stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mo 13.06.2005 | | Autor: | nas181 |
hi,vielleit kann jemand mir helfen!!!
ich habe echt keine richtige ahnung in stetigkeit??
die funktion f: [mm] \IR \to \IR,und [/mm] g : [mm] \IR \to \IR [/mm] seien stetig.zeigen sie dass dann auch die funktion f+g und max{f,g} stetig sind.
hinweis:zum beweis der stetigkeit von max{f,g} per folgenkonvergenz kann man anstelle des limes zunächst den limes suoerior und den limes inferior getrennt betrachten.
vielen dank im voraus!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Di 14.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo nas181!
Zum ersten Teil:
Sei [mm] $x_0 \in [/mm] D$ (dem gemeinsamen Definitionsbereich von $f$ und $g$) und [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig gewählt. Dann gibt es nach Voraussetzung [mm] $\delta_1>0$ [/mm] und [mm] $\delta_2>0$ [/mm] mit
[mm] $|f(x)-f(x_0)|< \frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $|x-x_0|<\delta_1$
[/mm]
und
[mm] $|g(x)-g(x_0)| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $|x-x_0| <\delta_2$.
[/mm]
Dann gilt für alle $x [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $|x-x_0|<\delta:=\min(\delta_1,\delta_2)$:
[/mm]
$|(f+g)(x) [mm] -(f+g)(x_0)| [/mm] = |f(x) + g(x) - [mm] f(x_0) [/mm] - [mm] g(x_0)| \le \ldots$
[/mm]
Hast du eine Idee, wie es weitergehen könnte?
Zur zweiten Aufgabe:
Dort würde ich nicht gemäß des Hinweises vorgehen, sondern
[mm] $\max(f,g) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] (f+g+|f-g|)$
und den ersten Aufgabenteil verwenden. 
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Di 14.06.2005 | | Autor: | nas181 |
hi!!!
im ersten teil ich weiss schon wie es weiter geht!!!danke
im zweiten teil:ich glaube da betrag von f-g=1)f-g oder
2)g-f
und laut ersten teil f+g ist stetig dann ist 1/2(f+g+f-g)=f (f > g )
und 1/2(f+g+g-f)=g (g > f)
dann sollte max {f,g} auch stetig sein...
ist das richtig so formuöiert wenn nicht ich bitte un erklärung!!!
vielen dank!!!
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