stetig fortsetzbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Fr 16.01.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Finde eine stetige Fortsetzung!
1. [mm] f(x)=\bruch{sin(sinx)}{x}, x\not=0
[/mm]
2. [mm] \bruch{e^{-\bruch{1}{x^2}}}{x}, x\not=0 [/mm] |
hallo, also obige fkten sind nun in x=0 nicht definiert und ich muss eine funktion finden, die auf [mm] \IC \{0} [/mm] f(x) entspricht, an der unstetigen stelle jedoch definiert ist. bei anderen fkten ist mir das bereits gelungen, doch hier habe ich keine ahnung, wie ich umformen soll! wie sollte ich überhaupt vorgehen bei diesen beispielen, vielleicht kann mir ja mal jemand seine gedanken dazu erläutern.
besten dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo gigi,
> Finde eine stetige Fortsetzung!
> 1. f(x)= [mm]\bruch[/mm] {sin(sinx)}{x}, [mm]x\not=0[/mm]
Du bist etwas mit dem Formeleditor durcheinandergekommen (das Doppel-m steht hinten an der falschen Stelle):
f(x)= [mm]\bruch {\sin(\sin(x))}{x}[/mm]
> 2. [mm]\bruch{e^{-\bruch{1}{x^2}}}{x}, x\not=0[/mm]
> hallo, also
> obige fkten sind nun in x=0 nicht definiert und ich muss
> eine funktion finden, die auf [mm]\IC \{0}[/mm] f(x) entspricht, an
> der unstetigen stelle jedoch definiert ist. bei anderen
> fkten ist mir das bereits gelungen, doch hier habe ich
> keine ahnung, wie ich umformen soll! wie sollte ich
> überhaupt vorgehen bei diesen beispielen, vielleicht kann
> mir ja mal jemand seine gedanken dazu erläutern.
Das geht genauso, wie sonst. Du hast nachzuweisen, dass [mm] $\lim_{z \to 0}f(z)$ [/mm] (in [mm] $\IC$) [/mm] existiert und dann, wenn das klar ist, [mm] $f(0):=\lim_{z \to 0}f(z)$ [/mm] zu setzen.
(Vgl. z.B. Bemerkung 8.5.2 aus ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript, Analysis. Vll. ergänze für Dich hinter: ..., so gilt $f(x) [mm] \to y_0$... [/mm] danach ein ... bei $x [mm] \to x_0$....) [/mm]
Wenn man keine Idee hat, hilft es manchmal, die Funktion eingeschränkt auf den gegebenen Definitionsbereich geschnitten mit [mm] $\IR$ [/mm] zu betrachten (meinetwegen kann man sich die auch mal plotten lassen).
Z.B. bei $f(z)=1/z$ ($z [mm] \in \IC \setminus\{0\}$) [/mm] würde man damit schon erkennen, dass $f$ an [mm] $z_0=0$ [/mm] nicht stetig fortsetzbar ist.
(Weil $f(x)=1/x$ $(x [mm] \in \IR \setminus\{0\})$ [/mm] schon an $0$ nicht stetig fortsetzbar ist. (Warum?))
Und wenn man [mm] $f(z)=\sin(z)/z$ [/mm] ($z [mm] \in \IC \setminus\{0\}$) [/mm] auf [mm] $\IR \setminus\{0\}$ [/mm] betrachtet, so erkennt man z.B. mit Hospital, dass [mm] $g(x):=f_{|\IR \setminus\{0\}}(x)=\sin(x)/x$ [/mm] mit $g(0):=1$ stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] fortgesetzt wäre, und wenn sich $f$ dann auch in [mm] $\IC$ [/mm] stetig in $0$ fortsetzen läßt, dann bleibt auch hier nur als Möglichkeit dann $f(0):=1$ zu setzen. Es ist dann aber auch noch zu beweisen, dass die Funktion, wenn man sie so fortsetzt, dann auch stetig in [mm] $\IC$ [/mm] ist (das ist hier nicht sofort klar, denn in [mm] $\IC$ [/mm] gibt es ja durchaus auch Möglichkeiten, sich nicht auf der Realteilachse an die $0$ zu nähern... man muss sich noch nicht mal "geradlinig" an die $0$ nähern).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Sa 17.01.2009 | | Autor: | gigi |
Z.B. bei $ f(z)=1/z $ ($ z [mm] \in \IC \setminus\{0\} [/mm] $) würde man damit schon erkennen, dass $ f $ an $ [mm] z_0=0 [/mm] $ nicht stetig fortsetzbar ist.
(Weil $ f(x)=1/x $ $ (x [mm] \in \IR \setminus\{0\}) [/mm] $ schon an $ 0 $ nicht stetig fortsetzbar ist. (Warum?))
ich würde sagen: weil der rechtsseitige grenzwert [mm] +\infty [/mm] und der linksseitige gw [mm] -\infty [/mm] ist--da sie nicht übereinstimmen, ist f nicht stetig fortsetzbar.
