stetig differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | | f ist stetig differenzierbar bedeutet ja, dass die funktion diffbar ist und die ableitung stetig ist |
kann mir jm mal ein beispiel für eine funktion geben, die nicht stetig differenzierbar wäre?
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> f ist stetig differenzierbar bedeutet ja, dass die
> funktion diffbar ist und die ableitung stetig ist
> kann mir jm mal ein beispiel für eine funktion geben, die
> nicht stetig differenzierbar wäre?
Hallo,
das Standardbeispiel dürfte [mm] f:\IR\to \IR [/mm] sein mit
[mm] f(x):=\begin{cases} x^2sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x\not=0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Kreide |
was genau haben denn alle unstetigen sinus-funktionen gemeinsam?
Einen Bruch mit dem x im Nenner?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> was genau haben denn alle unstetigen sinus-funktionen
> gemeinsam?
>
> Einen Bruch mit dem x im Nenner?
so allgemein kann man das nicht sagen, zumal Du mit "unstetigen Sinusfunktionen" wohl meinst, dass der Sinus nach einer anderen Funktion geschaltet wird. Was man aber sagen kann, ist sicherlich, dass die Funktion [mm] $\sin(g(x))$ [/mm] differenzierbar ist, wenn die Funktion $g(x)$ differenzierbar ist. Und bei Angela ist [mm] $g(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] stetig diff'bar auf [mm] $\IR \setminus\{0\}$, [/mm] und weil auch $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] stetig diff'bar auf [mm] $\IR$ [/mm] (und damit auch auf [mm] $\IR \setminus\{0\}$) [/mm] ist, ist die dortige Funktion schonmal stetig diff'bar auf [mm] $\IR\setminus\{0\}$.
[/mm]
Weiterhin gilt sogar:
Die von Angela aufgeführte Funktion $f(x)$ ist stetig und differenzierbar auf [mm] $\IR$. [/mm] Die Ableitung $f'(x)$ existiert also überall, aber ist unstetig (genau) in der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] (nach obigen Überlegungen kommen andere Stellen auch gar nicht in Frage).
Dazu musst Du $f'(0)$ von Hand nachrechnen (also per Definitionem über den Diff'quotienten) und für [mm] $x\not=0$ [/mm] kannst Du das mit Produkt-, Kettenregel etc. für diff'bare Funktionen machen. Dann wirst Du sehen:
[mm] $\lim_{x \to 0}f'(x) \not=f'(0)$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Kreide |
sinusfunktionen wie [mm] sin(x^3), [/mm] sin(1/x) sind ja nicht ein faktor eines produktes und trotzdem sind sie unstetig.( hab ich im taschenrechner graphisch gesehen)
ich frage mich nur, wie ich in einer klasur das sehen kann.
[mm] sin(x^3) [/mm] wäre ja differenzierbar und damit eigentlich stetig, aber geplottet sieht man, dass der graph genauso wild umherspringt wie bei sin(1/x) nur an anderen stellen.
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> sinusfunktionen wie [mm]sin(x^3),[/mm] sin(1/x) sind ja nicht ein
> faktor eines produktes und trotzdem sind sie unstetig.( hab
> ich im taschenrechner graphisch gesehen)
Hallo,
es würde mich mal interessieren, was Du da genau gesehen hast...
Es sind doch beide Funktionen, die Du oben angibst, Verkettungen stetiger Funktionen und somit auf dem gesamten Definitionsbereich stetig.
> ich frage mich nur, wie ich in einer klasur das sehen
> kann.
Wenn Du den oben erwähnten Satz kennst und weißt, daß sin, [mm] x^3 [/mm] und 1/x stetig sind, ist es eine Sache von Sekunden.
>
> [mm]sin(x^3)[/mm] wäre ja differenzierbar und damit eigentlich
> stetig, aber geplottet sieht man, dass der graph genauso
> wild umherspringt wie bei sin(1/x) nur an anderen stellen.
Hast Du denn ansatzweise eine Ahnung, was "stetig" bedeutet?
Ich begebe mich jetzt bewußt auf ein rein anschauliches Niveau: über Intervallen, die komplett im Definitionsbereich liegen, "reißt" der Graph nicht.
Ich habe im Moment keine Gelegenheit zu plotten, aber es sollte mich extrem wundern, wenn der Graph von [mm] sin(x^3) [/mm] irgendwo reißen würde. Daß er wellenförmig oszilliert, ist ja nicht verboten, solange nur alles schön zusammenhängt wie ein Faden.
An welcher Stelle meinst Du denn, daß diese Funktion nicht stetig ist?
(Wie gesagt kann das ja gar nicht sein.)
Bei der anderen Funktion gibt es eine Stelle, die auf den ersten Blick bedenklich erscheinen mag: die Stelle x=0. Aber: Stetigkeit bezieht sich immer auf definierte Stellen.
Die Funktion ist für [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] definiert.
Und in den beiden Teilintervallen [mm] ]-\infty,0[ [/mm] und [mm] ]0,\infty[ [/mm] sollte doch auch Dein GTR eine durchgehende Linie anzeigen. (Daß sich zur Null hin alles etwas drängt, liegt in der Natur der Funktion.)
