stetige Grenzfunktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Mi 22.03.2006 | | Autor: | neli |
Wir haben einmal das Cauchykriterium:
[mm] f_{v} [/mm] : M [mm] \to \IC [/mm] beschränkt, [mm] \summe_{v=o}^{\infty} f_{v} [/mm] normal konvergent
[mm] \rightarrow \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists v_{0} \in \IN [/mm] s.d.
[mm] \forall \mu [/mm] > [mm] v_{0} [/mm] gilt: | [mm] \summe_{v=v_{0}+1}^{\mu} f_{v}|<\varepsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M
und das Stetigkeitskriterium:
[mm] F_{v}: [/mm] M [mm] \to \IC [/mm] stetig + beschränkt, [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists v_{0} \in \IN [/mm] s.d.
[mm] \forall \mu [/mm] > [mm] v_{0} [/mm] gilt: | [mm] \summe_{v=v_{0}+1}^{\mu} f_{v}|<\varepsilon \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M
[mm] \rightarrow \summe_{v=0}^{\infty} f_{v} [/mm] konvergiert gegen eine stetige Grenzfunktion
Kann ich daraus schließen, dass wenn [mm] f_{v} [/mm] stetig und beschränkt ist und [mm] \summe_{v=0}^{\infty} f_{v} [/mm] normal konvergiert dass die Grenzfunktion dann stetig ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mi 22.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wir haben einmal das Cauchykriterium:
> [mm]f_{v}[/mm] : M [mm]\to \IC[/mm] beschränkt, [mm]\summe_{v=o}^{\infty} f_{v}[/mm]
> normal konvergent
> [mm]\rightarrow \forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists v_{0} \in \IN[/mm]
> s.d.
> [mm]\forall \mu[/mm] > [mm]v_{0}[/mm] gilt: | [mm]\summe_{v=v_{0}+1}^{\mu} f_{v}|<\varepsilon \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] M
>
> und das Stetigkeitskriterium:
> [mm]F_{v}:[/mm] M [mm]\to \IC[/mm] stetig + beschränkt, [mm]\forall \varepsilon[/mm]
> > 0 [mm]\exists v_{0} \in \IN[/mm] s.d.
> [mm]\forall \mu[/mm] > [mm]v_{0}[/mm] gilt: | [mm]\summe_{v=v_{0}+1}^{\mu} f_{v}|<\varepsilon \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] M
> [mm]\rightarrow \summe_{v=0}^{\infty} f_{v}[/mm] konvergiert gegen
> eine stetige Grenzfunktion
>
> Kann ich daraus schließen, dass wenn [mm]f_{v}[/mm] stetig und
> beschränkt ist und [mm]\summe_{v=0}^{\infty} f_{v}[/mm] normal
> konvergiert dass die Grenzfunktion dann stetig ist?
Ja: Das erste Resultat liefert die restlichen Voraussetzungen fuer das zweite Resultat.
LG Felix
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