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| Aufgabe | Seien $f [mm] \in \mathcal{F} [/mm] ((-1,1), [mm] \IR)$ [/mm] differenzierbar mit $f(0)=0$ und $g [mm] \in \mathcal{F}((-1,1), \IR)$ [/mm] definiert durch
[mm] $g(x):=\begin{cases} \bruch{f(x)}{x}, & x \not= 0\\ f'(0), & x=0 \end{cases}$
[/mm]
Zeigen Sie:
$(i) g$ ist stetig in $(-1,1)$
$(ii)$ Existiert $f''(0)$, so ist $g$ differenzierbar in $(-1,1)$
$(iii)$ Existiert $f''$ in $(-1,1)$ stetig in $x=0$, so ist $g$ stetig differenzierbar in $(-1,1)$ |
Guten Abend,
ich weiß einfach nicht, wo ich anfangen soll und wäre über jegliche Hilfe wirklich dankbar :)
Vielen Dank im Voraus!
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> Seien [mm]f \in \mathcal{F} ((-1,1), \IR)[/mm] differenzierbar mit
> [mm]f(0)=0[/mm] und [mm]g \in \mathcal{F}((-1,1), \IR)[/mm] definiert durch
>
> [mm]g(x):=\begin{cases} \bruch{f(x)}{x}, & x \not= 0\\
f'(0), & x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> [mm](i) g[/mm] ist stetig in [mm](-1,1)[/mm]
Hallo,
hier wurde mithilfe von f, deren Eigenschaften man aus den Voraussetzungen kennt, eine neue Funktion g definiert, und die Frage ist nun, ob g stetig ist.
Die Stetigkeit an den Stellen [mm] x\not=0 [/mm] kannst Du schnell mit einem Satz aus der Vorlesung bestätigen, denn f und die Identität id(x):=x sind stetig.
Bleibt die Stetigkeit an der Stelle x=0.
Was ist dafür zu zeigen? (Es geht um einen Grenzwert.)
Die anderen Teilaufgaben haben Zeit, bis i) fertig ist.
Sonst gibt's Chaos.
LG Angela
> [mm](ii)[/mm] Existiert [mm]f''(0)[/mm], so ist [mm]g[/mm] differenzierbar in [mm](-1,1)[/mm]
> [mm](iii)[/mm] Existiert [mm]f''[/mm] in [mm](-1,1)[/mm] stetig in [mm]x=0[/mm], so ist [mm]g[/mm]
> stetig differenzierbar in [mm](-1,1)[/mm]
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> > Seien [mm]f \in \mathcal{F} ((-1,1), \IR)[/mm] differenzierbar mit
> > [mm]f(0)=0[/mm] und [mm]g \in \mathcal{F}((-1,1), \IR)[/mm] definiert durch
> >
> > [mm]g(x):=\begin{cases} \bruch{f(x)}{x}, & x \not= 0\\
f'(0), & x=0 \end{cases}[/mm]
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> >
> > Zeigen Sie:
> > [mm](i) g[/mm] ist stetig in [mm](-1,1)[/mm]
>
> Hallo,
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> hier wurde mithilfe von f, deren Eigenschaften man aus den
> Voraussetzungen kennt, eine neue Funktion g definiert, und
> die Frage ist nun, ob g stetig ist.
>
> Die Stetigkeit an den Stellen [mm]x\not=0[/mm] kannst Du schnell mit
> einem Satz aus der Vorlesung bestätigen, denn f und die
> Identität id(x):=x sind stetig.
Okay, ich glaube du meinst den Satz, dass die Komposition zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist, oder?
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> Bleibt die Stetigkeit an der Stelle x=0.
> Was ist dafür zu zeigen? (Es geht um einen Grenzwert.)
Muss ich die Stetigkeit hier mit einem Folgengrenzwert zeigen?
Oder kommt hier die Regel von l'Hospital ins spiel, da diese in den 2 Aufgaben davor bearbeitet wurden?
>
> Die anderen Teilaufgaben haben Zeit, bis i) fertig ist.
> Sonst gibt's Chaos.
