stetige verteilungen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:41 Mi 10.06.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | In einer Getränkefabrik werden 1-Liter-Flaschen eines Getränkes angefertigt. Dabei sei X die zufällig in einer Flasche eingefüllte Getränkemenge. Die Erfahrungswerte besagen, dass P(X<0,97)=0,04 und P(X>1,03)=0,03.
1. Bestimme die Parameter [mm] \mu [/mm] und [mm] \delta, [/mm] falls X [mm] \sim N(\mu, \delta²)
[/mm]
2. Bestimme a und b, falls [mm] X\sim [/mm] U(a,b). |
hallo,
1.also ich hab mir einfach die definition hergenommen und versucht, einzusetzen (leider find ich nicht alle zeichen im formeleditor, aber ich denke, ihr wisst, was gemeint ist):
[mm] P(X\le [/mm] 0,97)= [mm] \emptyset (\bruch{(0,097-\mu)}{\delta})=0,04
[/mm]
[mm] P(X>1,03)=1-P(X\le [/mm] 1,03)= 1- [mm] \emptyset (\bruch{(1,03-\mu)}{\delta})=0,03
[/mm]
Nun habe ich leider keinen Plan, wie ich das weiter ausrechnen soll! Muss ich das Integral bilden?
2. Und hier verstehe ich erst recht nichts! Ich weiß nur, dass [a,b] ein Intervall der stetig gleichmäßigen Verteilung sind--aber wie berechne ich dieses mit den gegebenen Größen?
Vielen Dank und tschüss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Mi 10.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin gigi,
du solltest dir mal den Begriff Prozentpunkt (oder Quantil) einer Verteilung erarbeiten.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mi 10.06.2009 | | Autor: | gigi |
gut, dann weiß ich also, dass 4% der Flaschen weniger Inhalt haben als 0,97 (96%mehr)und 3% haben mehr Inhalt als 1,03 (97% weniger). Man spricht dann von dem 0,04-QUantil oder dem 0,03-Quantil?
Das ganze sagt etwas aus über die Streuung der Werte, richti?
Aber was fange ich für meine Berechnung damit an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Mi 10.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> gut, dann weiß ich also, dass 4% der Flaschen weniger
> Inhalt haben als 0,97 (96%mehr)und 3% haben mehr Inhalt als
> 1,03 (97% weniger). Man spricht dann von dem 0,04-QUantil
oder 4%-Punkt
> oder dem 0,03-Quantil?
Nein, 97%-Quantil.
> Das ganze sagt etwas aus über die Streuung der Werte,
> richti?
Nicht nur: Ueber [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma^2$ [/mm] (\sigma) bei der Normalverteilung und ueber $a_$ und $b_$ bei der Gleichverteilung.
Grundsaetzlich berechnest du die Quantile [mm] $x_p$ [/mm] einer stetigen Verteilung gemaess [mm] $P(X\le x_p)=p=F(x_p)$, [/mm] also [mm] $x_p=F^{-1}(p)$. [/mm] Fuer die NV lautet der Ansatz
[mm] $\Phi\left(\dfrac{x_p-\mu}{\sigma}\right)=p$ [/mm] (\Phi)
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mi 10.06.2009 | | Autor: | gigi |
aber in ebendiesen Ansatz habe ich doch oben bereits eingesetzt oder nicht?!
Ich versteh nur nicht, wie ich dann [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] auflöse?! Ich find dazu leider auch nirgendwo eine Beispielaufgabe: man hat meist immer [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] gegeben, soll dann die Wahrscheinlichkeiten berechnen für einen gewissen Wert.
Danke nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mi 10.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> aber in ebendiesen Ansatz habe ich doch oben bereits
> eingesetzt oder nicht?!
Ja, aber es geht darum, das mal grundsaetzlich zu loesen.
> Ich versteh nur nicht, wie ich dann [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm]
> auflöse?!
$ [mm] \Phi\left(\dfrac{x_p-\mu}{\sigma}\right)=p \iff \dfrac{x_p-\mu}{\sigma}=\Phi^{-1}(p)\iff x_p=\mu+\sigma\Phi^{-1}(p)$.
[/mm]
Du brauchst also nur noch die Quantile [mm] $z_p=\Phi^{-1}(p)$ [/mm] der Standardnormalverteilung aufzusuchen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mi 10.06.2009 | | Autor: | gigi |
> > aber in ebendiesen Ansatz habe ich doch oben bereits
> > eingesetzt oder nicht?!
>
> Ja, aber es geht darum, das mal grundsaetzlich zu loesen.
>
> > Ich versteh nur nicht, wie ich dann [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm]
> > auflöse?!
