stetig differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f auf [-1,1] Riemann integrierbar. Zeigen sie, die Funktion g(x)= [mm] \integral_{-1}^{1}{e^{xt}*f(t) dt}
[/mm]
1. Zeigen sie g'(x)= [mm] \integral_{-1}^{1}{e^{xt}*f(t) dt}
[/mm]
2. Zeigen sie g(x) ist stetig differenzierbar |
Hey
ich komme hier hier nicht so ganz weiter
1) hier weiß ich nicht genau wie ich wegen des Integrals ableiten soll.
Wenn ich mir den Integranden als eigene Funktion nehme mit [mm] h(t)=e^{xt}*f(t) [/mm] dt
erhalte ich als Ableitung:
h'(t)= [mm] t*e^{xt}*f(t)
[/mm]
Aber das Integral bleibt ja dennoch stehen und ich weiß nicht genau, wie ich an dieser Stelle damit umgehen soll...
2) Hier muss ich also zeigen, dass die Funktion differenzierbar ist und g'(x) stetig ist.
damit eine Funktion differenzierbar ist muss der Differenzenquotient
[mm] \limes_{x \to x_{0}}\frac{g(x_{0})-g(x)}{x_{0}-x} [/mm] existieren. Aber ich weiß an dieser Stelle nicht genau wie ich den Differenzenquotient weiter umformen soll. und würde mich daher über Hilfe freuen..
zu der Stetigkeit der Ableitung:
g'(x)= [mm] \integral_{-1}^{1}{e^{xt}*f(t) dt} [/mm] ist doch als Komposition stetiger Funktionen stetig, oder?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 So 01.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn die Funktion f(x,t) nach x differenzierbar ist ist die Ableitung von [mm] F(x)=\integral_{a}^{b}{f(x,t) dt}
[/mm]
[mm] F'=\integral_{a}^{b}{\bruch{\partial f(x,t )}{\partial x}dt}
[/mm]
zu 2 du hast ja die Differenzierbarkeit, mit g' du willst nur noch zeigen, dass g' stetig ist.
wenn du auch die differenzierbarkeit selbst zeigen willstdas zeigen willst setz einfach im Integral [mm] x_2-x1 [/mm] in den Exponenten und durch [mm] (x2-x_1)
[/mm]
was dann der GW ist eisst du, da ihr die Ableitung von [mm] e^x [/mm] hattet.
und weil die fkt stetig sind darfst du den lim unter das Integral ziehen,
Gruß leduart
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hey
danke für deine Antwort leduart.
1)
> wenn die Funktion f(x,t) nach x differenzierbar ist ist
> die Ableitung von [mm]F(x)=\integral_{a}^{b}{f(x,t) dt}[/mm]
>
> [mm]F'=\integral_{a}^{b}{\bruch{\partial f(x,t )}{\partial x}dt}[/mm]
aber wie kommst du darauf? und was bedeutet [mm] \partial [/mm] für meine Funktion?
ich stehe leider grade am Schlauch wie ich meine Funktion da einsetzen kann
>
zu 2)
> du hast ja die Differenzierbarkeit, mit g' du willst
> nur noch zeigen, dass g' stetig ist.
>
> wenn du auch die differenzierbarkeit selbst zeigen
> willstdas zeigen willst setz einfach im Integral [mm]x_2-x1[/mm] in
> den Exponenten und durch [mm](x2-x_1)[/mm]
> was dann der GW ist eisst du, da ihr die Ableitung von [mm]e^x[/mm]
> hattet.
> und weil die fkt stetig sind darfst du den lim unter das
> Integral ziehen,
okay. aber wie kommst du ausgerechnet darauf [mm] (x_{1}-x_{2}) [/mm] einzusetzen?
naja, wenn ich dies mache erhalte ich:
[mm] \integral_{-1}^{1}{e^{(x_{1}-x_{2})*t}f(t) dx}
[/mm]
aber was hat das mit dem Grenzwert und das wiederum mit der Differenzierbarkeit zu tun?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mo 02.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Zeichen [mm] \partial [/mm] bedeutet partielle Ableitung nach dem was unten steht, hier also Ableitung nach x
ich berechne Differenzierbarkeit mit [mm] \limes_{x2\rightarrowx_1}( f((x2)-f(x_1))/(x:2.x_1)
[/mm]
aber ich hatte das falsch geschrieben, es muss bei dir dann heissen [mm] e^{tx_2}-e^{tx_1}
[/mm]
NICHT wie im vorigen post [mm] e^{(x_2-x_1)*t}
[/mm]
kurz für die Ableitung differenzierst du einfach unter dem Integral.
entsprechend geehst du für den Beweis der Stetigkeit der Ableitung vor.
Gruß leduart
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owei irgendwie verstehe ich das alles und die Herleitung nicht so ganz :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Mo 02.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib doch einfach mal auf wie due die Stetigkeit einer Funktion f(x) zeigst.
Dann mach das mit deiner Funktion g'
bis dann, lula
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