Und wenn man $ [mm] f(z)=\sin(z)/z [/mm] $ ($ z [mm] \in \IC \setminus\{0\} [/mm] $) auf $ [mm] \IR \setminus\{0\} [/mm] $ betrachtet, so erkennt man z.B. mit Hospital, dass $ [mm] g(x):=f_{|\IR \setminus\{0\}}(x)=\sin(x)/x [/mm] $ mit $ g(0):=1 $ stetig auf $ [mm] \IR [/mm] $ fortgesetzt wäre, und wenn sich $ f $ dann auch in $ [mm] \IC [/mm] $ stetig in $ 0 $ fortsetzen läßt, dann bleibt auch hier nur als Möglichkeit dann $ f(0):=1 $ zu setzen. Es ist dann aber auch noch zu beweisen, dass die Funktion, wenn man sie so fortsetzt, dann auch stetig in $ [mm] \IC [/mm] $ ist (das ist hier nicht sofort klar, denn in $ [mm] \IC [/mm] $ gibt es ja durchaus auch Möglichkeiten, sich nicht auf der Realteilachse an die $ 0 $ zu nähern... man muss sich noch nicht mal "geradlinig" an die $ 0 $ nähern).
den l'hospital hatten wir leider nicht und ich versteh auch rein logisch die fortsetzung mit g(0)=1 nicht. müsste sich f(x) in 1. für x=0 nicht von rechts und links einem wert annähern, der nur ein ganz klein wenig über 0 liegt?
wenn ich mir den graphen in [mm] \IR [/mm] veranschauliche bringt mich das ja auch nicht sonderlich voran, zumal es bei den aufgaben hier auch schwierig ist. wie forme ich denn hier um oder rechne? wie erhalte ich den grenzwert??
mir fällt nurein, dass ich den sin ja in potenzdarstellung bringen kann, aber da kann ich auch nur den kvgradius berechnen, wie komme ich an dem lim??
gruß und danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Z.B. bei [mm]f(z)=1/z[/mm] ([mm] z \in \IC \setminus\{0\} [/mm]) würde man
> damit schon erkennen, dass [mm]f[/mm] an [mm]z_0=0[/mm] nicht stetig
> fortsetzbar ist.
> (Weil [mm]f(x)=1/x[/mm] [mm](x \in \IR \setminus\{0\})[/mm] schon an [mm]0[/mm] nicht
> stetig fortsetzbar ist. (Warum?))
>
> ich würde sagen: weil der rechtsseitige grenzwert [mm]+\infty[/mm]
> und der linksseitige gw [mm]-\infty[/mm] ist--da sie nicht
> übereinstimmen, ist f nicht stetig fortsetzbar.
ja, wobei die Funktion auch alleine schon deshalb nicht stetig fortsetzbar (als Funktion [mm] $\IR \to \IR$) [/mm] ist, weil der rechtsseitige Limes [mm] $\infty$ [/mm] ist [mm] ($\infty \notin \IR$!). [/mm] I.A. ist die Idee mit den beidseitigen Grenzwerten aber besser.
> Und wenn man [mm]f(z)=\sin(z)/z[/mm] ([mm] z \in \IC \setminus\{0\} [/mm])
> auf [mm]\IR \setminus\{0\}[/mm] betrachtet, so erkennt man z.B. mit
> Hospital, dass [mm]g(x):=f_{|\IR \setminus\{0\}}(x)=\sin(x)/x[/mm]
> mit [mm]g(0):=1[/mm] stetig auf [mm]\IR[/mm] fortgesetzt wäre, und wenn sich
> [mm]f[/mm] dann auch in [mm]\IC[/mm] stetig in [mm]0[/mm] fortsetzen läßt, dann bleibt
> auch hier nur als Möglichkeit dann [mm]f(0):=1[/mm] zu setzen. Es
> ist dann aber auch noch zu beweisen, dass die Funktion,
> wenn man sie so fortsetzt, dann auch stetig in [mm]\IC[/mm] ist (das
> ist hier nicht sofort klar, denn in [mm]\IC[/mm] gibt es ja durchaus
> auch Möglichkeiten, sich nicht auf der Realteilachse an die
> [mm]0[/mm] zu nähern... man muss sich noch nicht mal "geradlinig" an
> die [mm]0[/mm] nähern).
>
> den l'hospital hatten wir leider nicht und ich versteh auch
> rein logisch die fortsetzung mit g(0)=1 nicht. müsste sich
> f(x) in 1. für x=0 nicht von rechts und links einem wert
> annähern, der nur ein ganz klein wenig über 0 liegt?
Nein. Berechne doch mal [mm] $\sin(x)/x$ [/mm] für $x [mm] \not=0$. [/mm] Wenn ihr Hospital noch nicht hattet, probiere es mal über die Potenzreihendarstellung von [mm] $\sin(x)\,.$
[/mm]
Und dann berechne [mm] $|\sin(x)/x\;\;-1|$ [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm] und versuche, das nach oben abzuschätzen.
