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stetig differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Di 29.01.2008
Autor: crashby

Aufgabe
gegeben sei die Funktion $  [mm] f(x)=x^2 [/mm] $
Ist die Funktion steig diffbar im Punkt $ [mm] x_0=1 [/mm] $ ?

Ich beschäftige mich gerade mit Differenzierbarkeit und allen was dazu gehört und möchte mal gucken ob ich das richtig mache.

Lösungsvorschlag:

Eine Funktion heißt stetig diffbar,wenn ihre Ableitung stetig ist.

Eine Funktion heißt im Punkt $ [mm] x_0 [/mm] $ differenzierbar,wenn

$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}:=f'(x_0) [/mm] $ existiert

mit $ [mm] x_0=1 [/mm] $ erhalten wir:

$ [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} [/mm] (x+1)=2 $

da $ f'(1) $ existiert ist die Funktion im Punkt $ x=1 $ diffbar.

Ich muss nun also zeigen,dass die Funktion im Punkt x=1 stetig diffbar ist.

Es muss gelten:

$ [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] f'(x)=f'(1) $

Da gilt $  [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] f'(x)=2$

Ist die Funktion stetig diffbar im Punkt $ [mm] x_0=1 [/mm] $


Wäre das so richtig ?

Was ist wenn ich zusammengesetzte Funktionen habe wie zb.

$ f(x)= [mm] e^x\cdot [/mm] sin(x) $ ?

lg George

        
Bezug
stetig differenzierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:27 Di 29.01.2008
Autor: crashby

Hallo,

kann mir keiner einen Tipp geben

cya

Bezug
        
Bezug
stetig differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Di 29.01.2008
Autor: korbinian

Hallo
> gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm]
>  Ist die Funktion steig diffbar im Punkt [mm]x_0=1[/mm] ?

>  
> Lösungsvorschlag:
>  
> Eine Funktion heißt stetig diffbar,wenn ihre Ableitung
> stetig ist.
>  
> Eine Funktion heißt im Punkt [mm]x_0[/mm] differenzierbar,wenn
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}:=f'(x_0)[/mm]
> existiert
>  
> mit [mm]x_0=1[/mm] erhalten wir:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\limes_{x\rightarrow 1} (x+1)=2[/mm]
>  

bis hierher finde ich alles perfekt.

> da [mm]f'(1)[/mm] existiert ist die Funktion im Punkt [mm]x=1[/mm] diffbar.

Hier formulierst Du vielleicht etwas knapp. Mein Vorschlag:
Da der Grenzwert [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}[/mm] existiert, ist f in x=1 differenzierbar.  (Erst jetzt kann man von f´(1) sprechen.) Und es ist f´(1)=2.

> Ich muss nun also zeigen,dass die Funktion im Punkt x=1
> stetig diffbar ist.

Hier hast Du Dich vermutlich verschrieben. Es muss gezeigt werden, dass die Ableitungsfunktion f´in x=1 stetig ist. Dazu muss sie aber existieren, d. h. es muss zuerst gezeigt werden, dass  die Funktion f in jedem x ( nicht nur für x=1) differenzierbar ist.
Jetzt kannst Du so weitermachen:

> Es muss gelten:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} f'(x)=f'(1)[/mm]
>  

> Da gilt [mm]\limes_{x\rightarrow 1} f'(x)=2[/mm]

Bei dieser Behauptung musst Du Dich auf etwas berufen, das Du vermutlich schon früher bewiesen hast. (Du scheinst f´(x)=2x zu verwenden)

>
> Ist die Funktion stetig diffbar im Punkt [mm]x_0=1[/mm]

Gleicher (Schreib)fehler wie oben: f´ist in x=1 stetig

>  
>  
> Was ist wenn ich zusammengesetzte Funktionen habe wie zb.
>  
> [mm]f(x)= e^x\cdot sin(x)[/mm] ?

Hier hast Du den wesentlichen Punkt schon angesprochen: die Funktion ist zusammengesetzt. Also betrachten wir die einfacheren Einzelteile, beweisen deren Stetigkeit( Differenzierbarkeit) und verwenden anschleißend Sätze der Art:
Sind 2 Funktionen (in einem Punkt) stetig (differenzierbar), so auch die Summe, das Produkt,.......

Gruß korbinian

Bezug
                
Bezug
stetig differenzierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:05 Di 29.01.2008
Autor: crashby

Hey,

danke schön, ich stärke mich erstmal und dann gehts weiter.

lg George

Bezug
                        
Bezug
stetig differenzierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:03 Di 29.01.2008
Autor: crashby

Okay weiter gehts.

z.z: $ f'(1) $ ist stetig

n.z.z:  $ [mm] f(x_0) [/mm] $ ist in jedem Punkt diffbar.

Es gilt: $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0} \frac{(x-x_0)\cdot(x+x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0} (x+x_0)=2\cdot x_0 [/mm] $

Da $ [mm] f'(x_0) [/mm] $ existiert ist f diffbar in [mm] x_0 [/mm] und es gilt

[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0} f'(x_0)=2\cdot x_0=f'(x_0) [/mm] $

Da $ [mm] x_0 [/mm] $ beliebig gewählt werden darf, ist die Funktion f in jedem Punkt
$ [mm] x_0\in [/mm] R $ stetig differenzierbar.


lg George

Bei dem anderen sage ich jetzt zb
$ [mm] f(x)=e^x [/mm] $ und $ g(x)=sin(x) $

und mache dasselbe und dann habe ichz hier ein SAtz der besagt dann,dass Produkte von diffbaren Funktionen wieder diffbar sind.

Bezug
                                
Bezug
stetig differenzierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 Mi 30.01.2008
Autor: crashby

Hallo, wollte nur mal wissen ob das jetzt so stimmt bevor ic hweiter mache :-)

lg George

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