>
> [mm]\Phi\left(\dfrac{x_p-\mu}{\sigma}\right)=p \iff \dfrac{x_p-\mu}{\sigma}=\Phi^{-1}(p)\iff x_p=\mu+\sigma\Phi^{-1}(p)[/mm].
>
> Du brauchst also nur noch die Quantile [mm]z_p=\Phi^{-1}(p)[/mm] der
> Standardnormalverteilung aufzusuchen.
>
> vg Luis
>
>
hast du irgendwo vielleicht mal ein Beispiel zum Verständnis, wo ich sehen kann, wie man das ganz konkret mit zahlen rechnet? ich habe dieses [mm] z_p=\Phi^{-1}(p) [/mm] nämlich noch nie gesehen und kann absolut nichts damit anfangen!
>
gruß und danke
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mi 10.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> hast du irgendwo vielleicht mal ein Beispiel zum
> Verständnis, wo ich sehen kann, wie man das ganz konkret
> mit zahlen rechnet? ich habe dieses [mm]z_p=\Phi^{-1}(p)[/mm]
> nämlich noch nie gesehen und kann absolut nichts damit
> anfangen!
Sieh dir z.B. die Folien 13-16 ![[]](/images/popup.gif) hier an.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mi 10.06.2009 | | Autor: | gigi |
wie berechnet man auf folie 15 denn [mm] z_{0,025}?? [/mm] und ich verstehe nicht ganz, wann ich von einer normalverteilung in eine standard-normalverteilung übergehen muss. ist das bei meiner aufgabe denn auch erforderlich?
gruß und tschüss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mi 10.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> wie berechnet man auf folie 15 denn [mm]z_{0,025}??[/mm]
> Steht auf Folie 13und ich
> verstehe nicht ganz, wann ich von einer normalverteilung in
> eine standard-normalverteilung übergehen muss.
Wieviele Normalverteilungen soll man denn tabellieren? Man ist froh, dass
man alle Normalverteilung auf eine einzige zurueckfuehren kann.
> ist das bei
> meiner aufgabe denn auch erforderlich?
Ja.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:02 Do 11.06.2009 | | Autor: | gigi |
willst du damit also sagen, dass [mm] z_{0,025} [/mm] nicht "berechnet", sonder aus der Tabelle abgelesen wird...und ich das für meine aufgabe analog tun muss?
HAb nur leider keinen Durchblick, wie ich da was ablesen muss....Müsste ich in meinem Beispiel nach [mm] \Phi [/mm] (0,97) schauen und das ist gleich 0,834? Bzw. 1- [mm] \Phi(1,03)=1-0,8485=0,1515. [/mm] Oder muss ich mit 0,04 und 0,97 arbeiten und lese 0,516 bzw 0,834 ab?
Ich bin sehr dankbar für jede Erklärung!!
Mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Do 11.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> willst du damit also sagen, dass [mm]z_{0,025}[/mm] nicht
> "berechnet", sonder aus der Tabelle abgelesen wird...und
> ich das für meine aufgabe analog tun muss?
Genau.
>
> HAb nur leider keinen Durchblick, wie ich da was ablesen
> muss....Müsste ich in meinem Beispiel nach [mm]\Phi[/mm] (0,97)
> schauen und das ist gleich 0,834? Bzw. 1-
> [mm]\Phi(1,03)=1-0,8485=0,1515.[/mm] Oder muss ich mit 0,04 und 0,97
> arbeiten und lese 0,516 bzw 0,834 ab?
Nein, du braucht [mm] $z_{0.04}$ [/mm] und [mm] $z_{0.97}$ [/mm] und vor allem eine vernuenftige Tabelle wie die hier. Demnach ist [mm] $z_{0.04}=-1.7507$ [/mm] und [mm] $z_{0.97}=1.8808$.
[/mm]
Im Rahmen welcher Veranstaltung wurde dir diese Aufgabe gestellt? Gibt der Lehrer/Dozent keine Erlaeuterungen/Unterlagen wie Tabellen? Sehr seltsam das ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Do 11.06.2009 | | Autor: | gigi |
also das einzigste, was ich in meinem Skript der Stochastik-Vorlesung dazu finden kann, ist die Formel, in welche ich ja oben bereits eingesetzt habe, dann aber ja vor dem Problem mit [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] stehe! Im Tafelwerk ist eine Tabelle zur N(0,1)-Verteilung--dort sind jedoch x und [mm] \Phi [/mm] (x) vermerkt--Ich dachte mir, wenn ich [mm] \mu=0 [/mm] und [mm] \sigma=1 [/mm] habe, dann bleibt ja stehen [mm] \Phi(0,97)--schaue [/mm] ich da in der Tabelle, erhalte ich 0,834, was ja offenbar falsch ist. Wieso kann ich so nicht vorgehen, wozu benutze ich diese Tabelle dann?
