stetig fortsetzbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Mi 23.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Untersuche, welche der folg. Fkten sich zu einer stetigen Fkten auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] fortsetzen lassen:
i) [mm] f(x,y)=\bruch{x^2 \cdot y}{x^2+y^2};
[/mm]
ii) [mm] g(x,y)=\bruch{x^3 \cdot y}{x^4+y^2};
[/mm]
iii) [mm] u(x,y)=\bruch{x^2-y}{x^2+y};
[/mm]
iv) [mm] v(x,y)=\bruch{x \cdot y^2}{x^2+y^6} [/mm] |
hallo,
ich habe mir viele bspe angeschaut und da bin ich auf einer gestoßen, die ich nicht ganz verstanden habe:
Es wurden folg. fkt auf stetig fortsetzbarkeit auf ganz [mm] \IR [/mm] überprüft
f: [mm] (\IR \backslash [/mm] {0}) [mm] \times \IR \rightarrow [/mm] :(x,y) [mm] \rightarrow \bruch{x^3-xy}{2x}
[/mm]
g: [mm] (\IR \backslash{0}) \times (\IR \backslash [/mm] {0}) [mm] \rightarrow: [/mm] (x,y) [mm] \rightarrow \bruch{x^3-xy^2}{2xy}
[/mm]
dann ist f stetig auf [mm] (\IR \backslash [/mm] {0}) [mm] \times \IR, [/mm] denn in diesem Bereich gilt f(x,y)= [mm] \bruch{1}{2}(x^2-y^2). [/mm] analog g ist stetig auf [mm] (\IR \backslash {0})^2 [/mm] , denn es gilt [mm] f(x,y)=\bruch{x^2-y^2}{2y}. [/mm] f lässt sich stetig auf [mm] \IR^2 [/mm] fortsetzen, da
overline{f}: [mm] \IR^2 \Rightarrow \IR. [/mm] (x,y) [mm] \Rightarrow \begin{cases} f(x,y), & \mbox{für } x \not= \mbox{ } \\ \bruch{-y^2}{2}, & \mbox{für } x=0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
eine stetige fkt. vonf
g ist nicht auf [mm] \IR^2 [/mm] steig fortsetzbar, da für c [mm] \in \IR \backslash [/mm] {0} gilt nämlich
[mm] \limes_{y\rightarrow 0^+}g(c,y) =\limes_{y\rightarrow 0^+} \bruch {c^2-y^2}{2y}=-\infty
[/mm]
jedoch ist [mm] \limes_{y\rightarrow 0^-}g(c,y) =\limes_{y\rightarrow 0^-} \bruch {c^2-y^2}{2y}=+\infty
[/mm]
jetzt meine frage: ist g nicht fortsetzbar, weil die null im definitionsbereich nicht herausgenommen wurde von y und wir somit durch null teilen würde ist es nicht forsetzbar auf [mm] \IR^2 [/mm] ? Aber warum konv. dann g(c,y) gegen [mm] -\infty [/mm] bzw. [mm] +\infty [/mm] für y [mm] \rightarrow 0^{+} [/mm] bzw. y [mm] \rightarrow 0^{-} [/mm] ? ex. dafür kein GW?
jetzt zu meine aufg.:
i) [mm] x=rcos(\phi) y=rsin(\phi)
[/mm]
[mm] f(x,y)=\bruch{x^2 \cdot y}{x^2+y^2}=\bruch{(rcos(\phi))^2 \cdot rsin(\phi) }{(rcos(\phi))^2+(rsin(\phi))^2}=\bruch{r^3cos^2(\phi) \cdot sin(\phi))}{r^2(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))}
[/mm]
durch kürzen und einsetzen 1 [mm] =cos^2(\phi)+sin^2(\phi) [/mm] ( darf man das?!)