> wenn ich mir den graphen in [mm]\IR[/mm] veranschauliche bringt
> mich das ja auch nicht sonderlich voran, zumal es bei den
> aufgaben hier auch schwierig ist. wie forme ich denn hier
> um oder rechne? wie erhalte ich den grenzwert??
> mir fällt nurein, dass ich den sin ja in potenzdarstellung
> bringen kann, aber da kann ich auch nur den kvgradius
> berechnen, wie komme ich an dem lim??
Ich verstehe Dein Problem nicht. Nimm' mal irgendeinen Funktionenplotter her, z.B.
Plotter Brünner
Eingabe: sin(sin(x))/x
Lass' Dir den Graph zeichnen (das ist dann der Graph der auf [mm] $\IC \setminus \{0\}$ [/mm] definierten Funktion $z [mm] \mapsto f(z):=\sin(\sin(z))/z$, [/mm] wenn man sie auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] einschränkt).
Eigentlich ist der Funktionsgraph schon etwas falsch, denn an der Stelle $0$ dürfte dort kein Funktionswert stehen. Aber offenbar ist dort $f(0)=1$ eingezeichnet (der Plotter setzt also ggf. schon alleine eine Funktion bzgl. eines Definitionsbereiches [mm] $\subset \IR$ [/mm] stetig fort). Dass nun $z [mm] \mapsto f(z)=\sin(\sin(z))/z$ [/mm] ($z [mm] \not=0$) [/mm] mit $f(0):=1$ auch stetig auf [mm] $\IC$ [/mm] ist, musst Du nun wieder explizit nachweisen (auch hier wird das sicher durchaus wieder mit der Potenzreihendarstellung (Taylorreihenentw.) machbar sein).
Und wenn Du bei der zweiten Funktion im Plotter oben [mm] exp(-1/x^2)/x [/mm] eingibst, solltest Du erkennen, dass man bei $z [mm] \mapsto g(z):=\exp(-1/z^2)/z$ [/mm] ($z [mm] \not=0$) [/mm] wohl $g(0):=0$ zu setzen hat. Dass diese so fortgesetze Funktion dann auch stetig in [mm] $\IC$ [/mm] ist, rechnest Du dann auch wieder mit der Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion und einer geeigneten Abschätzung nach.
(Zu den Abschätzungen:
[mm] $\bullet$ [/mm] Bei [mm] $f(z)=\sin(\sin(z))/z$: $|\sin(\sin(z))/z\;\;-1|$ [/mm] ($z [mm] \not=0$) [/mm] ist so nach oben abzuschätzen, dass man [mm] $|\sin(\sin(z))/z\;\;-1| \to [/mm] 0$ bei $z [mm] \to [/mm] 0$ erkennt.
[mm] $\bullet$ [/mm] Bei [mm] $g(z)=\exp(-1/z^2)/z$: $|\exp(-1/z^2)/z\;\;-0|=|\exp(-1/z^2)/z|$ [/mm] ($z [mm] \not=0$) [/mm] ist so nach oben abzuschätzen, dass man [mm] $|\exp(-1/z^2)/z\;\;-0| \to [/mm] 0$ bei $z [mm] \to [/mm] 0$ erkennt.)
P.S.:
Eine bessere Strategie für $z [mm] \mapsto \sin(\sin(z))/z$ [/mm] ($z [mm] \not=0$):
[/mm]
1. Beweise, falls unbekannt, dass [mm] $\lim_{z \to 0} \sin(z)/z=1$ [/mm] gilt.
(Das geht analog zu oben ($z [mm] \not=0$):
[/mm]
[mm] $|\sin(z)/z\;\;-1|\overset{Reihendarstellg.}{=}|...|$ [/mm] ist so nach oben abszuschätzen, dass man [mm] $|\sin(z)/z\;\;-1| \to [/mm] 0$ bei $z [mm] \to [/mm] 0$ erkennt. Tipp: O.E. $|z| < 1$ annehmen!)
2. Um dann [mm] $\lim_{z \to 0} \sin(\sin(z))/z$ [/mm] zu berechnen:
O.E. kannst Du $0 < |z| < 1$ annehmen, und damit gilt insbesondere
[mm] $$\sin(\sin(z))/z=\frac{\sin(\sin(z))}{\sin(z)}*\frac{\sin(z)}{z}\,,$$
[/mm]
so dass Du nun das Ergebnis aus dem 1. Schritt verwenden kannst.
(Bemerkung zu 2.: Beachte, dass auch die Funktion $z [mm] \mapsto \sin(z)$ [/mm] ($z [mm] \in \IC$) [/mm] nur reelle Nullstellen hat. Falls das unbekannt ist oder Du es Dir nicht erklären kannst, kann ich dafür auch gerne noch eine Begründung nachliefern. Das ist nur deshalb etwas wichtig, weil dann für $0 < |z| < 1$ offenbar [mm] $\sin(z) \not=0$ [/mm] ist, was man bei obiger Umformung braucht.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:31 So 18.01.2009 | | Autor: | gigi |
nun, ich hatte es in meinem gtr zeichnen lassen und im menu war da wohl
was verstellt, nu hab ich kapiert, wie die graphen aussehn.
