stetigkeit beschränktheit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Fr 29.05.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute,
ich hab gelesen, dass für lineare funktionen stetigkeit und beschränktheit äquivalent sein sollen. hab ich da was falsch verstanden?
wenn ich zB f(x)=x habe. die funktion ist offensichtlich linear und auch stetig aber keineswegs beschränkt.
wisst ihr was gemeint gewesen sein könnte? habe den text leider nicht mehr vorliegen :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Fr 29.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
so was allgemeines ist doch recht sinnlos. lineare fkt sind stetig. fertig. irgendwas hast du da falsch gelesen, und nach was zu fragen, was man nicht mehr zitieren kann ist recht sinnlos.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 29.05.2009 | | Autor: | AriR |
http://de.wikipedia.org/wiki/Linearer_Operator
ich denke das hat sich eher auf sowas bezogen.
im fall endlich dimensionaler VR V,W müsste somit jede abbildung f von V nach W beschränkt sein oder?
man bildet die normen der Basis [mm] ||v_1||,...,||v_n|| [/mm] von V und die entsprechenden Normen der bilder der Basis [mm] ||f(v_1)||,...,||f(v_n)||. [/mm] guckt welches [mm] \bruch{||f(v_i)||}{||v_i||} [/mm] betragsmäßig am größten ist, diese reelle zahl entspricht ||f||, ist kleiner als [mm] \infty [/mm] und somit beschränkt oder?
falls der lin.operator unbeschränkt ist, würde das dann doch nur für unendlich dimensionale basen gelten oder?
seien wieder V,W VR und sei [mm] v_1,v_2,.... [/mm] eine basis von V und f ein lin.operator
das würde doch heißen [mm] \forall x\in\IR \exists i\in\IN [/mm] : [mm] \bruch{||f(v_i)||}{||v_i||} [/mm] >x
oder?
warum kann man dann draus schließen, dass die funktion f nicht mehr stetig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
schau' mal ![[]](/images/popup.gif) hier in Definition 28.10 und Bemerkung 28.11.
Die Funktion [mm] $f(x)=x\,$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] ist demnach sowohl stetig als auch beschränkt [mm] ($f\,$ [/mm] bildet von [mm] $(\IR,\,|.|)$ [/mm] nach [mm] $(\IR,|.|)$ [/mm] ab); Beschränktheit ist im Sinne von Definition 28.10 zu verstehen. Ich werde es Dir auch gerne zeigen:
Ist $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|x| [mm] \le 1\,,$ [/mm] so folgt $|f(x)|=|x| [mm] \le [/mm] 1$ und damit [mm] $\blue{\|f\| \le 1}\,.$ [/mm] Wegen $|1|=1 [mm] \le [/mm] 1$ muss zudem $|f(1)| [mm] \le \|f\|$ [/mm] gelten, daher gilt $1=|f(1)| [mm] \le \|f\|$ [/mm] und - wie oben gesehen - auch [mm] $\blue{\|f\| \le 1}\,.$ [/mm] Das liefert zusammen [mm] $\|f\|=1\,,$ [/mm] woraus folgt, dass [mm] $f\,$ [/mm] beschränkt ist.
P.S.:
Allgemeiner:
Sei $f: E [mm] \to [/mm] F$ eine lineare Abbildung zwischen den normierten Räumen [mm] $E\,$ [/mm] und [mm] $F\,$ [/mm] (genauer: [mm] $(E,\|.\|_E)$ [/mm] und [mm] $(F,\|.\|_F)$).
[/mm]
1. Wir zeigen: Ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig, so ist [mm] $f\,$ [/mm] auch beschränkt.
Sei also [mm] $f\,$ [/mm] stetig. Angenommen, [mm] $f\,$ [/mm] wäre nicht beschränkt. Dann existiert eine Folge [mm] $(x_k)_k$ [/mm] in $E$ - mit [mm] $\|x_k\|_E \le [/mm] 1$ für alle [mm] $k\,$ [/mm] - so dass [mm] $\|f(x_k)\|_F \to \infty\,.$ [/mm] O.E. kannst Du nun annehmen, dass [mm] $\|f(x_k)\|_F \ge [/mm] k$ für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] gelte (andernfalls kann man eine entsprechende Teilfolge von [mm] $(x_k)_k$ [/mm] konstruieren, die dieses erfüllt). Betrachte nun die Folge [mm] $(y_k)_k$ [/mm] definiert durch [mm] $y_k:=\frac{1}{\sqrt{k}}*x_k$ [/mm] ($k [mm] \in \IN$).
