja [mm] \limes_{x\rightarrow 0^{+}}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^x- bx- 1 }{x}=1-b.
[/mm]
Wenn die Funktion diffbar ist, muß der Grenzwert v. unten genauso sein, dh.
[mm] 1-b=\limes_{x\rightarrow 0^{-}}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0^{}}\bruch{x^3cos(1+\bruch{1}{(2x^2})+1 - 1}{x}=0,
[/mm]
und hieraus erhält man dann, daß die Funktion nur diffbar ist für b=1
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 So 30.03.2008 | | Autor: | Kreide |
> > bei der ii) hat er folgendes gemacht:
> > [mm]x^3cos(1+\bruch{1}{(2x^2})+a[/mm]
> >
> > Dieser Quotient unten beschreibt ja die Ableitung am punkt
> > 0...
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0^-} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0^-} \bruch{x^3cos(1+\bruch{1}{(2x^2})+x-x}{x}=\limes_{x\rightarrow 0^-} x^2cos(1+1/(2x^2))=0[/mm]
>
> >
> > wie kommt man auf x-x im Zähler?
>
> Ich nehme an, daß Du es falsch abgeschrieben hast.
>
> Ihr hattet ja sicher im Zusammenhang mit der Untersuchung
> der Stetigkeit festgestellt, daß a=1 sein muß.
>
> Nun geht es um die Diffbarkeit, bzw. darum, wie b
> beschaffen sein muß, damit die Funktion diffbar ist.
>
> Es ist ja [mm]\limes_{x\rightarrow 0^{+}}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}= \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{e^x- bx- 1 }{x}=1-b.[/mm]
>
> Wenn die Funktion diffbar ist, muß der Grenzwert v. unten
> genauso sein, dh.
>
> [mm]1-b=\limes_{x\rightarrow 0^{-}}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0^{}}\bruch{x^3cos(1+\bruch{1}{(2x^2})+1 - 1}{x}=0,[/mm]
>
> und hieraus erhält man dann, daß die Funktion nur diffbar
> ist für b=1
hier hat man dann dann bei f(0) nicht 0 direkt eingesetzt oder? man kann dann ja so argumentieren, dass cosinus eine beschränkte folge ist und [mm] x^3 [/mm] eine nullfolge, oder?
>
> Gruß v. Angela
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> > Wenn die Funktion diffbar ist, muß der Grenzwert v. unten
> > genauso sein, dh.
> >
> > [mm]1-b=\limes_{x\rightarrow 0^{-}}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=\limes_{x\rightarrow 0^{}}\bruch{x^3cos(1+\bruch{1}{(2x^2})+1 - 1}{x}=0,[/mm]
>
> >
> > und hieraus erhält man dann, daß die Funktion nur diffbar
> > ist für b=1
>
> hier hat man dann dann bei f(0) nicht 0 direkt eingesetzt
> oder?
Hallo,
doch. Welches ist denn der Funktionswert von f an der Stelle 0?
(Bedenke fürs Verständnis dessen, was dort steht, daß a=1 ist, wie in der Teilaufgabe 1 ermittelt.)
> man kann dann ja so argumentieren, dass cosinus eine
> beschränkte folge ist und [mm]x^3[/mm] eine nullfolge, oder?
Ich würde erstmal kürzen und dann in diesem Stile argumentieren.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:15 So 30.03.2008 | | Autor: | Kreide |
stimmt! man muss dass 0 dann ja in die e-funktion einsetzen!!!
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