erhalte dann: [mm] ...=rcos^2(\phi) \cdot sin(\phi) [/mm] =0 für r [mm] \rightarrow [/mm] 0
damit f fortsetzbar auf [mm] \IR
[/mm]
ii) auch stetig fortsetzbar auf [mm] \IR,
[/mm]
ich habe dasselbe gemacht wie bei i) am ende erhalte ich
[mm] ...=\bruch{r^2 (cos^4(\phi)sin(\phi))}{r^2cos^4(\phi)+sin^2(\phi)} [/mm] =0 für r [mm] \rightarrow [/mm] 0
iii) nicht stetig fortsetzbar. ich erhalte am ende -1 heraus
iv) ist auch stetig fortsetzbar mit selbe verfahren wie bei i)
ist es überhaupt richtig was ich da produziert habe? es kommt mir zwar auch selber seltsam dass nur eine fkt nicht stetig fortsetzbar ist, aber wahrscheinlich sind auch fehler drin. ich habe meine ganzen informationen aus dem world wide web, da wir dieses thema in diesem zusammenhang nicht behandelt haben.und daher ich bin für jede hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Do 24.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
i) ist richtig
bei ii musst du begründen, warum der GW 0 ist für ALLE Winkel alpha
iii. wenn nur der GW-1 rauskäme unabhängig von alpha könnte man durch f(0)=-1 stetig ergänzen, du musst zeigen, das der GW von alpha abhängt.
iv wie ii
bei 2 verschiedenen GW oder GW unendlich kann man nicht stetig fortsetzen..
das auch zu deinem g
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Sa 26.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
ich habe zu iii) folgenden gezeigt: [mm] u(x,y)=\bruch{x^2-y}{x^2+y} [/mm] lässt sich auf [mm] \IR^2 [/mm] nicht fortsetzten, d.h. [mm] \forall \in \IR [/mm] ist [mm] \overline{f}=\begin{cases} f(x,y), & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ y_0, & \mbox{ } (x,y) =(0,0) \mbox{ } \end{cases} [/mm] nicht stetig in (0,0)
Bew.: i) falls [mm] y_0=-1, [/mm] wähle [mm] (x_k)_{k \in \IN} [/mm] mit [mm] x_k=\vektor{0 \\ \bruch{1}{k}} \rightarrow \vektor{0 \\ 0}=\vektor{x \\ y} [/mm] für k [mm] \rightarrow \infty [/mm]
ii) falls [mm] y_0 \not= [/mm] -1, wähle [mm] (x_k)_{k \in \IN} [/mm] mit [mm] x_k=\vektor{1 \backslash k \\ 1 \backslash k} \rightarrow x_0 =\vektor{0 \\ 0} [/mm] für k [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
aber [mm] \overline{f}(x_k)=\bruch{(1 \backslash k)^2-1\backslash k}{(1 \backslash k)^2+1\backslash k} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{k}-1}{\bruch{1}{k}+1} \rightarrow [/mm] -1 für k [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
ist das richtig? ich habe mit diesen verfahren die anderen aufgaben versucht zu lösen, aber habe es nicht hinbekommen. kann mit jemand dabei helfen? bin für jedem tipp dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich habe zu iii) folgenden gezeigt:
> [mm]u(x,y)=\bruch{x^2-y}{x^2+y}[/mm] lässt sich auf [mm]\IR^2[/mm] nicht
> fortsetzten, d.h. [mm]\forall \in \IR[/mm] ist
> [mm]\overline{f}=\begin{cases} f(x,y), & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ y_0, & \mbox{ } (x,y) =(0,0) \mbox{ } \end{cases}[/mm]
> nicht stetig in (0,0)
> Bew.: i) falls [mm]y_0=-1,[/mm] wähle [mm](x_k)_{k \in \IN}[/mm] mit
> [mm]x_k=\vektor{0 \\ \bruch{1}{k}} \rightarrow \vektor{0 \\ 0}=\vektor{x \\ y}[/mm]
> für k [mm]\rightarrow \infty[/mm]
was das am Ende [mm] =\vektor{x \\ y} [/mm] bedeuten soll weiss ich nicht, wogegen konvergiert denn u(x,y) bei der folgee, doch gegen -1?
