stetig nach 2 fortsetzbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mo 23.01.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | | Ist die Funktion [mm] f:\IR\{2} [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] definiert durch f(x) := (1-cos(x-2))/(2-x), stetig nach 2 fortsetzbar? Wenn ja,durch welchen Wert? |
1 - cos(x-2) = 1 - [mm] \summe_{k=0}^{ \infty}(-1)^{k} [/mm] * [mm] ((x-2)^{2k})/2k!
[/mm]
= 1- (1 - [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k} [/mm] * [mm] ((x-2)^{2k})/2k!)
[/mm]
= [mm] -(x-2)^{2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k} [/mm] * [mm] ((x-2)^{2k-2})/2k!
[/mm]
(1 - cos(x-2))/(2-x) = 1/(2-x) * ( [mm] -(x-2)^{2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k} [/mm] * [mm] ((x-2)^{2k-2})/2k!)
[/mm]
= -(x-2) * [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k} [/mm] * [mm] ((x-2)^{2k-2})/2k!
[/mm]
Jetzt gilt es noch das Restglied abzuschätzen:
R = [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k} [/mm] * [mm] ((x-2)^{2k-2})/2k!
[/mm]
0 <= | [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}((x-2)^{2k-2})/2k! [/mm] | <=
| [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} ((x-2)^{2k-2})| [/mm] <= | [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} ((x)^{2k-2})| [/mm] <= | [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} ((x)^{2k-2})| [/mm] <= | [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} ((x)^{2k})| [/mm] = [mm] 1/(1-x^{2}) \overrightarrow{x->2} [/mm] -1/3
Jetzt ist die Frage ob da die geometrische Reihe erlaubt ist das ja x gegen 2 konvergiert und somit |x|<1 nicht erfüllt ist......
dann werd ich auch nicht so recht schlau draus:
[mm] \limes_{x\rightarrow2} [/mm] -(x-2) * Restglied = 0
Ist die Fkt. nun stetig fortsetztbar durch 0?
Was sagt mir das jetzt falls die Fkt. stetig fortsetzbar ist?....das ich eine neue Fkt. definieren kann wo der Graph bei x = 2 stetig ist?
mfg,
Hannes
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Hallo Reaper,
> Ist die Funktion [mm]f:\IR\{2}[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] definiert durch f(x) :=
> (1-cos(x-2))/(2-x), stetig nach 2 fortsetzbar? Wenn
> ja,durch welchen Wert?
>
> 1 - cos(x-2) = 1 - [mm]\summe_{k=0}^{ \infty}(-1)^{k}[/mm] *
> [mm]((x-2)^{2k})/2k![/mm]
> = 1- (1 - [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k}[/mm] *
> [mm]((x-2)^{2k})/2k!)[/mm]
> = [mm]-(x-2)^{2}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k}[/mm] *
> [mm]((x-2)^{2k-2})/2k![/mm]
>
> (1 - cos(x-2))/(2-x) = 1/(2-x) * ( [mm]-(x-2)^{2}[/mm] *
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k}[/mm] * [mm]((x-2)^{2k-2})/2k!)[/mm]
Für [mm]x\;\ne\;2[/mm] darfste dividieren.
>
> = -(x-2) * [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k}[/mm] *
> [mm]((x-2)^{2k-2})/2k![/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt gilt es noch das Restglied abzuschätzen:
> R = [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k}[/mm] * [mm]((x-2)^{2k-2})/2k![/mm]
>
> 0 <= | [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}((x-2)^{2k-2})/2k![/mm] | <=
> | [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} ((x-2)^{2k-2})|[/mm] <= |
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} ((x)^{2k-2})|[/mm] <= | [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} ((x)^{2k-2})|[/mm]
> <= | [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} ((x)^{2k})|[/mm] = [mm]1/(1-x^{2}) \overrightarrow{x->2}[/mm]
> -1/3
>
> Jetzt ist die Frage ob da die geometrische Reihe erlaubt
> ist das ja x gegen 2 konvergiert und somit |x|<1 nicht
> erfüllt ist......
