stetige fkt. und abg. mengen.. < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Sa 03.05.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | f:(M,d) -> (M~,d~) sei Abb. zw. metr. Räumen.
Beweisen oder widerlegen sie:
a)f ist genau dann stetig, wenn Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind.
b)Ist f stetig, so sind die Bilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen.
c)Ist f stetig, so sind die Urbilder von komapkten Mengen wieder kompakt. |
bei a hab ich die rückrichtung schonmal so gemacht (ich schreib nur eben die idee hin, formal alles korrekt zu machen würd mich bissle aufhalten jetz ^^)
also:
x aus M, U sei epsilon-Umgebung um f(x). Umgebung enthält offene teilmenge O mit f(x) [mm] \in [/mm] O. M~ \ O ist abg und f^(-1)(M~\ O) ist abg. in M. Komplement zu f-1(M~ \ O) ist f-1(O) und das is offen in M. somit ist f-1(O) umgebung um x, welche in U(f(x)) abg. wird. somit ist f stetig.
wie die andere richtung geht weiß ich leider net. da ich nicht weiß, ob wir uns auf den satz beziehen können, dass ne st. abbildung abg. mengen auf abg. mengen abbildet oder ob wir das beweisen müssen. falls wir das beweisen müssen weiß ich jetz net wie ich aus der stetigkeit sowas folgen kann.
wie kann man b und c beweisen? geht das einzig und allein über eine annahme und die muss dann bewiesen oder widerlegt werden oder wie geht man dabei vor?
für mich würde egtl. b aus a folgen, zu c hab ich leider keinen plan :-(
wenn mir einer da helfen könnte wärs gut ^^
greetz
ben
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hey, die gleichen fragen stehen auch auf meinem aufgabenzettel ;) uni münster?
zu a) die treppenfunktion ist ein gegenbeispiel
zu b)müsstet ihr in der vorlesung gemacht haben... folge definieren, epsilon-delta kriterium
zu c) sinusfunktion als gegenspiel nehmen...
hoffe das hilft... sitze da gerade selber dran :P
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 So 04.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> f:(M,d) -> (M~,d~) sei Abb. zw. metr. Räumen.
> Beweisen oder widerlegen sie:
> a)f ist genau dann stetig, wenn Urbilder abgeschlossener
> Mengen abgeschlossen sind.
> b)Ist f stetig, so sind die Bilder abgeschlossener Mengen
> abgeschlossen.
> c)Ist f stetig, so sind die Urbilder von komapkten Mengen
> wieder kompakt.
> bei a hab ich die rückrichtung schonmal so gemacht (ich
> schreib nur eben die idee hin, formal alles korrekt zu
> machen würd mich bissle aufhalten jetz ^^)
Es wäre aber gut, wenn du es tun würdest. Was du aufgeschrieben hast, ist zum Teil missverständlich.
> also:
> x aus M, U sei epsilon-Umgebung um f(x). Umgebung enthält
> offene teilmenge O mit f(x) [mm]\in[/mm] O.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> M~ \ O ist abg und f^(-1)(M~\ O) ist abg. in M.
Ist das eine Folgerung oder Voraussetzung? Ich vermute, die Voraussetzung.
> Komplement zu f-1(M~ \ O) ist
> f-1(O) und das is offen in M.
> somit ist f-1(O) umgebung um
> x, welche in U(f(x)) abg. wird.
> somit ist f stetig.
Hm, das Problem ist, dass du die Aussage für eine offene Menge gezeigt hast. f ist erst dann stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist. Du musst deine Aussage verallgemeinern.
> wie die andere richtung geht weiß ich leider net.
Du könntest deine Argumentation von eben umkehren.
> wie kann man b und c beweisen? geht das einzig und allein
> über eine annahme und die muss dann bewiesen oder widerlegt
> werden oder wie geht man dabei vor?
>
> für mich würde egtl. b aus a folgen,
Das ist nicht richtig; wie Olllollol schon schrieb, ist eine Treppenfunktion ein Gegenbeispiel. (er hat nur a und b verwechselt).
> zu c hab ich leider
> keinen plan :-(
Nimm dir ein einfaches Beispiel: die reellen Zahlen, da ist kompakt äquivalent zu "abgeschlossen und beschränkt".
Viele Grüße
Rainer
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