ähm, ich bin eben bei der potenzreihendarstellung schon recht unsicher, bei mir sieht das für [mm] \bruch{sin(sinz)}{z} [/mm] dann so aus: [mm] \bruch{1}{z} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k sinz^{2k}}{(2k)!}
[/mm]
und der faktor [mm] \bruch{1}{z} [/mm] stellt für mich das problem dar, denn wenn ich z gegen 0 gehen lasse, ergibt sich dort ja unendlich?!
wo liegt da nun wieder mein rechenfehler?
gruß und dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 So 18.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo gigi!
Schreibe mal die ersten Glieder / Summanden der Potenzreihe auf. Dann kannst Du bestimmt auch den Faktor [mm] $\bruch{1}{z}$ [/mm] "verarbeiten".
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 So 18.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gigi,
> nun, ich hatte es in meinem gtr zeichnen lassen und im menu
> war da wohl
> was verstellt, nu hab ich kapiert, wie die graphen
> aussehn.
> ähm, ich bin eben bei der potenzreihendarstellung schon
> recht unsicher, bei mir sieht das für [mm]\bruch{sin(sinz)}{z}[/mm]
> dann so aus: [mm]\bruch{1}{z} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k sinz^{2k}}{(2k)!}[/mm]
das stimmt nicht:
[mm] $$\bruch{1}{z} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k (sin(z))^{2k+1}}{(2k+1)!}$$ [/mm] sollte dort stehen, vgl. Wiki: Sinus als Taylorreihe.
> und der faktor [mm]\bruch{1}{z}[/mm] stellt für mich das problem
> dar, denn wenn ich z gegen 0 gehen lasse, ergibt sich dort
> ja unendlich?!
> wo liegt da nun wieder mein rechenfehler?
Wie kommst Du darauf, dass da dann [mm] $\infty$ [/mm] herauskäme? Dann solltest Du ja [mm] $|\sin(\sin(z))|=\left|\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k \sin^{2k+1}(z)}{(2k+1)!}\right| \ge [/mm] M$ für eine Konstante [mm] $(\infty >)\;\;M [/mm] > 0$ für alle genügend kleinen $z > 0$ haben, aber:
[mm] $|\sin(\sin(z))| \to [/mm] 0$ bei $z [mm] \to [/mm] 0$ ergibt sich alleine schon aus der Stetigkeit von $z [mm] \mapsto [/mm] |z|$ und weil [mm] $\sin(z) \to [/mm] 0$ ($z [mm] \to [/mm] 0$).
Ich hatte Dir doch auch eine alternative Vorgehensweise vorgeschlagen:
Siehe das P.S. von hier.
1. Beweise, falls unbekannt, dass $ [mm] \lim_{z \to 0} \sin(z)/z=1 [/mm] $ gilt.
(Das geht analog zu oben ($ z [mm] \not=0 [/mm] $):
$ [mm] |\sin(z)/z\;\;-1|\overset{Reihendarstellg.}{=}|...| [/mm] $ ist so nach oben abszuschätzen, dass man $ [mm] |\sin(z)/z\;\;-1| \to [/mm] 0 $ bei $ z [mm] \to [/mm] 0 $ erkennt. Tipp: O.E. $ |z| < 1 $ annehmen!)
2. Um dann $ [mm] \lim_{z \to 0} \sin(\sin(z))/z [/mm] $ zu berechnen:
O.E. kannst Du $ 0 < |z| < 1 $ annehmen, und damit gilt insbesondere
$$ [mm] \sin(\sin(z))/z=\frac{\sin(\sin(z))}{\sin(z)}\cdot{}\frac{\sin(z)}{z}\,.$$
[/mm]
Aus 2. folgt dann mit 1. die Behauptung, indem man $z [mm] \to [/mm] 0$ laufen lässt (beachte, dass dann auch [mm] $\sin(z)$ [/mm] gegen $0$ strebt).