Nehmen wir nun also [mm] z_{0,04}=-1,7507 [/mm] als QUantil der Standardnormalverteilung. Was kann ich mir inhaltlich unter der Zahl -1,7507 vorstellen? Für die Umrechnung zur NV stelle ich dann folgende Gleichung auf:
[mm] x_{0,04}=\mu +\sigma [/mm] (-1,7507)
Wie mache ich denn da weiter?
Besten Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Do 11.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> Wie mache ich denn da weiter?
>
Du hast *zwei* Gleichungen $ [mm] x_{0.04}=\mu -1.7507\sigma=0.97$ [/mm] und
[mm] $x_{0.97}=\mu +1.8808\sigma=1.03$ [/mm] und *zwei* Unbekannte: [mm] $\mu,\sigma$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Do 11.06.2009 | | Autor: | gigi |
Ja, klar, die 0,97 und die 1,03 hab ich ja auch noch...Danke.
Und kannst du mir bitte noch meine obige Frage zu den verschiedenen TAbellen und deren Verwendungszweck beantworten?
Und alles, was ich in meinem Skript zu U(a,b) finde, hab ich ja bereits oben angemerkt--nicht viel also! Fällt dir da eine gute Erklärung oder Seite ein, damit ich mir was darunter vorstellen kann? Ich habe zB auch gelesen, dass die Dichte außerhalb der Intervallgrenzen =0 ist--wie stelle ich mir die Dichte vor? Und welche Formeln verwende ich hier zum Rechnen?
Tausend Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Do 11.06.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> Und alles, was ich in meinem Skript zu U(a,b) finde, hab
> ich ja bereits oben angemerkt--nicht viel also! Fällt dir
> da eine gute Erklärung oder Seite ein, damit ich mir was
> darunter vorstellen kann?
Na, hier z.B. Stelle die Gleichung [mm] $F(x_p)=p$ [/mm] auf und loese wie oben nach [mm] $x_p$ [/mm] auf.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 11.06.2009 | | Autor: | gigi |
Wieso denn nach [mm] x_p [/mm] auflösen, das ist mir doch gegeben, oder? Hier sind doch a,b gesucht?!
Also ich habe folgendes LGS:
(I): 0,04= [mm] \bruch{0,97-a}{b-a}
[/mm]
(II): 0,97= [mm] \bruch{1,03-a}{b-a}
[/mm]
Richtig oder falsch aufgestellt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Do 11.06.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> Richtig oder falsch aufgestellt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:34 Do 11.06.2009 | | Autor: | gigi |
na das ist ja mal was!
Also a=0,9674 und b=1,0319. Nun würde ich das ganze gern noch interpretieren! Also bei X~U ist die Wahrscheinlichkeit (wofür genau???) im Intervall [a,b] immer gleich.....und das bedeutet....???
Und bei X~N ist [mm] \mu \approx [/mm] 1--man kann im Durchschnitt als Flaschen mit 1l Inhalt erwarten, oder? Und [mm] \sigma=0,0165 [/mm] --also weichen die Werte nur sehr wenig von 1l Inhalt ab, oder?
Wär dankbar über eine Zusammenfassung/Interpretation der Aufgabe--damit man hier nicht "stur" mit Zahlen rechnet...
Besten Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 15.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Do 11.06.2009 | | Autor: | luis52 |
> also das einzigste, was ich in meinem Skript der
> Stochastik-Vorlesung dazu finden kann, ist die Formel, in
> welche ich ja oben bereits eingesetzt habe, dann aber ja
> vor dem Problem mit [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm] stehe! Im Tafelwerk ist
> eine Tabelle zur N(0,1)-Verteilung--dort sind jedoch x und
> [mm]\Phi[/mm] (x) vermerkt--Ich dachte mir, wenn ich [mm]\mu=0[/mm] und
> [mm]\sigma=1[/mm] habe, dann bleibt ja stehen [mm]\Phi(0,97)--schaue[/mm] ich
> da in der Tabelle, erhalte ich 0,834, was ja offenbar
> falsch ist. Wieso kann ich so nicht vorgehen, wozu benutze
> ich diese Tabelle dann?
*Diese* Tabelle nutzt du, wenn $x_$ gegeben und [mm] $\Phi(x)$ [/mm] zu bestimmen ist.
In anderen Faellen (wie im vorliegenden) ist [mm] $p=P(X\le x)=\Phi((x-\mu)/\sigma)$ [/mm] vorgegeben und $x_$ gesucht.
vg Luis
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