[/mm]
Dann gilt [mm] $y_k \to [/mm] 0$ (Warum?). Zudem gilt wegen der Linearität von [mm] $f\,,$ [/mm] dass
[mm] $$(\star)\;\;\;\|f(y_k)\|_F=\frac{1}{\sqrt{k}}\|f(x_k)\|_F \ge \frac{k}{\sqrt{k}}=\sqrt{k}\,.$$
[/mm]
Daher gilt also [mm] $y_k \to 0\,,$ [/mm] aber [mm] $f(y_k) \to \infty\,.$ [/mm] Weil [mm] $f\,$ [/mm] linear ist, muss [mm] $f(0)=0\,$ [/mm] gelten. Weil [mm] $f\,$ [/mm] stetig ist, ist [mm] $f\,$ [/mm] insbesondere stetig in [mm] $x_0=0\,,$ [/mm] also müsste auch - wegen der Stetigkeit der Norm - [mm] $\|f(y_k)\|_F \to [/mm] 0$ gelten. Dies steht aber im Widerspruch zu [mm] $(\star)\,,$ [/mm] also muss die Annahme, dass [mm] $f\,$ [/mm] nicht beschränkt sei, verworfen werden.
2. Wir zeigen nun, dass die Beschränktheit auch die Stetigkeit impliziert:
Sei also [mm] $f\,$ [/mm] nun beschränkt (d.h. [mm] $\|f\|=\text{sup}\{\|f(x)\|_F:\;\;x \in E\;\text{ mit }\|x\|_E \le 1\}\;\; <\;\; \infty$). [/mm]
Ist [mm] $(x_k)_k$ [/mm] eine Folge in [mm] $E\,$ [/mm] mit [mm] $x_k \to [/mm] x [mm] \in E\,,$ [/mm] so betrachten wir zwei Fälle:
1. Fall: [mm] $x_k \to 0\,.$ [/mm] Ab einem gewissen [mm] $k_0$ [/mm] erfüllen dann alle [mm] $x_k\,,$ [/mm] dass [mm] $\|x_k\|_E \le 1\,,$ [/mm] also folgt [mm] $\blue{\|f(x_k)\|_F \le \|f\|*\|x_k\|_E}$ [/mm] für alle $k [mm] \ge k_0$ [/mm] (ist Dir die letzte Abschätzung klar?).
Das liefert wegen der Voraussetzung [mm] $\|f\| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] dann auch [mm] $\|f(x_k)\|_F \to [/mm] 0$ und damit [mm] $f(x_k) \to 0=f(0)\,.$
[/mm]
2. Fall:
Gelte [mm] $x_k \to [/mm] x [mm] \not=0\,.$ [/mm] Dann folgt wegen der Linearität von [mm] $f\,,$ [/mm] dass
[mm] $$\|f(x_k)-f(x)\|_F=\|f(x_k-x)\|_F\,,$$
[/mm]
wobei nun die Folge [mm] $(y_k)_k$, [/mm] definiert durch [mm] $y_k:=x_k-x\,,$ [/mm] gegen $0 [mm] \in [/mm] E$ konvergiert. Wegen des 1. Falls folgt daher
[mm] $$f(y_k) \to f(0)=0\,,$$
[/mm]
also [mm] $f(y_k)=f(x_k-x)=f(x_k)-f(x) \to 0\,,$ [/mm] bzw. m.a.W.: [mm] $f(x_k) \to f(x)\,.$ [/mm] Also ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $x\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:27 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> so was allgemeines ist doch recht sinnlos. lineare fkt
> sind stetig. fertig.
das ist leider i.a. falsch. In unendlich-dimensionalen Räumen gibt es durchaus lineare Funktionen, die nicht stetig sind (z.B. weil sie nicht beschränkt sind; wobei die Beschränktheit im Sinne der unten erwähnten Definition bzgl. der Operatornorm zu verstehen ist).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Di 02.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Sind X und Y normierte Räume und f:X [mm] \to [/mm] Y linear, so heißt f beschränkt, wenn
die Menge
f({ x [mm] \in [/mm] X: ||x|| [mm] \le [/mm] 1})
eine beschränkte Menge ist.