Tipp bzw. fast kompletter Beweis zu 1.:
Eine mögliche Abschätzung ist z.B. die folgende:
[mm] $$\left|\sin(z)/z\;\;-1\right| \le \sum_{m=1}^\infty \frac{|z|^{2k}}{(2k+1)!} \le \blue{\sum_{m=1}^\infty |z|^k}\,.$$
[/mm]
Und mit [mm] $\sum_{p=0}^\infty t^{p}=\frac{1}{1-t}$ [/mm] ($|t| < 1$) erkennst Du dann [mm] $\sum_{r=1}^\infty t^r=t*\sum_{p=0}^\infty t^p=\frac{t}{1-t}\,.$
[/mm]
Da wir $z [mm] \to [/mm] 0$ [mm] ($\gdw [/mm] |z| [mm] \to [/mm] 0$) laufen lassen werden, kannst Du daher o.E. $|z|<1$ annehmen und so [mm] $\blue{\sum_{m=1}^\infty |z|^k}$ [/mm] passend umschreiben (Du musst oben quasi nur $t=|z|$ betrachten).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 So 18.01.2009 | | Autor: | gigi |
Wie kommst Du darauf, dass da dann $ [mm] \infty [/mm] $ herauskäme?
wenn ich die ersten summanden der potenzreihe ausschreibe, steht dann: [mm] \bruch{1}{z} [/mm] (1- [mm] \bruch{(sinz)^3}{6}+ \bruch{(sinz)^5}{120}-.......
[/mm]
und wenn z gegen 0 geht, dann wird [mm] \bruch{1}{z} [/mm] doch zu [mm] \infty, [/mm] oder????
ich verstehe also nicht, wie ich mit dieser darstellung auf den grenzwert von 1 kommen soll!
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Hallo gigi,
> Wie kommst Du darauf, dass da dann [mm]\infty[/mm] herauskäme?
>
> wenn ich die ersten summanden der potenzreihe ausschreibe,
> steht dann: [mm]\bruch{1}{z}[/mm] (1- [mm]\bruch{(sinz)^3}{6}+ \bruch{(sinz)^5}{120}-.......[/mm]
Das heißt doch:
[mm]\bruch{1}{z}[/mm] [mm] (\red{\sin\left(z\right)}-[/mm] [mm]\bruch{(sinz)^3}{6}+ \bruch{(sinz)^5}{120}-.......[/mm]
>
> und wenn z gegen 0 geht, dann wird [mm]\bruch{1}{z}[/mm] doch zu
> [mm]\infty,[/mm] oder????
> ich verstehe also nicht, wie ich mit dieser darstellung
> auf den grenzwert von 1 kommen soll!
Der [mm]\sin\left(z\right)[/mm] läßt sich seinerseits wieder in eine Potenzreihe entwicklen. Diese Reihe beginng mit [mm]z^{1}[/mm]
Dasselbe gilt auch für die Reihe
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k (sin(z))^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
Betrachtet man jetzt die Reihe
[mm]\bruch{1}{z} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k (sin(z))^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm]
so beginnt diese mit einer Konstanten, in diesem Fall mit 1.
Daher gilt:
[mm]\limes_{z \rightarrow 0}\bruch{1}{z} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k (sin(z))^{2k+1}}{(2k+1)!} =1[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 So 18.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo gigi,
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> > Wie kommst Du darauf, dass da dann [mm]\infty[/mm] herauskäme?
> >
> > wenn ich die ersten summanden der potenzreihe ausschreibe,
> > steht dann: [mm]\bruch{1}{z}[/mm] (1- [mm]\bruch{(sinz)^3}{6}+ \bruch{(sinz)^5}{120}-.......[/mm]
>
>
> Das heißt doch:
>
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] [mm](\red{\sin\left(z\right)}-[/mm]
> [mm]\bruch{(sinz)^3}{6}+ \bruch{(sinz)^5}{120}-.......[/mm]
>
>
> >
> > und wenn z gegen 0 geht, dann wird [mm]\bruch{1}{z}[/mm] doch zu
> > [mm]\infty,[/mm] oder????
> > ich verstehe also nicht, wie ich mit dieser darstellung
> > auf den grenzwert von 1 kommen soll!
>
>
> Der [mm]\sin\left(z\right)[/mm] läßt sich seinerseits wieder in eine
> Potenzreihe entwicklen. Diese Reihe beginng mit [mm]z^{1}[/mm]
>
> Dasselbe gilt auch für die Reihe
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k (sin(z))^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
>
> Betrachtet man jetzt die Reihe
>
> [mm]\bruch{1}{z} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k (sin(z))^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
>
> so beginnt diese mit einer Konstanten, in diesem Fall mit
> 1.
>
> Daher gilt:
>
> [mm]\limes_{z \rightarrow 0}\bruch{1}{z} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k (sin(z))^{2k+1}}{(2k+1)!} =1[/mm]
das ist aber stark verkürzt, wenn ich das richtig sehe. Hier wird ja bei [mm] $\bruch{1}{z} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k (sin(z))^{2k+1}}{(2k+1)!}$ [/mm] eigentlich auch [mm] $\sin(z)/z \to [/mm] 1$ bei $z [mm] \to [/mm] 0$ verwendet (für den ersten Summanden!; also $k=0$), und es steht da auch kein offensichtliches Argument, warum die "Restreihe" gegen 0 konvergiert (wobei sich das ganze auch mit einer, bereits von mir ausgeführten Argumentation in der vorletzten Antwort, analog begründen läßt bzw. sogar daraus folgern läßt!). Für spätere Semester ist die Argumentation sicher ausreichend, aber für Erst/Zweitsemestler? Aber bei Unklahrheiten kann ja nochmal nachgefragt werden 
Aber vll. denke ich gerade auch zu viel "in meinem Schema" und Du gehst eigtl. doch anders vor?!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 So 18.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gigi,
tu' mir bitte einen großen Gefallen:
Les' Dir mal genau durch, was ich geschrieben habe. Natürlich geht es auch, [mm] $\lim_{z \to 0} \sin(\sin(z))/z=1$ [/mm] alleine durch die Taylorreihenentwicklung des Sinus herzuleiten.
