stetige ergänzungen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Fr 28.11.2008 | | Autor: | katrin24 |
| Aufgabe | man soll beweisen, dass die funktion
[mm] f:R\{+/-1}--> [/mm] R, x --> 1/(x²-1) weder in +1 noch in -1 eine stetige ergänzung besitzt. |
hallo an alle,
ich komme mit dieser aufgabe gar nicht zurecht.
kann mir dabei jemand helfen?
ich weiß weder genau, was eine stetige ergänzung ist, was man dabei macht, noch wie man das beweisen soll.
könnte man erst annehmen, dass es eine gibt und dann zeigen, dass sie nicht existiert? aber wie wäre da überhaupt der erste schritt - was wäre, wenn es sie gäbe?
ich bin total hilflos und bitte euch, mir zu helfen!
vielen dank, katrin
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=25178&ref=http% - aber bisher keine antwort ;)
|
|
| |
|
> man soll beweisen, dass die funktion
>
> [mm]f:R\{+/-1}-->[/mm] R, x --> 1/(x²-1) weder in +1 noch in -1 eine
> stetige ergänzung besitzt.
> hallo an alle,
>
> ich komme mit dieser aufgabe gar nicht zurecht.
>
> kann mir dabei jemand helfen?
> ich weiß weder genau, was eine stetige ergänzung ist, was
> man dabei macht, noch wie man das beweisen soll.
>
> könnte man erst annehmen, dass es eine gibt und dann
> zeigen, dass sie nicht existiert? aber wie wäre da
> überhaupt der erste schritt - was wäre, wenn es sie gäbe?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Funktion ist an den Stellen -1 und 1 ja nicht definiert.
Die Frage ist hier, ob Du der Stelle 1 einen Funktionswert a so zuweisen kannst , daß die Funktion g, die an allen Stellen außer 1 mit f übereinstimmt, und bei -1 durch g(-1):=a definiert ist, stetig ist. Wenn diese neue Funktion g stetig wäre an der Stelle 1 hättest Du f in 1 stetig ergänzt.
Um zu beweisen oder widerlegen, ob die Funktion in 1 stetig ergänzbar ist, müßtest Du überprüfen, ob [mm] \lim_{x\to 1}f(x)=a [/mm] ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 28.11.2008 | | Autor: | katrin24 |
danke! ich muss also den grenzwert bestimmen? ich kenne nur grenzwertregeln, also wenn ich lim (a/b) bestimmen möchte, wäre das ja limes(a)/lim(b), nur lim(1) = 1, aber lim (x²-1) = 0, oder? aber das ist ja auch nicht definiert. muss da nicht eigentlich -unendlich rauskommen? weil im zähler der grenzwert 1 ist und im nenner an 0 angenähert wird, das aber nie erreicht, sondern immer ein wenih kleiner als 0 ist? wie genau berechnet man denn den grenzwert davon?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Fr 28.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Genau das ist die Idee: fuer x gegen 0 wird dein f(x) beliebig gross.
bei x=0 ist f(x) nicht definiert. Nun kann man manchmal doch einen Wert bei x=0 zuweisen, dann kann die fkt stetig werden.
[mm] Beispiel:f(x)=\bruch{x^4-1}{x^2-1} [/mm] ist in x=1 und x=-1 nicht definiert. Man kann aber stetig ergaenzen indem man festlegt
f(1)=2 f(-1)=2
bei deiner fkt. musst du nun zeigen, dass man durch kein [mm] r\in\IR [/mm] mit f(1)=r die fkt stetig ergaenzen kann. du zeigst einfach, dass fuer ein beliebiges festes r immer eine Umgebung von 1 gibt, so dass |(f(x)-r)|> 1 egal wie klein man |x-1| macht.
wenn ihr folgenstetigkeit macht konstruier ne Folge [mm] x_n [/mm] die gegen 1 laeuft aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)>r [/mm] fuer alle endlichen r.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 28.11.2008 | | Autor: | katrin24 |
hallo, ich verstehe leider überhaupt nicht, was du meinst. folgen hatten wir noch gar nicht. und wie kann die folge gegen 1 laufen und dann größer sein als alle r? müsste doch gegen unendlich laufen. und dann, was mache ich damit? ich begreife das einfach kein bisschen.
und was ist mit der sache mit dem grenzwert?
kann ich nicht einfach den grenzwert von f(x) = 1/(x²-1) berechnen? wie geht das?
es wäre toll, wenn du noch mal antworten könntest.-.. ich fühl mich total blöd.
|
|
|
| |
|
> hallo, ich verstehe leider überhaupt nicht, was du meinst.
> folgen hatten wir noch gar nicht.
Hallo,
vielleicht solltest Du Dein Profil den tatsächlichen Gegebenheiten anpassen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 28.11.2008 | | Autor: | katrin24 |
das sind die tatsächlichen gegebenheiten, ich kann auch nichts dafür, wenn ich das alles nicht kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Fr 28.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Angela meinte wahrscheinlich das:
"Math. Background: Mathe-Student im Hauptstudium"
Wenn das so wäre, müßtest Du Dich mit Folgen bestens auskennen
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Fr 28.11.2008 | | Autor: | katrin24 |
das heißt nicht, dass ich mich mit grenzwerten von folgen auskenne - das kommt erst als nächstes. und bestens sowieso schon einmal nicht, ich studiere nämlich eigentlich mathe auf grundschullehramt. was wir hier machen müssen, hat damit nichts mehr zu tun.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Fr 28.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Katrin
Wenn ihr ne Aufgabe zur Stetigkeit habt, musst du doch auch eure Definition von stetigkeit wissen. Schreib die doch mal auf. Dann machen wir weiter. Wenn nicht genau klar ist, was Stetigkeit ist, kann man auch Unstetigkeit nicht zeigen.
Dein Profil: Mathe im Hauptstudium heisst fuer die meisten: man hat das vordiplom hinter sich und weiss deshalb ne menge ueber Analysis.
Grundschulstudium kenn ich nicht so gut. vielleicht sagst du, was ihr grad in der Vorlesung macht, zu der die Aufgabe gehoert? dann koennen wir besser helfen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
hallo leduart,
stetigkeit haben wir so definiert: für alle s existiert ein r, so dass, wenn der betrag von [mm] x_0 [/mm] - x kleiner als r ist, daraus folgt, dass der betrag von [mm] f(x_0) [/mm] - f(x) kleiner als s ist...
das mit der stetigen ergänzung verstehe ich nicht, ich war aber auch krank, als das eingeführt wurde, deswegen fehlt mir der totale überblick. ich habe daraus geschlossen, dass man, wenn man den grenzwert berechnet bzw. rauskommt, dass es keinen gibt, schon bewiesen hat, dass es keine stetige ergänzung gibt.
es würde mir sehr helfen, wenn du mir vielleicht erklären könntest, wie man hier den grenzwert berechnet!
vielen dank!
katrin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 So 30.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