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Di 01.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> sinusfunktionen wie [mm]sin(x^3),[/mm] sin(1/x) sind ja nicht ein
> faktor eines produktes und trotzdem sind sie unstetig.( hab
> ich im taschenrechner graphisch gesehen)
> ich frage mich nur, wie ich in einer klasur das sehen
> kann.
also $x [mm] \mapsto \sin(x^3)$ [/mm] ist sicherlich stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] (Verknüpfungen stetiger Funktionen sind stetig). Bei der Definition der Stetigkeit ist immer auch der Definitionsbereich wichtig. So hat Angela geschrieben, dass $x [mm] \mapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] stetig auf [mm] $\IR \setminus\{0\}$ [/mm] ist. Ich kann mir aber denken, was Du meinst, und das müßtest Du auch so sagen:
Die auf [mm] $\IR \setminus\{0\}$ [/mm] definierte Funktion $x [mm] \mapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] ist an [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht stetig fortsetzbar. Dass diese Funktion auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] stetig ist, solltest Du mal versuchen, Dir selbst klarzumachen, indem Du beachtest, dass dort sowohl $x [mm] \mapsto \sin(x)$ [/mm] als auch $x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$ [/mm] stetig sind (also auf [mm] $\IR \setminus\{0\}$).
[/mm]
> [mm]sin(x^3)[/mm] wäre ja differenzierbar und damit eigentlich
> stetig, aber geplottet sieht man, dass der graph genauso
> wild umherspringt wie bei sin(1/x) nur an anderen stellen.
Das "Problem" bei der Funktion $x [mm] \mapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] ist nicht nur, dass sie "nahe" bei [mm] $x_0=0$ [/mm] ziemlich umherspringt, sondern dass sie das insbesondere "beliebig nahe" der 0 macht. Und dieses Phänomen tritt eben bei $x [mm] \mapsto \sin(x^3)$ [/mm] nicht auf. Wenn Du dort irgendeine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] hernimmst, so kannst Du um diese ein [mm] $\delta$-Intervall [/mm] legen, mit nur [mm] $\delta [/mm] > 0$ klein genug (also das Intervall [mm] $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ [/mm] betrachten), so dass $x [mm] \mapsto \sin(x^3)$ [/mm] in dieser Umgebung entweder monoton ist, oder aber so, dass diese Funktion links von [mm] $x_0$ [/mm] in dem Intervall monoton ist (also Monotonie in [mm] $(x_0-\delta,x_0]$ [/mm] vorliegt) und auch rechts von [mm] $x_0$ [/mm] (mit dem anderen Monotonieverhalten, wie es in dem "linken" Intervall vorliegt; wenn also links monoton fallend, dann rechts monoton wachsend) (dieses "unterschiedliche Monotonieverhalten" tritt an den Extremstellen auf).
Dass [mm] $f(x)=\sin(1/x)$ [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht stetig fortgesetzt werden kann, kann man sich mit der [mm] $\varepsilon$-$\delta$ [/mm] Definition oder mit Folgenstetigkeit klarmachen, allerdings finde ich es "anschaulich" schwer zu erklären, aber ich habe das halt eben oben versucht.
Also:
Zum Beispiel betrachte $x [mm] \mapsto \sin(x^3)$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=\sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+4*2*\pi} \approx [/mm] 3$. Und wenn Du nun das Intervall [mm] $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ [/mm] für ein genügend kleines [mm] $\delta$ [/mm] betrachtest, dann gibt es in diesem Intervall eben nicht mehr "beliebig viele" "genügend starke" Schwankungen der Funktionswerte.
Bei der Funktion $x [mm] \mapsto \sin(1/x)$ [/mm] für [mm] $x\not=0$ [/mm] ist das anders, wenn man versucht, $f(0)$ so zu definieren, dass diese Funktion an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] stetig ist. Denn in jedem Intervall [mm] $(0,\delta)$, [/mm] egal, wie klein ich das [mm] $\delta$ [/mm] wähle, finde ich immer mindestens eine Stelle, wo die Funktion z.B. den Wert $0$ annimmt, und eine weitere, an der die Funktion z.B. den Wert $1$ annimmt (man findet in jedem solchen Intervall insbesondere immer Stellen, der Funktionswerte einen Abstand [mm] $\ge \frac{1}{2}$ [/mm] haben). Egal, wie klein ich das [mm] $\delta>0$ [/mm] und damit auch das Intervall [mm] $(0,\delta)$ [/mm] wähle (im Sinne der Länge des Intervalls), so habe ich dennoch immer wieder "unendlich viele" (hinreichend starke) Schwankungen der Funktionswerte. Ich hoffe, es ist in etwa klar, wie ich das meine.
(Präzise geht das eben mit der [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Definition.)
[/mm]
Also, ich versuche es mal, die hier Wesentlichen Dinge etwas anschaulich zu formulieren:
Die Funktion $x [mm] \mapsto \sin(1/x)$ [/mm] osziliert, egal wie nahe man bei der $0$ ist, immer sehr stark, und zwar in dem Sinne, dass Funktionswerte angenommen werden, deren Abstand größer als eine feste Zahl $>0$ ist. Deswegen kann man diese Funktion an [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht stetig fortsetzen.
