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| Aufgabe | Für welche x aus den jeweiligen Definitionsbereichen sind diese Funktionen stetig?
[mm]\begin{array}{cccc}
f_1: & \IR & \to & \IR \\
& x & \mapsto & \begin{cases} 3x & \mbox{ für } x\ge 0 \\ 2x & \mbox{ für } x<0\end{cases}\end{array}[/mm]
[mm]\begin{array}{cccc}
f_2: & \IQ & \to & \IR \\
& x & \mapsto & \begin{cases} x+1 & \mbox{ für } x>\wurzel{2} \\ x-1 & \mbox{ für } x<\wurzel{2}\end{cases}\end{array}[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ein versuch zu f2 ,den ich zusammen mit jemanden gemacht habe aber nicht
verstehe,wobei auch unvollständig ist:
sei x [mm] \in \IQ [/mm] und x(n) ,n [mm] \in \IN [/mm] eine folge rationaler funktionen,die gegen x konvergiert.für [mm] \varepsilon [/mm] := |x- [mm] \wurzel{2}| [/mm] > 0 gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] ,sodass
|x(n)-x| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N.falls x > [mm] \wurzel{2} [/mm] ,ist x(n) > [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N ,also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x(n)) = ? = oder [mm] \not= [/mm] f(x) ?
analog für x < [mm] \wurzel{2} [/mm] ,ist x(n)< [mm] \wurzel{2} \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N ,also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x(n)) =? = oder [mm] \not= [/mm] f(x) ?
in meinem buch steht da geschrieben:
f stetig in a , falls [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] f(x) =f(a)
jetzt versteh ich nichts mehr?
vor allen dingen glaube ich ,dass sich f1 stetigkeit dann auch noch anders zeigen lassen muss.
kann mir jemand helfen? es sollen alle pkte gefunden werden indenen die f´s stetig sind.wäre einer vorgegeben ,ists schon wieder eine andere geschichte.
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Es dürfte klar sein, dass sowohl f1 als auch f2 in ihren jeweiligen zwei Ästen stetig sind. Entscheidend ist also der Punkt, an dem die Äste überlappen.
Für f1 ist das der Punkt x=0. Der linksseitige Grenzwert ist 2*0 = 0, der rechtsseitige Grenzwert ist 3*0 = 0, der Funktionswert ist 3*0 = 0. Alle drei stimmen überein, also in x=0 stetig.
Für f2 ist das der Punkt [mm] x=\wurzel{2}. [/mm] Wenn du nun wie bei f1 argumentierst, kommst du der Wahrheit nahe. Ich warte auf deinen Vorschlag.
Für [mm] f2:\IQ\to\IR [/mm] ist [mm] x=\wurzel{2} [/mm] nicht im Definitionsbereich, folglich ist die Frage nach Stetigkeit dort nicht relevant.
Dafür ist die Frage, ob man f2 in diesem Punkt stetig fortsetzen kann, interessant. Offensichtlich ist der linksseitige Grenzwert ungleich dem rechtsseitigen Grenzwert. Zudem ist [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR, [/mm] d.h. man kann Folgen in [mm] \IQ [/mm] angeben, die links- bzw. rechtsseitig gegen [mm] \wurzel{2} [/mm] konvergieren. Folglich kann man [mm] f2(\wurzel{2}) [/mm] keinen Wert zuordnen, so dass [mm] f2:\IQ\cup\wurzel{2}\to\IR [/mm] in [mm] \wurzel{2} [/mm] stetig wäre.
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danke dass du reinschaust oliver.das mit dem seitgen grenzwerten ist eine tolle idee, ich weiss nicht recht wie mit [mm] \varepsilon [/mm] umzugehen,weil ich mir den sachverhalt nicht richtig vorstellen kann.
also bei f2 müsste das dann sein
Der linksseitige Grenzwert ist für x gegen [mm] \wurzel{2} [/mm] :
-1 + [mm] \wurzel{2} [/mm]
der rechtsseitige Grenzwert ist
1 + [mm] \wurzel{2} [/mm]
der Funktionswert ist
nicht existent,da [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ [/mm] und somit f( [mm] \wurzel{2} [/mm] ) nicht existiert
also ist doch für x= [mm] \wurzel{2} [/mm] die funktion dort unstetig ,aber sonst überall in [mm] \IQ [/mm] stetig nach dem zwischenwertsatz ,da sich beide äste in genau einem pkt schneiden.
ich hoffe du könntest mich netterweise korrigieren ,da du ja sagtest die
funktion f2 sei überall stetig.
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jemand anderes darf aber auch korrigieren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Fr 15.12.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Pumpernickel!
Stetigkeit ist überhaupt nur für Punkte aus dem Def.-bereich einer Funktion definiert (guck irgend ein Buch oder Wiki), und deswegen brauchen wir uns um x = [mm] \wurzel{2} [/mm] nicht zu kümmern.
[mm] f_{2} [/mm] ist in allen Punkten, in denen sie definiert ist, auch stetig.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Fr 15.12.2006 | | Autor: | AriR |
kann man bei f2 auch folgendermaßen argumentieren:
[mm] \lim_{x\to\sqrt2}(von [/mm] links) f2(x) < [mm] \sqrt2-1< \sqrt2+1 <\lim_{x\to\sqrt2}(von [/mm] rechts) f2(x)
daher
[mm] \lim_{x\to\sqrt2}(von links)f2(x)\not=\lim_{x\to\sqrt2}(von [/mm] rechts) f2(x)
von daher ist auch f2 nicht stetig in [mm] \sqrt2
[/mm]
scheint mir auf jeden fall recht logisch.
wäre nett, wenn ihr hierzu auch ein kommentar abgeben könntet.
gruß ari
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo alle zusammen,
ja, dass ist die eleganteste Methode um zu zeigen, dass [mm] $f_2$ [/mm] nicht im Punkt [mm] $x=\sqrt{2}$ [/mm] stetig-fortsetzbar ist. Also genau so funktioniert das.
(Zu der Funktion [mm] $f_1$ [/mm] wurde schon alles gesagt, d.h. [mm] $f_1$ [/mm] stetig fortsetzbar auf ganz [mm] $\IR$, $f_2$ [/mm] ist stetig für die Bereiche [mm] $x<\sqrt{2}$ [/mm] und für [mm] $x>\sqrt{2}$, [/mm] aber nicht stetig auf [mm] $\IR$.
[/mm]
Ciao
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wieso ist f stetig für x ungleich wurzel 2?
es werden doch die rationalen zahlen (definitionsbereich) auf die reellen zahlen abgebildet und somit (rechts-bzw.linksseitiger grenzwert werden nie
gleich sein. oder irre ich mich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:00 Sa 16.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(x) ist in JEDEM Punkt des Definiitionsbereiches stetig, es wird ja in nicht auf [mm] \IR [/mm] abgebildet. d,h, [mm] \wurzel{2} [/mm] kommt als f(x) nicht vor! Im ganzen Def. Bereich gibt es zu JEDEM [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta! [/mm] Wenn du dich an die Stetigkeitsdef. hältst ist es klar.
Gruss leduart
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