Aber nochmal:
Ich finde es hier eigtl. fast besser, anders vorzugehen, und zwar solltest Du zunächst [mm] $\lim_{z \to 0} \sin(z)/z=1$ [/mm] beweisen (wie das geht, steht in meiner letzten Antwort!!), und damit und der Umformung [mm] $\lim_{z \to 0} \frac{\sin(\sin(z))}{z}=\lim_{z \to 0} \left(\frac{\sin(\sin(z))}{\sin(z)}*\frac{\sin(z)}{z}\right)$ [/mm] dann [mm] $\lim_{z \to 0} \sin(\sin(z))/z=1$ [/mm] beweisen. Das ganze steht nun, meinerseits, schon zum dritten Mal hier. Ich wiederhole ja gerne Dinge und erläutere das nochmal, aber nur, wenn auch darauf eingegangen wird. Ansonsten macht das wenig Sinn...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mi 21.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hallo zusammen,
ich find den ansatz von marcel interessant aber komme damit auch nicht weiter.
> Hallo Gigi,
>
> tu' mir bitte einen großen Gefallen:
>
> Les' Dir mal genau durch, was ich geschrieben habe.
> Natürlich geht es auch, [mm]\lim_{z \to 0} \sin(\sin(z))/z=1[/mm]
> alleine durch die Taylorreihenentwicklung des Sinus
> herzuleiten.
>
> Aber nochmal:
> Ich finde es hier eigtl. fast besser, anders vorzugehen,
> und zwar solltest Du zunächst [mm]\lim_{z \to 0} \sin(z)/z=1[/mm]
> beweisen (wie das geht, steht in meiner letzten Antwort!!),
> und damit und der Umformung [mm]\lim_{z \to 0} \frac{\sin(\sin(z))}{z}=\lim_{z \to 0} \left(\frac{\sin(\sin(z))}{\sin(z)}*\frac{\sin(z)}{z}\right)[/mm]
[mm] \lim_{z \to 0} \left(\frac{\sin(\sin(z))}{\sin(z)}*\frac{\sin(z)}{z}\right)
[/mm]
hier weiß ich nun das der 2. teil des terms im limes gegen 1 geht. aber was fange ich denn mit dem ersten teil an? ich kann da ja schlecht kürzen (oder?) und für z [mm] \to [/mm] 0 geht sin(z) ja auch gegen 0. weshalb ich dann wieder durch null teile!?
oder sehe ich hier einfach irgendwas wesentliches nicht?
> dann [mm]\lim_{z \to 0} \sin(\sin(z))/z=1[/mm] beweisen. Das ganze
> steht nun, meinerseits, schon zum dritten Mal hier. Ich
> wiederhole ja gerne Dinge und erläutere das nochmal, aber
> nur, wenn auch darauf eingegangen wird. Ansonsten macht das
> wenig Sinn...
>
> Gruß,
> Marcel
gruß, Maxi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Sehe ich das richtig, es geht um den Ausdruck
[mm] \frac{sin(sin(z))}{sin(z)}
[/mm]
und um den Grenzwert für z--> 0
Setze $t = sin(z)$. Dann wird aus obigem Bruch [mm] \bruch{sin(t)}{t}
[/mm]
Mit z-->0 haben wir auch t-->0,
also [mm] \frac{\sin(\sin(z))}{\sin(z)} [/mm] -->1 für z-->0.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mi 21.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
> Sehe ich das richtig, es geht um den Ausdruck
>
> [mm]\frac{sin(sin(z))}{sin(z)}[/mm]
>
> und um den Grenzwert für z--> 0
>
> Setze [mm]t = sin(z)[/mm]. Dann wird aus obigem Bruch
> [mm]\bruch{sin(t)}{t}[/mm]
>
> Mit z-->0 haben wir auch t-->0,
>
> also [mm]\frac{\sin(\sin(z))}{\sin(z)}[/mm] -->1 für z-->0.
