stetigkeit, Differenzierbarkei < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Mi 16.01.2013 | | Autor: | ETimo |
| Aufgabe | Untersuche ob die folgende Funktion in 0 stetig ist , in 0 diff bar ist
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
xsin(\bruch {1}{x}), & \mbox{wenn }x\mbox{ ungleich 0} \\
0, & \mbox{wenn }x\mbox{ gleich 0}
\end{matrix}\right. [/mm] |
Mein Ansatz dazu wäre :
(Stetigkeit in 0)
Angenommen f sei stetig in 0. Das bedeutet:
[mm] \lim_{x \to 0}f(x)=f(0)
[/mm]
bzw. [mm] \lim_{x \to 0} xsin(\bruch{1}{x})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x\rightarrow [/mm] 0 und [mm] (\bruch{1}{x}) \rightarrow (\bruch{1}{0})= \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0*sin(\infty)=0 [/mm]
Die Funktion ist in 0 stetig
(Diff barkeit in 0)
Es soll gelten :
[mm] \lim_{x \to 0} (\bruch{f(x)-f(0)}{x})=0
[/mm]
eingesetzt:
[mm] \lim_{x \to 0} (\bruch{xsin(\bruch{1}{x})-0}{x})
[/mm]
[mm] \rightarrow sin(\bruch{1}{0}) \rightarrow \not= [/mm] 0
die Funktion ist nicht Diff bar.
Wäre euch sehr verbunden wenn ihr mal drüber schauen könntet ob das so seine Richtigkeit hat
mfg Timo
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Hallo ETimo,
> Untersuche ob die folgende Funktion in 0 stetig ist , in 0
> diff bar ist
>
>
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix} xsin(\bruch {1}{x}), & \mbox{wenn }x\mbox{ ungleich 0} \\
0, & \mbox{wenn }x\mbox{ gleich 0} \end{matrix}\right.[/mm]
>
> Mein Ansatz dazu wäre :
>
> (Stetigkeit in 0)
> Angenommen f sei stetig in 0. Das bedeutet:
> [mm]\lim_{x \to 0}f(x)=f(0)[/mm]
> bzw. [mm]\lim_{x \to 0} xsin(\bruch{1}{x})=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x\rightarrow[/mm] 0 und [mm](\bruch{1}{x}) \rightarrow (\bruch{1}{0})= \infty[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 0*sin(\infty)=0[/mm]
> Die Funktion ist in 0 stetig
Du folgerst aus dem was du zeigen sollst das zu Zeigende 
Das geht nicht.
Zeige die Konvergenz so:
[mm] $0\le |x\cdot{}\sin(1/x)|=|x|\cdot{}|\sin(1/x)|\le [/mm] |x| \ [mm] \longrightarrow [/mm] 0$ für [mm] $x\to [/mm] 0$ (Sandwichlemma)
>
> (Diff barkeit in 0)
> Es soll gelten :
> [mm]\lim_{x \to 0} (\bruch{f(x)-f(0)}{x})=0[/mm]
>
> eingesetzt:
> [mm]\lim_{x \to 0} (\bruch{xsin(\bruch{1}{x})-0}{x})[/mm]
>
> [mm]\rightarrow sin(\bruch{1}{0}) \rightarrow \not=[/mm] 0
>
> die Funktion ist nicht Diff bar.
Stimmt, aber den letzten Schritt solltest du m.E. begründen.
Denke an das Folgenkriterium.
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> Wäre euch sehr verbunden wenn ihr mal drüber schauen
> könntet ob das so seine Richtigkeit hat
>
> mfg Timo
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Mi 16.01.2013 | | Autor: | ETimo |
1.ok das "sandwichlemma " hatten wir in der form noch nicht aber es ist gut zu wissen das man es so machen kann
2.dann werd ich am schluss noch ein wenig rumbasteln aber danke für diese schnelle antwort
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mi 16.01.2013 | | Autor: | ETimo |
eine spezielle frage hab ich noch :
mein Studienkollege und ich diskutieren seit geraumer zeit :
folgt die stetigkeit aus der diffbarkeit oder andersherum?
dieses thema wurd halt noch nciht im studium diskutiert
wäre super wenn mir das jemand beantworten könnte
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Hallo nochmal,
> eine spezielle frage hab ich noch :
> mein Studienkollege und ich diskutieren seit geraumer zeit
> :
> folgt die stetigkeit aus der diffbarkeit oder
> andersherum?
Aus Diffbarkeit folgt Stetigkeit.
Dass die andere Richtung nicht gilt, zeigt diese Aufgabe doch ...
Du kanns ja mal versuchen, zu beweisen, dass aus Diffbarkeit Stetigkeit folgt ...
> dieses thema wurd halt noch nciht im studium diskutiert
> wäre super wenn mir das jemand beantworten könnte
Gruß
schachuzipus
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