stetigkeit < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 So 03.02.2008 | | Autor: | CH22 |
| Aufgabe | Sei f : [0; 1]- R stetig mit f(0) = f(1). Zeigen Sie, dass ein x element [0; 0,5
]
existiert mit f(x) = f(x + 0,5
). |
Hallo,
ich weiß leider gar nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Könnte mir jemand vielleicht ein paar Tipps geben
wäre nett
viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 So 03.02.2008 | | Autor: | abakus |
Also f(0)=f(1) gilt. Wäre auch f(0)=f(0,5), dann ist wäre die Behauptung schon erfüllt. So schön haben wir es leider nicht, also nehmen wir mal f(0)<f(0,5) an. (Für die Annahme f(0)>f(0,5) funktioniert das Ganze analog.) Jetzt vergleichen wir die Funktionswerte f(0+h) und f(0,5+h).
Für h=0 gilt f(0+h)<f(0,5+h)
Was passiert, wenn wir den Wert h langsam wachsen lassen (von Null bis 0,5)? Zwischendrin kann es sicher mit den Funktionswerten auf und ab gehen, aber bei h=0,5 muss (nach unserer Annahme, dass f(0,5)>f(0) und damit auch f(0,5)>f(1) gilt) eben f(0+h)>f(0,5+h) gelten.
Da die Funktion f stetig ist kann der Übergang von f(0+h)<f(0,5+h) zu f(0+h)>f(0,5+h) nicht sprunghaft, sondern nur über ein Zwischenstadium f(0+h)=f(0,5+h) erfolgen.
Ich weiß nicht, welche konkreten Sätze im Moment euer Unterrichtsgegenstand sind. Es ist lediglich eine plausible Erklärung. Mach was draus.
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