Das wird nicht gebraucht.
>
> dann werd ich auch nicht so recht schlau draus:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow2}[/mm] -(x-2) * Restglied = 0
Das ist so gemeint:
[mm]
\begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \; - (x - 2)\;\sum\limits_{k = 1}^\infty {( - 1)^k \;\frac{{\left( {x - 2} \right)^{2k - 2} }}
{{2k!}}} \hfill \\
= \;\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \; - (x - 2)\; \times \;\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \;\sum\limits_{k = 1}^\infty {( - 1)^k \;\frac{{\left( {x - 2} \right)^{2k - 2} }}
{{2k!}}} \hfill \\
= \;0\; \times \;\frac{{ - 1}}
{2}\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
>
> Ist die Fkt. nun stetig fortsetztbar durch 0?
Ja.
>
> Was sagt mir das jetzt falls die Fkt. stetig fortsetzbar
> ist?....das ich eine neue Fkt. definieren kann wo der Graph
> bei x = 2 stetig ist?
Die Funktion kann durch die Definition f(2)=0 stetig fortgesetzt werden.
Die Funktionsdefinition sieht dann so aus:
[mm]
f(x): = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
0 \hfill & {x\; = \;2} \hfill \\
{\frac{{1 - \cos \left( {x - 2} \right)}}
{{x - 2}}} \hfill & {{\text{sonst}}} \hfill \\
\end{array} } \right.[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo....ich weiß dass es auch mit dem Majorantenkriterium geht aber die Frage is ob nun meine Variante völliger Schwachsinn ist bzw. was anders gemacht werden sollte? (Was ich nicht glauben kann denn ich hab schon einige Bsp. der Art gerechnet und die sind alle mit dem Einschachtelungssatz gegangen bzw. mit der anderen von dir gezeigten Variante).
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Mi 25.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Hannes
Hier wurde kein "Majorantenkriterium" benutzt! Und was du mit "Einschachtelungssatz" hier in Bezug auf deinen Beweisversuch meinst versteh ich nicht. Du hast doch nix eingeschachtelt?
Deinen Fehler hab ich im anderen post erklärt.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mi 25.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Hannes
Eigentlich antwort ich auf deine zweite Frage, brauch die hier zum Zitieren!
> Ist die Funktion [mm]f:\IR\{2}[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] definiert durch f(x) :=
> (1-cos(x-2))/(2-x), stetig nach 2 fortsetzbar? Wenn
> ja,durch welchen Wert?
>
> 1 - cos(x-2) = 1 - [mm]\summe_{k=0}^{ \infty}(-1)^{k}[/mm] *
> [mm]((x-2)^{2k})/2k![/mm]
> = 1- (1 - [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k}[/mm] *
> [mm]((x-2)^{2k})/2k!)[/mm]
> = [mm]-(x-2)^{2}[/mm] * [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k}[/mm] *
> [mm]((x-2)^{2k-2})/2k![/mm]
>
> (1 - cos(x-2))/(2-x) = 1/(2-x) * ( [mm]-(x-2)^{2}[/mm] *
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k}[/mm] * [mm]((x-2)^{2k-2})/2k!)[/mm]
>
> = -(x-2) * [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k}[/mm] *
> [mm]((x-2)^{2k-2})/2k![/mm]
>
> Jetzt gilt es noch das Restglied abzuschätzen:
Das Wort Restglied ist hier sehr schlecht. Mit Restglied bezeichnet man in Mathe den hinteren Teil einer konvergenten Reihe.
Du meinst den zweiten Faktor!
> R = [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}(-1)^{k}[/mm] * [mm]((x-2)^{2k-2})/2k![/mm]
>
> 0 <= | [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}((x-2)^{2k-2})/2k![/mm] | <=
> | [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} ((x-2)^{2k-2})|[/mm] <= |
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} ((x)^{2k-2})|[/mm] <= | [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} ((x)^{2k-2})|[/mm]
Die Abschätzung ist zwar richtig, du machst aber aus einer konvergenten Reihe (falls x in der Nähe von 2 ist) eine divergente Reihe, d.h. hier steht sowas wie [mm] a<\infty [/mm] und solche Abschätzungen sind nie nützlich, weil sie ja für alles gelten!
