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| Aufgabe | | Sei [mm] f:[a,b]->\IR [/mm] stetig und f(x) [mm] \ge [/mm] 0. Man zeige, ist [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0, [/mm] so gilt: f(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] |
Hey
Ich habe mir die Aufgabe in einer Zeichnung veranschaulicht und klar, wenn die Fläche unterhalb der Funktion=0 ist, ist auch die Funktion =0.
Leider weiß ich hier nicht ganz, wie ich die Stetigkeit ausnutzen soll, um dies zu beweisen.
Ich würde etwas anders ansetzen:
Ist die Funktion stetig, so ist diese ja auch riemann integrierbar, heißt: Ober- und Untersumme stimmen überein. Also gilt:
[mm] \sum_{i=0}^{n-1}f(x)*(x_{i}-x{i-1})=0
[/mm]
daraus soll ich jetzt schlussfolgern, dass auch f(x)=0..
Mir ist klar, dass wenn einer der Faktoren =0 ist, die ganze Summe=0 wird. Allerdings ist dies wahrscheinlich hier nicht gefragt.
Kann mir vielleicht jemand hier helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 So 04.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]f:[a,b]->\IR[/mm] stetig und f(x) [mm]\ge[/mm] 0. Man zeige, ist
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0,[/mm] so gilt: f(x)=0 für alle x
> [mm]\in[/mm] [a,b]
>
> Hey
> Ich habe mir die Aufgabe in einer Zeichnung
> veranschaulicht und klar, wenn die Fläche unterhalb der
> Funktion=0 ist, ist auch die Funktion =0.
> Leider weiß ich hier nicht ganz, wie ich die Stetigkeit
> ausnutzen soll, um dies zu beweisen.
> Ich würde etwas anders ansetzen:
> Ist die Funktion stetig, so ist diese ja auch riemann
> integrierbar, heißt: Ober- und Untersumme stimmen
> überein.
Nöh, ihre Grenzwerte stimmen überein. Das ist ein wichtiger Unterschied!
> Also gilt:
> [mm]\sum_{i=0}^{n-1}f(x)*(x_{i}-x{i-1})=0[/mm]
> daraus soll ich jetzt schlussfolgern, dass auch f(x)=0..
> Mir ist klar, dass wenn einer der Faktoren =0 ist, die
> ganze Summe=0 wird. Allerdings ist dies wahrscheinlich hier
> nicht gefragt.
> Kann mir vielleicht jemand hier helfen?
Versuche einen Widerspruchsbeweis. Mache dir klar, dass wenn [mm] $f(x_{0})>m>0$ [/mm] wäre, dass es dann aufgrund der Stetigkeit von $f$ ein Intervall gibt, das [mm] $x_{0}$ [/mm] enthaelt, auf dem $f>m$ ist. Schätze nun das Integral mittels des Intervalls und mit $m$ nach unten ab.
>
>
> LG
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Hey
Heyho
> Versuche einen Widerspruchsbeweis. Mache dir klar, dass
> wenn [mm]f(x_{0})>m>0[/mm] wäre, dass es dann aufgrund der
> Stetigkeit von [mm]f[/mm] ein Intervall gibt, das [mm]x_{0}[/mm] enthaelt,
ich verstehe was du meinst, aber wie genau hängt die Stetigkeit damit zusammen, dass auf einem bestimmten Intervall f>m gilt?
> auf dem [mm]f>m[/mm] ist.
>Schätze nun das Integral mittels des
> Intervalls und mit [mm]m[/mm] nach unten ab.
meinst du:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \ge \integral_{a}^{b}{m dx} \not=0 [/mm] (da m(als Konstante)>0)
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 So 04.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn [mm] f(x_0)=m>ß [/mm] ist gibt es eine [mm] \delta [/mm] >0 Umgebung von [mm] x_0 [/mm] in der [mm] |f(x)-f(x_0)=|f(x)-m|<\epsilon [/mm] und man kann [mm] \epsilon [/mm] beliebig wählen. anschaulich, wenn [mm] f(x)=m\not=0
[/mm]
dann kann f in der unmittelbaren Nähe nicht auf 0 hopsen.
gruss leduart
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Hey
okay das mit dem Stetigkeitskriterium verstehe ich.
