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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Mo 21.08.2006 | | Autor: | kelviser |
| Aufgabe | | gucke ob man die funktion [mm] e^{-6/x^2} [/mm] so ergänzen kann, dass man als ergebnis eine reelle stetige funktion erhält. |
leider weiss ich hier gar nicht drüber, bitte um HILFE
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Weißt du denn, was Stetigkeit bedeutet?
Die Funktion sollte sich von links und von rechts dem Funktionswert an einer untersuchten Stelle als Grenzwert nähern.
Wenn eine Funktion an einem Punkt nicht stetig ist, kann man schauen, ob man einen Funktionswert angegen kann, sodaß die Funktion stetig wird.
[mm] $f(x)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } x<0 \\ 1, & \mbox{für } x>0 \end{cases}$
[/mm]
ist nicht stetig bei x=0, denn wenn du dich von links x=0 näherst, ist der Funktionswert immer -1, und von rechts ist er immer +1. Egal wie nahe du dich x=0 näherst, die Funktionswerte werden nicht gleich. Du kannst hier nicht stetig ergänzen!
[mm] $f(x)=\bruch{x}{x}$
[/mm]
ist auch nicht stetig, weil x=0 nicht erlaubt ist. Aber, wenn du dich von links und rechts näherst, läuft f(x) in beiden Fällen gegen 0. Du kannst also stetig ergänzen:
[mm] $f(x)=\begin{cases} \bruch{x}{x}, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}$
[/mm]
Jetzt zu deinem Fall. x=0 darfst du offensichtlich nicht einsetzen.
Aber für x->0 strebt die Funktion selbst ja auch gegen 0, weil die EXP-Funktion immer größere, positive Werte als Argument bekommt.
Dies gilt, egal, ob du von links oder rechts gegen 0 wanderst. Demnach kannst du auch hier f(0)=0 ergänzen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mo 21.08.2006 | | Autor: | kelviser |
ja klar.... danke aber trotzdem für die ausführliche beschreibung.
jetzt habe ich es auch hier verstamden, denn signum und so hatte ich schon gewusst,
nur weis ich nicht, was ich jetzt als antwort in mein heft schreiben soll?
reicht es denn, wenn ich die letzten sätze schreibe????
reicht es als beweis, und ist damit auch der bereich der stetigen ergänzung angedeckt? wie erläutere, berechne ich das???
es wäre nett, wenn du diese stetige ergänzung und die bedingung fachlich vielleicht beschreiben würdest, natürlich wenn du zeit und lust hast...... sonst DANKE
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Du kannst schreiben, daß gilt:
[mm] $D=\IR \setminus \{0\}$ [/mm] (Definitionsbereich)
Für die Definitionslücke gilt:
[mm] $\lim_{x \mapsto 0_-}f(x)=\lim_{x \mapsto 0_+}f(x)=0$. [/mm] (Grund siehe oben)
Daher kann f(x) mit f(0)=0 stetig ergänzt werden.
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