warum wählst du denn ein [mm] y_0? [/mm] du musst nur zeigen, dass du 2 Folgen [mm] (x_n.y_n) [/mm] geggen (0,0) angeben kannst so dass der Gw von u für n gegen unendlich verschieden ist. das hast du mit den 2 Folgen (0,1/n ) konvergiert gegen -1, (1/n,1/n) konvergiert auch gegen -1
> ii) falls [mm]y_0 \not=[/mm] -1, wähle [mm](x_k)_{k \in \IN}[/mm] mit
> [mm]x_k=\vektor{1 \backslash k \\ 1 \backslash k} \rightarrow x_0 =\vektor{0 \\ 0}[/mm]
auch hier weis ich nicht was du mit [mm] x_0 =\vektor{0 \\ 0} [/mm] meinst.
> für k [mm]\rightarrow \infty[/mm]
>
> aber [mm]\overline{f}(x_k)=\bruch{(1 \backslash k)^2-1\backslash k}{(1 \backslash k)^2+1\backslash k}[/mm]
> = [mm]\bruch{\bruch{1}{k}-1}{\bruch{1}{k}+1} \rightarrow[/mm] -1
> für k [mm]\rightarrow \infty[/mm]
du müsstest also noch eine folge finden, so dass u nicht gegen -1 konvergiert,
> ist das richtig? ich habe mit diesen verfahren die anderen
die Idee 2 Folgen zu finden mit verschiedenen GW ist richtig, nur hier hattest du Pech,
ausserdem hast du die kritischen Stelle überall wo [mm] y=-x^2 [/mm] ist nicht betrachtet!
nicht immer ist eine fkt ur in (0,0) zu untersuchen!
> aufgaben versucht zu lösen, aber habe es nicht
> hinbekommen. kann mit jemand dabei helfen? bin für jedem
> tipp dankbar.
dass etwas stetig fortsetzbar ist, kannst du mit solchen filgen nicht zeigen, weil der GW ja für ALLE möglichen Folgen der gleiche sein müsste, und alle kann niemand hinschreiben.
benutze bei den anderen die Polardarstellung, wie du es ja vorher schon gemacht hast.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 27.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
ich habe vergessen zu meinen beweis zu teil i) hinzufügenam ende
aber für alle k [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] f(x_k)=0 \not=-1=y_0=\overline{f}(0,0)
[/mm]
wäre dann der beweis jetzt richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstens hast du ja nicht geschrieben, dass u längs der Parabel [mm] y=-x^2 [/mm] und damit sicher auch in 0 nicht stetig ergänzbar ist.
2, hast du 2 GW die zufällig gerade -1 ergeben, und damit nichts gezeigt
ich sehe nur dass für Folge (0,1/k.) u gegen -1 konvergiert. wie kommst du auf die 0?
und meine Fragen was du mit deinen Vektoren meinst hast du auch nicht beantwortet. bitte gehe auf posts wirklich ein.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 So 27.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
danke, für deine schnelle antwort und ich werde deine tipps auch zu herzen nehmen und es probieren, aber ich verstehe nicht warum die folge [mm] x_k=(0,1 \backslash [/mm] n ) gegen -1 konvergieren soll für n gegen unendl.. die folge konvergiert doch gegen 0.
gruß,
mimo1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Folge konvergiert gegen 0,, aber du willst doch untersuchen wohin u(0,1/k) konvergiert (oder nicht) alle deine folgen konvergiere nach (0,0) so hast du sie ja wohl ausgesucht, aber du willst doch u von diesen folgen untersuchen, und das konvergiert für deine 2 speziellen Folgen eben gegen -1.
du bist noch immer nicht auf meine fragen eingegangen!
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 So 27.04.2014 | | Autor: | mimo1 |
mit dem vektor meine ich einfach x=0 und y=0 ( habe aus der VL übernommen)
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