>
> FRED
Da bleibt doch aber das problem, für z [mm] \to [/mm] 0 folgt [mm] t\to 0.\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{sin(t)}{t} [/mm] = [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ???
aber 0 durch 0 ist doch nich 1 oder?
die fragezeichen überm kopf habende maxi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Sehe ich das richtig, es geht um den Ausdruck
> >
> > [mm]\frac{sin(sin(z))}{sin(z)}[/mm]
> >
> > und um den Grenzwert für z--> 0
> >
> > Setze [mm]t = sin(z)[/mm]. Dann wird aus obigem Bruch
> > [mm]\bruch{sin(t)}{t}[/mm]
> >
> > Mit z-->0 haben wir auch t-->0,
> >
> > also [mm]\frac{\sin(\sin(z))}{\sin(z)}[/mm] -->1 für z-->0.
> >
> > FRED
>
> Da bleibt doch aber das problem, für z [mm]\to[/mm] 0 folgt [mm]t\to 0.\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{sin(t)}{t}[/mm]
> = [mm]\bruch{0}{0}[/mm] ???
>
> aber 0 durch 0 ist doch nich 1 oder?
Ist Dir nicht bekannt, dass
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{sin(t)}{t} [/mm] = 1 ist.
in der obigen Diskussion hatte ich den Eindruck, Dir sei das bekannt.
Beweisen kannst Du das z. B. mit de l'Hospital.
FRED
>
> die fragezeichen überm kopf habende maxi
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Mi 21.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
omg, brett vorm Kopf. Ich hab ja auch vorhin schon zugestimmt, dass das für sin(z)/z gilt, is schon nicht so einfach dann drauf zu schließen das es auch für sin(t)/t gilt...
jaja, der mensch ist des verstandes größter feind...
danke dir.
die maxi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mi 21.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
> (Zu den Abschätzungen:
> [mm]\bullet[/mm] Bei [mm]g(z)=\exp(-1/z^2)/z[/mm]:
> [mm]|\exp(-1/z^2)/z\;\;-0|=|\exp(-1/z^2)/z|[/mm] ([mm]z \not=0[/mm]) ist so
> nach oben abzuschätzen, dass man [mm]|\exp(-1/z^2)/z\;\;-0| \to 0[/mm]
> bei [mm]z \to 0[/mm] erkennt.)
Hier steig ich auch gerad irgendwie aus.
wie soll ich denn [mm] \bruch{e^{-1 / z^2}}{z} [/mm] nach oben abschätzen das es gegen 0 geht?
ich habs mal so versucht, wobei ich aber scheinbar viel zu viel wegschätze:
[mm] \bruch{e^{-1 / z^2}}{z} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1 / z^2)^n}{n!} [/mm] < [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1 / z^2)^n}{n!} \to [/mm] 1 für z [mm] \to [/mm] 0 wenn ich mich nicht irre.
also muss ich weniger als das 1/z wegschätzen.
hab mir auch mal
[mm] \bruch{1}{z} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1 / z^2)^n}{n!} [/mm] < [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1 / z^2)^n}{n!} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{z^3}+\bruch{1}{2! z^5} -\bruch{1}{3! z^7} [/mm] + ...
aber das sieht auch nicht so aus als ob mich das weiterbringt.
für nen heißen tipp wäre ich euch total dankbar (das bin ich zwar eh schon, aber naja)
mfg die maxi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mi 21.01.2009 | | Autor: | leduart |
hallo
vielleicht hilft dir bei der Exp. fkt lieber x+1/z und x gegen unendlich laufen zu lassen? dass die exp. fkt schneller steigt, als jede potenz von x sollte klar sein, oder aus der Reihe hervorgehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mi 21.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
> hallo
> vielleicht hilft dir bei der Exp. fkt lieber x+1/z und x
> gegen unendlich laufen zu lassen? dass die exp. fkt
> schneller steigt, als jede potenz von x sollte klar sein,
> oder aus der Reihe hervorgehen.
> Gruss leduart
Hallo leduart, kannst du das evt. nochmal ein bisschen erklären? ich hab gerad wirklich keine idee was du meinst bzw. worauf du hinaus willst.
soll ich jetzt [mm] e^{x+1 / z} [/mm] betrachten?
Das die exp. fkt schneller steig als fast alle anderen ist klar ja. aber hier fällt sie ja da z [mm] \to [/mm] 0 geht!?