Also kann ich dann das Integral so abschätzen?:
[mm] 0=\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{m dx} \not=0 [/mm] da [mm] m\ge [/mm] 0?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 So 04.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, falls [mm] f(x)\not=0 [/mm] also es gibt ein [mm] x_0 [/mm] mit [mm] f(x_0)=m>0 [/mm] hast du ja nur ein [mm] \delta [/mm] Intervall um [mm] x_0 [/mm] , in den z.B f >m/2 ist. der Wert des Integral ist deshalb mindesten?
Gruß leduart
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Hey du 
achso:
es gilt also:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \ge \integral_{a}^{b}{m/2 dx}= [/mm] m/2 oder?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 So 04.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Hey du
> achso:
> es gilt also:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx} \ge \integral_{a}^{b}{m/2 dx}=[/mm]
Diese Abschaetzung ist i.a. falsch; sie waere richtig, wenn man wuesste, dass $f$ im gesamten Intervall [mm] $\geq \frac{m}{2}$ [/mm] waere.
> m/2 oder?
Und warum das Integral gleich [mm] $\frac{m}{2}$ [/mm] sein sollte ist mir schleierhaft.
>
>
> LG
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Hey
aber wie schätze ich das Integral dann am Besten ab um die Widerspruch zu beweisen?
LG
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Hiho,
du solltest dein Integrationsintervall mal zerlegen in den Bereich, wo du bereits weißt, dass die Funktion [mm] \ge \bruch{m}{2} [/mm] ist und den Rest.
Was weißt du über den Rest?
Gruß,
Gono.
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Hey
meinst du die Zerlegung:
[mm] \integral_{a}^{\delta}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{\delta}^{b}{f(x) dx} =\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] ?
in der Delta Umgebung gilt ja f [mm] \ge [/mm] m/s also für den ersten Intervall?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> meinst du die Zerlegung:
> [mm]\integral_{a}^{\delta}{f(x) dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{\delta}^{b}{f(x) dx} =\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> ?
> in der Delta Umgebung gilt ja f [mm]\ge[/mm] m/s also für den
> ersten Intervall?
Nein, so geht das nicht.
Ist f stetig und f [mm] \ge [/mm] 0 auf [a,b], [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] und [mm] f(x_0)=m>0, [/mm] so gibt es ein Intervall [u,v] [mm] \subseteq [/mm] [a,b] mit [mm] x_0 \in [/mm] [u,v] und
f(x) [mm] \ge [/mm] m/2 für alle x [mm] \in [/mm] [u,v].
Nun überlege Dir, dass
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \ge \integral_{u}^{v}{f(x) dx}
[/mm]
ist und dass dann folgt [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}>0.
[/mm]
FRED
>
>
> LG
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Hey
danke, das verstehe ich, kann ich dies dann begründen mit:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \ge \integral_{u}^{v}{f(x) dx}\ge \integral_{a}^{b}{(m/2) dx}\ge [/mm] 0 (da m/2 [mm] \ge [/mm] 0)?
und das schließt doch eigentlich den Beweis, oder?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> danke, das verstehe ich
... bist Du sicher ? ...
> , kann ich dies dann begründen
> mit:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx} \ge \integral_{u}^{v}{f(x) dx}\ge \integral_{a}^{b}{(m/2) dx}\ge[/mm]
> 0 (da m/2 [mm]\ge[/mm] 0)?
nein !
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \ge \integral_{u}^{v}{f(x) dx}\ge \integral_{u}^{v}{(m/2) dx}=\bruch{m(v-u)}{2}>0.
[/mm]
>
> und das schließt doch eigentlich den Beweis, oder?
Jetzt, ja.
FRED
>
>
> LG
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Hiho,
> kann ich dies dann begründen mit:
> [mm][mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \ge \integral_{u}^{v}{f(x) dx}
[/mm]
na die Ungleichung begründe mir mal bitte sauber.
Gruß,
Gono.
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