Dann gilt in der Tat:
f ist beschränkt [mm] \gdw [/mm] f ist stetig
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:04 Di 02.06.2009 | | Autor: | AriR |
was ist denn wenn man die allgemeine analytische beschränktheitsdefinition einer linearen funktion f möchte?
konstante lineare funktionen sind in ihrem bild ja durch obere und untere schranken beschränkt(f(x)=3 dann sind obere und untere schranke=3). existiert in der linearen algebra ein begriff für diese form der beschränktheit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Di 02.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> was ist denn wenn man die allgemeine analytische
> beschränktheitsdefinition einer linearen funktion f möchte?
> konstante lineare funktionen sind in ihrem bild ja durch
> obere und untere schranken beschränkt(f(x)=3 dann sind
> obere und untere schranke=3). existiert in der linearen
> algebra ein begriff für diese form der beschränktheit?
dann hast Du schon selber gesagt, dass dann Stetigkeit und Beschränktheit nicht äquivalent sind.
Btw.:
$$f: [mm] \IR \to \IR \text{ mit } [/mm] f(x):=3 [mm] \text{ für alle }x \in \IR$$
[/mm]
ist keine lineare Funktion, sondern eine affin-lineare. Wäre [mm] $f\,$ [/mm] linear, so müßte nämlich [mm] $f(0)=0\,$ [/mm] gelten! Du wirst leicht einsehen können:
Ist [mm] $f\,$ [/mm] linear und konstant, so ist [mm] $f=0\,,$ [/mm] d.h. [mm] $f\,$ [/mm] ist dann die Nullfunktion!
Also:
Bzgl. der oben erwähnten Definition der 'Beschränktheit' (bzgl. der Operatornorm) ist - bei linearen Funktionen - die Stetigkeit äquivalent zur Beschränktheit. Und warum die 'übliche Definition der Beschränktheit einer Funktion' hier nicht besonders hilfreich wäre, erkennst Du doch schon daran, dass lineare Funktionen Vektorräume auf Vektorräume abbilden (damit meine ich genauer: Ist $f: V [mm] \to [/mm] W$ eine [mm] $\IK$-lineare [/mm] Abbildung (mit einem Körper [mm] $\IK$) [/mm] zwischen den [mm] $\IK$-Vektorräumen $V,\,W$, [/mm] so ist $f(V)$ ein Unterraum von $W$). Und wenn $v [mm] \in [/mm] V$ mit $f(v) [mm] \not=0$ [/mm] Element eines [mm] $\IK$-Vektorraums [/mm] ist, dann ist bekanntlich auch [mm] $\lambda*v \in [/mm] V$ für jedes [mm] $\lambda \in \IK\,,$ [/mm] und wenn Du dann [mm] $\lambda \to \pm \infty$ [/mm] laufen lassen kannst... Naja, was passiert dann - für lineares $f: V [mm] \to [/mm] W$ - mit [mm] $\|f(\lambda*v)\|=\|\lambda*f(v)\|$ [/mm] (sofern [mm] $(W,\|.\|)$ [/mm] normiert ist)?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Mi 03.06.2009 | | Autor: | AriR |
was wäre denn, wenn ich in irgendeiner aufgabe eine funktion gegeben habe und zb auch noch weiter als voraussetzung gegeben ist, dass diese beschränkt ist durch x.
müsste ich dann erst überprüfen, ob es sich um eine lineare funktion oder um einer andere funktion handelt um zu wissen welche "beschränktheit" gemeint ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Mi 03.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> was wäre denn, wenn ich in irgendeiner aufgabe eine
> funktion gegeben habe und zb auch noch weiter als
> voraussetzung gegeben ist, dass diese beschränkt ist durch
> x. müsste ich dann erst überprüfen, ob es sich um eine lineare
> funktion oder um einer andere funktion handelt um zu wissen
> welche "beschränktheit" gemeint ist?
Das ist dann eigentlich immer aus dem Zusammenhang klar. Im Allgemeinen heißt beschränkt wirklich, dass das Bild beschränkt ist. Das was hier gefragt war nennt sich vornehm "beschränkter linearer Operator" und kommt wirklich erst bei unendlich-dimensionalen Vektorräumen zum Tragen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Do 04.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das ist dann eigentlich immer aus dem Zusammenhang klar. Im
> Allgemeinen heißt beschränkt wirklich, dass das Bild
> beschränkt ist. Das was hier gefragt war nennt sich vornehm
> "beschränkter linearer Operator" und kommt wirklich erst
> bei unendlich-dimensionalen Vektorräumen zum Tragen.
ergänzend:
Einen kurzen Einblick dazu kann man sich kurz bei Wiki verschaffen.
Gruß,
Marcel
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