>
> LG Angela
> > [mm](ii)[/mm] Existiert [mm]f''(0)[/mm], so ist [mm]g[/mm] differenzierbar in
> [mm](-1,1)[/mm]
> > [mm](iii)[/mm] Existiert [mm]f''[/mm] in [mm](-1,1)[/mm] stetig in [mm]x=0[/mm], so ist [mm]g[/mm]
> > stetig differenzierbar in [mm](-1,1)[/mm]
>
Vielen Dank für deine Hilfe :)
LG Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > > Seien [mm]f \in \mathcal{F} ((-1,1), \IR)[/mm] differenzierbar mit
> > > [mm]f(0)=0[/mm] und [mm]g \in \mathcal{F}((-1,1), \IR)[/mm] definiert durch
> > >
> > > [mm]g(x):=\begin{cases} \bruch{f(x)}{x}, & x \not= 0\\
f'(0), & x=0 \end{cases}[/mm]
>
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> > >
> > > Zeigen Sie:
> > > [mm](i) g[/mm] ist stetig in [mm](-1,1)[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > hier wurde mithilfe von f, deren Eigenschaften man aus den
> > Voraussetzungen kennt, eine neue Funktion g definiert, und
> > die Frage ist nun, ob g stetig ist.
> >
> > Die Stetigkeit an den Stellen [mm]x\not=0[/mm] kannst Du schnell mit
> > einem Satz aus der Vorlesung bestätigen, denn f und die
> > Identität id(x):=x sind stetig.
>
> Okay, ich glaube du meinst den Satz, dass die Komposition
> zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist, oder?
>
Ja
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> > Bleibt die Stetigkeit an der Stelle x=0.
> > Was ist dafür zu zeigen? (Es geht um einen
> Grenzwert.)
>
> Muss ich die Stetigkeit hier mit einem Folgengrenzwert
> zeigen?
> Oder kommt hier die Regel von l'Hospital ins spiel, da
> diese in den 2 Aufgaben davor bearbeitet wurden?
Mit l'Hospital kannst Du das machen.
FRED
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> >
> > Die anderen Teilaufgaben haben Zeit, bis i) fertig ist.
> > Sonst gibt's Chaos.
> >
> > LG Angela
> > > [mm](ii)[/mm] Existiert [mm]f''(0)[/mm], so ist [mm]g[/mm] differenzierbar in
> > [mm](-1,1)[/mm]
> > > [mm](iii)[/mm] Existiert [mm]f''[/mm] in [mm](-1,1)[/mm] stetig in [mm]x=0[/mm], so ist
> [mm]g[/mm]
> > > stetig differenzierbar in [mm](-1,1)[/mm]
> >
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> Vielen Dank für deine Hilfe :)
> LG Dudi
> >
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> > > > Seien [mm]f \in \mathcal{F} ((-1,1), \IR)[/mm] differenzierbar mit
> > > > [mm]f(0)=0[/mm] und [mm]g \in \mathcal{F}((-1,1), \IR)[/mm] definiert durch
> > > >
> > > > [mm]g(x):=\begin{cases} \bruch{f(x)}{x}, & x \not= 0\\
f'(0), & x=0 \end{cases}[/mm]
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> > > > Zeigen Sie:
> > > > [mm](i) g[/mm] ist stetig in [mm](-1,1)[/mm]
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > hier wurde mithilfe von f, deren Eigenschaften man aus den
> > > Voraussetzungen kennt, eine neue Funktion g definiert, und
> > > die Frage ist nun, ob g stetig ist.
> > >
> > > Die Stetigkeit an den Stellen [mm]x\not=0[/mm] kannst Du schnell mit
> > > einem Satz aus der Vorlesung bestätigen, denn f und die
> > > Identität id(x):=x sind stetig.
> >
> > Okay, ich glaube du meinst den Satz, dass die Komposition
> > zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist, oder?
> >
>
> Ja
>
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> > >
> > > Bleibt die Stetigkeit an der Stelle x=0.
> > > Was ist dafür zu zeigen? (Es geht um einen
> > Grenzwert.)
> >
> > Muss ich die Stetigkeit hier mit einem Folgengrenzwert
> > zeigen?
> > Oder kommt hier die Regel von l'Hospital ins spiel, da
> > diese in den 2 Aufgaben davor bearbeitet wurden?
>
> Mit l'Hospital kannst Du das machen.
>
> FRED
Okay, aber wie? :)
Ich habe ja nur f(0)=0 gegeben, was kann ich daraus für f'(0) schließen?
Vielen Dank
LG
Dudi
> >
> > >
> > > Die anderen Teilaufgaben haben Zeit, bis i) fertig ist.
> > > Sonst gibt's Chaos.