Die Funktion $x [mm] \mapsto \sin(x^3)$ [/mm] hat zwar auch die Eigenschaft, dass sich auf der $x$-Achse bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] der Graph "verdichtet", aber er verdichtet sich nicht an einer Stelle.
(Bei $x [mm] \mapsto \sin(1/x)$ [/mm] tritt diese "Verdichtung" ja an der STELLE [mm] $x_0=0$ [/mm] auf! Das ist ein wesentlicher Unterschied!)
Übrigens:
Die Funktion [mm] $f(x)=x*\sin(1/x)$ [/mm] kann man mittels $f(0)=0$ stetig an [mm] $x_0=0$ [/mm] fortsetzen. Hier "verdichtet" sich der Graph zwar auch nahe der $0$ in einem gewissen Sinne, nur ist bei der Oszillation zudem der Fakt vorhanden, dass der "maximale Abstand der Funktionswerte", wenn man sich der $0$ annähert, auch der $0$ annähert.
Also nochmal das ganze:
Wir betrachten
[mm] $f(x)=\sin(1/x)$ [/mm] und [mm] $g(x)=x*\sin(1/x)$ [/mm] auf [mm] $\IR \setminus\{0\}$ [/mm] sowie [mm] $h(x)=\sin(x^3)$ [/mm] auf [mm] $\IR$.
[/mm]
Wir untersuchen die Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] bei $f$ und $g$:
1.) Man kann $f$ an dieser Stelle nicht stetig fortsetzen, denn:
Die Funktionswerte schwanken IN JEDEM [mm] $(0,\delta)$-Intervall, [/mm] und zwar auch "hinreichend stark". Also:
Egal, wie klein [mm] $\delta [/mm] > 0$ gewählt wird, man findet in jedem [mm] $(0,\delta)$-Intervall [/mm] Stellen, deren Funktionswerte einen Abstand mindestens so groß wie ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ haben (z.B. [mm] $\varepsilon=1$, [/mm] betrachte z.B. Extremstellen und Nullstellen). (Hierbei muss übrigens sicherlich [mm] $\varepsilon \le [/mm] 2$ sein.)
2.) Zu $g$:
Diese Funktion kann mittels $g(0)=0$ stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] fortgesetzt werden. In jedem [mm] $(0,\delta)$-Intervall [/mm] gibt es zwar auch immer wieder lokale Hoch- und Tiefstellen (und damit insbesondere [mm] $\infty$ [/mm] viele), d.h. die Funktionswerte "schwanken" dort auch so "hoch und runter", aber der Abstand der Funktionswerte wird mit [mm] $\delta \to [/mm] 0$ eben auch "nach unten gegen $0$" gedrückt, man könnte sagen:
Die Funktionswerte "schwanken nicht stark genug", um die Funktion dazu zu bringen, an dieser Stelle "nicht stetig fortsetzbar" zu sein.
3.) Zu $h$:
Diese Funktion hat zwar die Eigenschaft, dass sich der Graph "verdichtet", wenn man entlang der $x$-Achse Richtung [mm] $\infty$ [/mm] guckt. Aber wenn man irgendeine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] hernimmt, so kann man um diese ein [mm] $\delta$-Intervall $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ [/mm] so finden, dass die Funktion innerhalb dieses Intervalls wenigstens so ist, dass sie im linken Teilintervall monoton ist sowie, dass sie im rechten monoton ist. Also hier gilt nicht, dass die Funktionswerte "beliebige nahe" an einer Stelle "stark schwanken", denn wenn man das [mm] $\delta$-Intervall [/mm] nur klein genug wählt, hat man ja keine Schwankung mehr.
(Und das ist eben bei $x [mm] \mapsto \sin(1/x)$ [/mm] in [mm] $(0,\delta)$ [/mm] anders.)
Aber formal wäre es hier eigentlich wirklich mal am besten, Dir mit der [mm] $\varepsilon-\delta$-Definition [/mm] klarzumachen, warum $f$ in der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht stetig fortsetzbar ist und warum [mm] $g(x)=x*\sin(1/x)$ [/mm] das mittels $g(0)=0$ doch ist. Die Stetigkeit von $h$ sollte Dir eigentlich klar sein, ansonsten steht das auch oben nochmal.
Und bitte:
Versuche das ganze so erstmal nur für diese Funktionen zu verstehen. Wenn Du dann versuchen willst, das ganze "allgemeiner" zu formulieren, so ist das immer so eine Sache:
Da musst Du wirklich aufpassen, dass Du auch alle Fälle berücksichtigst, keinen Unsinn verzapfst, die richtigen Voraussetzungen erwähnst etc. Meine Erläuterungen in der Art und Weise beziehen sich jetzt wirklich erstmal nur auf die oben angesprochenen Funktionen $f$, $g$ und $h$ und zum besseren Verständnis kannst Du Dir ja nochmal die Graphen plotten lassen und angucken.
Gruß,
Marcel
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