stetig singuläres W'maß < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe folgende Definition, bei der ich nicht sicher bin, ob ich sie verstanden habe:
P W'maß, [mm] \lambda [/mm] Lebeguemaß, F zu P gehörigige Verteilungsfunktion.
Die Aussage ist:
P ist stetig singulär [mm] \gdw [/mm]
F stetig und [mm] \lambda( [/mm] { [mm] x\in \IR: [/mm] F'(x) existiert und ist >0 } )=0
Meine Frage: Heißt der letzte Teil
( [mm] \lambda [/mm] ({ [mm] x\in \IR: [/mm] F'(x) existiert und ist >0 })=0),
dass es nur einzelne Punkte gibt, die nicht differenzierbar sind oder bei denen F'(x)=0 ist, aber keine Intervalle?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Ich habe folgende Definition, bei der ich nicht sicher
> bin, ob ich sie verstanden habe:
> P W'maß, [mm]\lambda[/mm] Lebeguemaß, F zu P gehörigige
> Verteilungsfunktion.
> Die Aussage ist:
> P ist stetig singulär [mm]\gdw[/mm]
> F stetig und [mm]\lambda( { x\in \IR: F'(x) \ \mbox{existiert und ist}> 0 } )=0[/mm]
>
> Meine Frage: Heißt der letzte Teil
> ( [mm]\lambda({ x\in \IR: F'(x) \ \mbox{existiert und ist} >0 })=0[/mm]),
> dass es nur einzelne Punkte gibt, die nicht
> differenzierbar sind oder bei denen F'(x)=0 ist, aber keine
> Intervalle?
Diese Menge kann keine nichttrivialen Intervalle enthalten, das ist richtig, sonst hätte sie nicht das Lebesguemaß $0$. Andererseits muss sie aber auch nicht zwangsläufig nur aus isolierten Punkten bestehen! Es gibt auch Mengen, die perfekt sind (die also abgeschlossen sind und gar keine (!) isolierten Punkte besitzen, wie etwas das Cantorsche Diskontinuum), und die trotzdem das Lebesguemaß $0$ haben. Also, ganz so einfach ist die Sache nicht mit den Nullmengen, aber die Aussage "enthält keine Intervalle" trifft es schon ganz gut.
Annschaulich sind die stetig singulären W-Maße genau die stetigen W-Maße, die ihre Masse genau auf einer Lebesgue-Nullmenge haben und somit in einem gewissen Sinne (das kann man formalisieren, sprengt hier aber den Rahmen) orthogonal zum Lebesgue-Maß sind.
Viele Grüße
Julius
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