> <= | [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} ((x)^{2k})|[/mm] = [mm]1/(1-x^{2}) \overrightarrow{x->2}[/mm]
> -1/3
hier ist der ganz dicke Fehler! Du müsstest sehen, dass | [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} ((2)^{2k})|[/mm] sicher unendlich ist!
Du kannst immer die Summenformel für die endliche geom. Reihe benutzen, und dann n gegen unendlich gehen lassen.also hier [mm] Sn=\bruch{1-x^{2n}}{1-x^2} [/mm] jetzt n gegen unendlich und x gegen 2.
Schlecht find ich, dass du der letzten Summe vor dem Ausrechnen nicht ihre Divergenz für x=2 ansiehst!
Wenn du ne Abschätzung machst ist zwar jede vergrößerung erlaubt, aber Vergrößerungen, die aus einer Größe die gegen 0 geht eine die gegen 2 geht machen sind sicher nicht sinnvoll!
Die Reihe mit [mm] (x-2)^{2k} [/mm] war doch auch schon ne geom. Reihe, warum da nicht direkt die Summe?
> Jetzt ist die Frage ob da die geometrische Reihe erlaubt
> ist das ja x gegen 2 konvergiert und somit |x|<1 nicht
> erfüllt ist......
Zusatzfrage: Kennt ihr die Regel von l'Hopital noch nicht? damit ging das viel schneller?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Fr 27.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo....nein d l'Hopital haben wir noch nicht gelernt....wir müssen es also so versuchen.....ehrlich gesagt werd ich aus dem Bsp. einfach nicht schlau.....um die geometrsiche Reihe anwenden zu dürfen muss doch k=0 sein und nicht k=1 oder? Außerdem darf n nicht gegen unendlich gehen sondern muss endlich sein...wenn ich mir die Definition so anschaue....
Wie geht es denn nun richtig nach meiner Methode....ich komm nicht drauf...
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hannes!
Wir waren ja soweit, dass du
[mm] $\lim\limits_{x \to 2} \left[ -(x-2) \sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^k \frac{(x-k)^{2k-2}}{(2k)!} \right]$
[/mm]
betrachten musst. Um zu zeigen, dass das existiert und gleich $0$ ist, musst du nur die Beschränktheit des zweiten Faktors, also die Konvergenz der Reihe zeigen. Dies kannst du auf elementarem Wege tun, z.B. per Quotientenkriterium oder, falls das möglich ist, durch Zurückführen auf bekannte Reihen (es steht dort ja fast die Cosinusreihe).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo...ok...habs jetzt nochmahl versucht.....
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} |x-2|^{2*(k-1)}/2k! [/mm] <= [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} |x-2|^{2*(k-1)} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} |x-2|^{2k} [/mm] = [mm] 1/(1-(x-2)^{2}) [/mm] =
x->2 also 1.
daraus folgt:
-(x-2)*1 -> 0
Die Fkt. ist nach 0 stetig fortsetzbar...
mfg,
Hannes
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mo 30.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Hannes
> Hallo...ok...habs jetzt nochmahl versucht.....
>
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} |x-2|^{2*(k-1)}/2k![/mm] <=
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} |x-2|^{2*(k-1)}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{ \infty} |x-2|^{2k}[/mm]
> = [mm]1/(1-(x-2)^{2})[/mm] =
die Summe der geometr. Reihe darfst du nur so hinschreiben, wenn |x-2|<1 ist, sowas muss man dazuschreiben, und du darfst es hier vorraussetzen!
> x->2 also 1.
>
> daraus folgt:
>
> -(x-2)*1 -> 0
>
> Die Fkt. ist nach 0 stetig fortsetzbar...
Gruss leduart
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