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Das interessante an den Folgen ist, das du einfach aus ner Funktion die gegen Null geht eine machen kannst die gegen [mm] \infty [/mm] geht. Dann hilft dir auch der Ansatz meines Vorposters das [mm] e^{n} [/mm] schneller bei [mm] \infty [/mm] ist alls alles andere.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Do 22.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also um die Idee der anderen mal zu formalisieren:
Substituiere für $z [mm] \in \IC \setminus \{0\}$ [/mm] nun $w:=1/z$. Dann gilt [mm] $\exp(-1/z^2)/z=w*\exp(-w^2)\,.$
[/mm]
Nun gilt [mm] $\exp(-1/z^2)/z=w*\exp(-w^2)$ [/mm] und damit
[mm] $$|\exp(-1/z^2)/z|=|w|*|\exp(-w^2)|=\left|\frac{w}{\exp(w^2)}\right|\,.$$
[/mm]
Und ab hier wird's halt etwas "komplex". Wären die Argumente $w [mm] \in \IR$, [/mm] so würde sich leicht argumentieren lassen, dass [mm] $\left|\frac{w}{\exp(w^2)}\right| \to [/mm] 0$ bei $w [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
(Beachte, dass in [mm] $\IC$ [/mm] gilt: Die Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] (und auch [mm] $(|z_n|)_n$) [/mm] ist genau dann eine Nullfolge in [mm] $\IC\setminus\{0\}\,,$ [/mm] wenn [mm] $\frac{1}{|z_n|} \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,.$)
[/mm]
Leider sind die Argumente $w=1/z$ komplex (da $z [mm] \in \IC \setminus\{0\}$), [/mm] und da steh' ich gerade selbst ein wenig auf dem Schlauch, wie man hier mit einer geeigneten Abschätzung erkennen soll, dass [mm] $\left|\frac{w}{\exp(w^2)}\right| \to [/mm] 0$ bei $|w| [mm] \to \infty$ [/mm] (ich finde da gerade selber nichts für und habe auch wenig Zeit, länger darüber nachzudenken; sinnvoll wäre es daher, dass Du vll. mal in Literatur danach suchst... oder wir hoffen, dass jemand anderes das vll. gerade im Kopf hat oder es sich herleiten kann und es uns präsentiert ).
Ich habe auch ein wenig den Verdacht, dass hier gar nicht darauf geachtet wurde, dass Deine Funktionen in [mm] $\IC \setminus \{0\}$ [/mm] und nicht in [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] definiert sind. Dass das nicht verwunderlich wäre, liegt daran, dass Du bei Deinen Funktionen als Argument [mm] $\,x\,$ [/mm] gewählt hast. Das ist zwar natürlich generell nicht falsch, aber es wäre, weil es halt gängig ist, dort besser, als Argument [mm] $\,z\,$ [/mm] zu wählen. Denn bei $f(x)=...$ hat man automatisch im Hinterkopf, dass [mm] $\,f\,$ [/mm] auf (einer Teilmenge von) [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Sa 24.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hallo Marcel,
ja das ding ist wirklich etwas komisch. Habe inzwischen auch meinen Übungsleiter darauf angesprochen und der hatte auch keine Idee wie das gehen soll. Er geht davon aus, dass wir ingendwas in der Vorlesung nicht geschafft haben was wir dazu gebraucht hätten.
Naja werd einfach mal unseren Prof fragen ob das noch kommt oder eher nicht.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo maxi,
> Hallo Marcel,
>
> ja das ding ist wirklich etwas komisch. Habe inzwischen
> auch meinen Übungsleiter darauf angesprochen und der hatte
> auch keine Idee wie das gehen soll. Er geht davon aus, dass
> wir ingendwas in der Vorlesung nicht geschafft haben was
> wir dazu gebraucht hätten.
>
> Naja werd einfach mal unseren Prof fragen ob das noch kommt
> oder eher nicht.
ich bin gerade auch davon überzeugt, dass die Aufgabe für komplexe Argumente gar nicht lösbar ist.
Eine Idee wäre es z.B., sich zu fragen:
Kann man zu einer (vll. sogar speziell gewählten) Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $[0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $x_n \to \infty$ [/mm] eine Folge [mm] $(w_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] so angeben, dass [mm] $w_n^2=i*x_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$?
[/mm]
Die Konsequenz wäre dann ja:
[mm] $$\left|\frac{w_n}{\exp(w_n^2)}\right|=\frac{|w_n|}{|\exp(i*x_n)|}=\frac{|w_n|}{\sqrt{\cos^2(x_n)+\sin^2(x_n)}}=|w_n|\,.$$
[/mm]
Aus [mm] $|w_n|^2=|w_n^2|=|x_n|$ [/mm] würde [mm] $|w_n|=\sqrt{|x_n|}$ [/mm] folgen, was aber bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] nicht gegen $0$, sondern gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt.
Meinetwegen kannst Du auch direkt eine passende Folge [mm] $(w_n)_{n \in \IN}$ [/mm] hinschreiben, die die obigen Eigenschaften besitzt. Ich denke, dass das machbar ist. Und für reelle $w=x$ strebt aber [mm] $\frac{x}{\exp(x^2)}$ [/mm] gegen [mm] $0\$ [/mm] ($x [mm] \to \infty$).
[/mm]
P.S.:
Sollte ich hier gerade groben Unfug schreiben, verzeihe man es mir, ich bin nämlich gerade sozusagen auf'm Sprung und habe keine weitere Zeit mehr, es nochmal Korrekturzulesen geschweige denn, es nochmal zu überdenken. Aber ich bin mir fast sicher, dass für komplexe [mm] $\,w\,$ [/mm] die Behauptung
[mm] $$\frac{w}{\exp(w^2)} \to [/mm] 0 (w [mm] \to \infty)$$
[/mm]
nicht stimmt.
Gruß,
Marcel
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