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| Aufgabe | Zeige: Die Kurve f definiert durch:
[mm] f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^2 [/mm]
[mm] f(t):=(t,t\cdot cos\frac{\pi}{t}) [/mm] für t>0, f(0)=(0,0),
ist stetig aber nicht rektifizierbar. |
Hallo,
ja eine tolle Aufgabe ist das wiedermal.
Ich dachte, es gilt Kurve=stetige Abbildung. Muss ich dann die Stetigkeit noch explizit beweisen oder ergibt sich das einfach aus der Definition?
Für den Fall (was ich mal annehme) des Stetigkeitsbeweises:
[mm] \forall \varepsilon >0\exists \delta [/mm] >0: [mm] x\in [/mm] [0,1]: [mm] |x-t|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(t)|<\varepsilon.
[/mm]
So da hakt es nun schon. Wenn ich mal zunächst den Fall t=0 betrachte, habe ich ja [mm] |x-0|<\delta, [/mm] also [mm] |x|<\delta. [/mm] Betrachte ich dann [mm] |f(x)-f(0)|=|(x,x\cdot cos\frac{\pi}{x}). [/mm] Wie komme ich da weiter, dass dann irgendwann mal kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] wird. Ich habe da ja nun ein Element [mm] \in \mathbb{R}^2 [/mm] und bei dem [mm] \delta [/mm] steht nur eines aus [0,1], also einer Teilmenge von [mm] \mathbb{R}.
[/mm]
Für den Fall t>0 ergibt sich genau das gleiche Problem.
Und wie stelle ich das mit der Rektifizierbarkeit an?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> ja eine tolle Aufgabe ist das wiedermal.
> Ich dachte, es gilt Kurve=stetige Abbildung. Muss ich dann
> die Stetigkeit noch explizit beweisen oder ergibt sich das
> einfach aus der Definition?
Eine Kurve ist keine Abbildung, sondern eine Menge, nämlich das Bild eines Weges. Unterschiedliche Wege können die gleiche Kurve beschreiben.
Auf jeden Fall ist es vielleicht etwas unglückflich formuliert, weil Wege nach Definition stetiig sein müssen, aber es ist doch wohl klar dass hier gezeigt werden soll, dass es tatsächlich einen (stetigen) Weg gibt, dessen Bild die Kurve ist.
> Für den Fall (was ich mal annehme) des
> Stetigkeitsbeweises:
> [mm]\forall \varepsilon >0\exists \delta[/mm] >0: [mm]x\in[/mm] [0,1]:
> [mm]|x-t|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(t)|<\varepsilon.[/mm]
Genau das ist zu zeigen. Wie du schon bemerkt hast ist f(x) ja ein Vektor in [mm] $\IR^2$, [/mm] d.h. man muss dann eine Norm wählen. Welche ist egal, denn Stetigkeit ist unabhängig von der Wahl äquivalenter Normen und im [mm] $\IR^n$ [/mm] sind alle Normen äquivalent.
> Wenn ich mal zunächst den Fall t=0 betrachte, habe ich ja
> [mm]|x-0|<\delta,[/mm] also [mm]|x|<\delta.[/mm]
> Betrachte ich dann [mm]|f(x)-f(0)|=|(x,x\cdot cos\frac{\pi}{x}).[/mm]
> Wie komme ich da weiter, dass dann irgendwann mal kleiner
> als [mm]\varepsilon[/mm] wird?
Naja nehmen wir doch als Norm z.B. die Maximusnorm [mm] $\|\cdot\|_\infty$, [/mm] dann ist [mm] $\left\|(x,x\cos\frac{\pi}{x}\right\|_\infty\le [/mm] |x|$, da du den durch [mm] $\cos(...)\le [/mm] 1$ abschätzen kannst.
> Für den Fall t>0 ergibt sich genau das gleiche Problem.
Ist $t>0$, dann gibt es eine Umgebung um t, in der die Komponenten von f gleich [mm] $f^1(t)=t, f^2(t)=t\cos(\pi/t)$ [/mm] sind, also stetig. Dann ist klar dass f stetig in diesen Stellen stetig ist. Alernativ benutze Folgenstetigkeit.
> Und wie stelle ich das mit der Rektifizierbarkeit an?
Naja wenn du zeigen sollst, dass es nicht rektifizierbar ist, dann musst du zu jedem [mm] $N\in\IN$ [/mm] eine Zerlegung [mm] $\mathfrak{z}=(0=x_0N$. [/mm] Auch hier ist die Wahl der Norm egal.
Gruß, Robert
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Alernativ benutze Folgenstetigkeit.
Sag mal ist das, wenn ich es mit Folgenstetigkeit löse so einfach, wie es mir erscheint, also Sei [mm] (t_n) [/mm] bel. Folge mit [mm] t_n\rightarrow [/mm] a für n gegen [mm] \infty, [/mm] aber [mm] t_n\neq [/mm] 0.
Dann gilt lim [mm] f(t_n)=lim (t_n,t_n \cdot [/mm] cos [mm] \frac{\pi}{t_n})=(a,a\cdot cos\frac{\pi}{a})=f(a)?
[/mm]
Oder ist es falsch?
Und für t=0 ist f konstant, also sowieso stetig oder muss ich das noch irgendwie anders zeigen? Also mit [mm] (t_n) [/mm] Nullfolge?
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Alernativ benutze Folgenstetigkeit.
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> Sag mal ist das, wenn ich es mit Folgenstetigkeit löse so
> einfach, wie es mir erscheint, also Sei [mm](t_n)[/mm] bel. Folge
> mit [mm]t_n\rightarrow[/mm] a für n gegen [mm]\infty,[/mm] aber [mm]t_n\neq[/mm] 0.