> > >
> > > LG Angela
> > > > [mm](ii)[/mm] Existiert [mm]f''(0)[/mm], so ist [mm]g[/mm] differenzierbar
> in
> > > [mm](-1,1)[/mm]
> > > > [mm](iii)[/mm] Existiert [mm]f''[/mm] in [mm](-1,1)[/mm] stetig in [mm]x=0[/mm], so
> ist
> > [mm]g[/mm]
> > > > stetig differenzierbar in [mm](-1,1)[/mm]
> > >
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> > Vielen Dank für deine Hilfe :)
> > LG Dudi
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> > > > > Seien [mm]f \in \mathcal{F} ((-1,1), \IR)[/mm] differenzierbar mit
> > > > > [mm]f(0)=0[/mm] und [mm]g \in \mathcal{F}((-1,1), \IR)[/mm] definiert durch
> > > > >
> > > > > [mm]g(x):=\begin{cases} \bruch{f(x)}{x}, & x \not= 0\\
f'(0), & x=0 \end{cases}[/mm]
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> > > > > Zeigen Sie:
> > > > > [mm](i) g[/mm] ist stetig in [mm](-1,1)[/mm]
> > > >
> > Mit l'Hospital kannst Du das machen.
>
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> Okay, aber wie? :)
> Ich habe ja nur f(0)=0 gegeben, was kann ich daraus für
> f'(0) schließen?
Hallo,
ich glaub', mit L'Hospital klappt das nicht.
Aber Du willst doch [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\bruch{f(x)-0}{x-0}=...
[/mm]
Ideen?
LG Angela
>
> Vielen Dank
>
> LG
> Dudi
>
>
> > >
> > > >
> > > > Die anderen Teilaufgaben haben Zeit, bis i) fertig ist.
> > > > Sonst gibt's Chaos.
> > > >
> > > > LG Angela
> > > > > [mm](ii)[/mm] Existiert [mm]f''(0)[/mm], so ist [mm]g[/mm]
> differenzierbar
> > in
> > > > [mm](-1,1)[/mm]
> > > > > [mm](iii)[/mm] Existiert [mm]f''[/mm] in [mm](-1,1)[/mm] stetig in [mm]x=0[/mm],
> so
> > ist
> > > [mm]g[/mm]
> > > > > stetig differenzierbar in [mm](-1,1)[/mm]
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> > >
> > > Vielen Dank für deine Hilfe :)
> > > LG Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Die Stetigkeit an den Stellen [mm]x\not=0[/mm] kannst Du schnell mit
> > einem Satz aus der Vorlesung bestätigen, denn f und die
> > Identität id(x):=x sind stetig.
das wäre doch langweilig, zu zeigen, dass, wenn [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist, dann auch $f [mm] \circ [/mm] id$ stetig ist - denn $f=f [mm] \circ [/mm] id$ gilt wegen $f(x)=f(id(x))$ für alle [mm] $x\,.$ [/mm] ('Hier' sollen [mm] $f\,$ [/mm] und $id$ "sogar" den gleichen Definitionsbereich haben!)
Für $x [mm] \not=0$ [/mm] ist hier vielmehr [mm] $g\,$ [/mm] stetig, weil, wenn man [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $D_f \setminus \{0\}$ [/mm] einschränkt, dann diese Einschränkung stetig ist (okay, das kann man sogar echt mit einer passenden [mm] $id\,$ [/mm] und der Verknüpfung dann begründen) und weil die Funktion [mm] $id(x):=x\,$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] stetig ist ('hier' schreibe ich nun kurz [mm] $id\,$ [/mm] anstatt [mm] $id_\IR(x)=x$ [/mm] mit [mm] $id_{\IR}:\IR \to \IR$), [/mm] also auch jede Einschränkung von [mm] $id\,,$ [/mm] insbesondere auch jede Einschränkung, die die Bedingung erfüllt, dass die eingeschränkte Funktion nullstellenfrei ist.
Die Einschränkung von [mm] $g\,$ [/mm] auf jede Teilmenge von [mm] $T\,$ [/mm] des Definitionsbereichs von [mm] $g\,,$ [/mm] so dass [mm] $T\,$ [/mm] keine Nullstelle der 'Nennerfunktion rechterhand' (also [mm] $id\,$) [/mm] enthält, ist also als Quotient stetiger Funktionen stetig, denn dann kann man schreiben
[mm] $$g_{|T}=\frac{f_{|T}}{id_{|T}}$$
[/mm]
und die eingeschränkten Funktionen rechterhand sind beide stetig und nach Bedingung an [mm] $T\,$ [/mm] hat [mm] $id_{|T}$ [/mm] keine Nullstellen.
Das ist eigentlich eine mögliche, ganz saubere Begründung (wenn ich nicht was vergessen oder geschlampt habe).
Übrigens erkennt man so auch sofort, dass $x [mm] \mapsto [/mm] 1/x$ auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] stetig ist.
Gruß,
Marcel
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