> Dann gilt lim [mm]f(t_n)=lim (t_n,t_n \cdot[/mm] cos
> [mm]\frac{\pi}{t_n})=(a,a\cdot cos\frac{\pi}{a})=f(a)?[/mm]
> Oder ist es falsch?
Wieso gilt denn [mm] $\lim_{n\to\infty}(t_n,\cos\frac{\pi}{t_n})=(a,\cos\frac{\pi}{a})$?
[/mm]
> Und für t=0 ist f konstant, also sowieso stetig
Das ist aber jetzt käse, was du bräuchstest wäre eine ganze Umgebung um 0, auf der f konstant ist, aber sowas wirst du nicht finden. Ich habe dir doch schon geschrieben was du an der Stelle t=0 machen musst. den Kosinus kannst du betragsmäßig durch 1 abschätzen...
Gruß, Robert
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> Oder ist es falsch?
> Wieso gilt denn
> [mm]\lim_{n\to\infty}(t_n,\cos\frac{\pi}{t_n})=(a,\cos\frac{\pi}{a})[/mm]?
Naja weil [mm] t_n [/mm] gegen a geht für [mm] n\rightarrow \infty. [/mm] Aber scheinbar gilt das dann wohl eher nicht?
Nur mal interesse halber: Ich kann doch anstatt für [mm] \varepsilon-\delta [/mm] eine Norm zu benutzen auch eine Metrik nehmen, oder? Ein normierter Raum ist ja auch immer ein metrischer.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> > Oder ist es falsch?
> > Wieso gilt denn
> >
> [mm]\lim_{n\to\infty}(t_n,\cos\frac{\pi}{t_n})=(a,\cos\frac{\pi}{a})[/mm]?
>
> Naja weil [mm]t_n[/mm] gegen a geht für [mm]n\rightarrow \infty.[/mm] Aber
> scheinbar gilt das dann wohl eher nicht?
Doch das gilt schon... aber das ist kein "Kavaliersdelikt", sondern ein Satz, den ihr sicher in der VL gehabt habt: Eine Folge [mm] $(x_n)\subset\IR^n$ [/mm] konvergiert genau dann gege x, wenn alle Komponentenfolgen [mm] $(x^i_n)$ [/mm] gegen [mm] $x^i$ [/mm] konvergieren.
> Nur mal interesse halber: Ich kann doch anstatt für
> [mm]\varepsilon-\delta[/mm] eine Norm zu benutzen auch eine Metrik
> nehmen, oder? Ein normierter Raum ist ja auch immer ein
> metrischer.
Ja kannst du, aber dann hängt die Stetigkeit wirklich von der Wahl der Metrik ab. Zum Beispiel sind mit der "diskreten Metrik" [mm] $$d(x,y):=\begin{cases}0&\text{falls }x=y\\1&\text{sonst}\end{cases}$$ [/mm] nur noch lokal konstante Funktionen stetig. In der Aufgabe wird ja nicht weiter spezifiziert, bezüglich welcher Metrik/Norm/Topologie hier auf Stetigkeit untersucht werden soll, dann heißt das aber natürlich meistens, dass man die euklidische Standartmetrik nehmen soll, und die ist ja von einer Norm induziert, womit wir wieder bei "Stetigkeit ist unabhängig von der Wahl äquivalenter Normen" wären.
Gruß, Robert
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> Doch das gilt schon... aber das ist kein
> "Kavaliersdelikt", sondern ein Satz, den ihr sicher in der
> VL gehabt habt: Eine Folge [mm](x_n)\subset\IR^n[/mm] konvergiert
> genau dann gege x, wenn alle Komponentenfolgen [mm](x^i_n)[/mm]
> gegen [mm]x^i[/mm] konvergieren.
Vielleicht kann man das auch noch etwas ausführen:
[mm] lim(t_n,\cos\frac{\pi}{t_n}=(limt_n,cos(a\cdot lim\frac{1}{t_n}) [/mm] wobei ich sie Stetigkeit von cos ausgenutzt habe. Dann wird es offensichtlicher.
Gut für den Fall t=0 kann man es mit [mm] \varepsilon-\delta [/mm] machen. Aber wäre nicht hier auch das Folgenkriterium leichter? Wenn ich mir eine Nullfolge hernehme und versuche zu zeigen dass dann [mm] f(x_n)=f(0)=(0,0) [/mm] ist? Ich habe es noch nicht hinbekommen, deswegen frage ich nur mal.
Wegen der Rektifizierbarkeit bin ich mir noch unsicher, aber wahrscheinlich sollte man Beweis durch Widerspruch wählen oder? Naja mit dem Teil der Aufgabe beschäftige ich mich morgen weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Do 28.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Vielleicht kann man das auch noch etwas ausführen:
> [mm]lim(t_n,\cos\frac{\pi}{t_n}=(limt_n,cos(a\cdot lim\frac{1}{t_n})[/mm]
> wobei ich sie Stetigkeit von cos ausgenutzt habe. Dann wird
> es offensichtlicher.
Genau.
> Gut für den Fall t=0 kann man es mit [mm]\varepsilon-\delta[/mm]
> machen. Aber wäre nicht hier auch das Folgenkriterium
> leichter? Wenn ich mir eine Nullfolge hernehme und versuche
> zu zeigen dass dann [mm]f(x_n)=f(0)=(0,0)[/mm] ist? Ich habe es noch
> nicht hinbekommen, deswegen frage ich nur mal.
Kannst du machen, aber dadurch wird eigentlich nix leichter. Du musst dann zeigen, dass [mm] $t\cos(\pi/t)$ [/mm] gegen 0 konvergiert für [mm] $t\to0$.
[/mm]
Gruß, Robert
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