stop-loss order < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Di 06.12.2011 | | Autor: | ich_ich |
Hallo...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich versuche seit ein paar Tagen zu zeigen, dass die stop-loss Ordnung eine anti-symmetrische Ordnungsrelation auf der Menge der Verteilungsfunktionen ist.
Dazu habe ich die stop-loss-Ordnung wie folgt definiert:
Seien [mm] X_1, X_2 [/mm] integrierbare Zufallsvariblen: Dann heißt [mm]X_1[/mm] kleiner als [mm] X_2[/mm] bezüglich der stop-loss Ordnung, wenn für alle [mm] c \in \IR [/mm] gilt:
[mm] E[(X_1 - c)_+] \le E[(X_2 - c)_+] [/mm]
Ich habe bereits gezeigt, dass [mm]= E[(X - c)_+] = \integral_{c}^{\infty} 1 - F_X(x) d\lambda(x)[/mm].Dabei ist [mm]F_X [/mm] die Verteilungsfunktion von X.
Nun möchte ich zeigen, wenn [mm] E[(X_1 - c)_+] \le E[(X_2 - c)_+] [/mm] und [mm] E[(X_2 - c)_+] \le E[(X_1 - c)_+] [/mm], dann ist die Verteilung von [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] gleich.
Mit obiger Integraldarstellung kann ich zeigen, dass für alle [mm] a \le b [/mm] gilt:
[mm] \integral_{a}^{b} F_{X_1} (x) d \lambda(x) = \integral_{a}^{b} F_{X_2} (x) d \lambda(x) [/mm].
Und nun komme ich nicht so recht weiter... Da ich doch eigentlich nicht von der Gleichheit der Integrale auf die Gleichheit der Verteilungsfunktion schließen kann, da bekomme ich doch ein Problem mit den Nullmengen des Lebesgue-Maßes, oder doch nicht?? Oder anderes ausgedrückt, ist mir nicht so recht klar, auf den Nullmengen passiert. Falls ich das Problem jetzt zu kurz oder verwirrend beschrieben habe, dann kann ich es auch gern noch ausführlicher formulieren...
Ich wäre für den ein oder anderen Tipp sehr dankbar!
|
|
| |
|
> Hallo...
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich versuche seit ein paar Tagen zu zeigen, dass die
> stop-loss Ordnung eine anti-symmetrische Ordnungsrelation
> auf der Menge der Verteilungsfunktionen ist.
>
> Dazu habe ich die stop-loss-Ordnung wie folgt definiert:
>
> Seien [mm]X_1, X_2[/mm] integrierbare Zufallsvariblen: Dann heißt
> [mm]X_1[/mm] kleiner als [mm]X_2[/mm] bezüglich der stop-loss Ordnung, wenn
> für alle [mm]c \in \IR[/mm] gilt:
>
> [mm]E[(X_1 - c)_+] \le E[(X_2 - c)_+][/mm]
>
> Ich habe bereits gezeigt, dass [mm]= E[(X - c)_+] = \integral_{c}^{\infty} 1 - F_X(x) d\lambda(x)[/mm].Dabei
> ist [mm]F_X[/mm] die Verteilungsfunktion von X.
>
> Nun möchte ich zeigen, wenn [mm]E[(X_1 - c)_+] \le E[(X_2 - c)_+][/mm]
> und [mm]E[(X_2 - c)_+] \le E[(X_1 - c)_+] [/mm], dann ist die
> Verteilung von [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] gleich.
>
> Mit obiger Integraldarstellung kann ich zeigen, dass für
> alle [mm]a \le b[/mm] gilt:
>
> [mm]\integral_{a}^{b} F_{X_1} (x) d \lambda(x) = \integral_{a}^{b} F_{X_2} (x) d \lambda(x) [/mm].
>
> Und nun komme ich nicht so recht weiter... Da ich doch
> eigentlich nicht von der Gleichheit der Integrale auf die
> Gleichheit der Verteilungsfunktion schließen kann, da
> bekomme ich doch ein Problem mit den Nullmengen des
> Lebesgue-Maßes, oder doch nicht?? Oder anderes
> ausgedrückt, ist mir nicht so recht klar, auf den
> Nullmengen passiert. Falls ich das Problem jetzt zu kurz
> oder verwirrend beschrieben habe, dann kann ich es auch
> gern noch ausführlicher formulieren...
>
> Ich wäre für den ein oder anderen Tipp sehr dankbar!
>
Die Nullmengen scheinen mir kein wirkliches Problem, da Verteilungsfunktionen rechtsstetig sind.
Wenn du also annimmst, dass [mm] F_X(x_0)
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Di 06.12.2011 | | Autor: | ich_ich |
Danke erstmal für die wahnsinnig schnelle Antwort!
Ich habe noch ein kleines Verständnisproblem... Ich dachte, wenn ich weiß, dass $ [mm] \integral_{a}^{b} F_{X_1} [/mm] (x) d [mm] \lambda(x) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b} F_{X_2} [/mm] (x) d [mm] \lambda(x) [/mm] $ gilt, dann ist [mm] $F_{X_1}= F_{X_2}$ [/mm] auf dem Intervall [a,b], außer auf den Nullmengen, die im Intervall enthalten sind. Oder habe ich da noch irgendetwas falsch verstanden?
Aber ich müsste mit deiner Argumentation und wegen der monotonen Konvergent zum Ziel kommen..
|
|
|
| |
|
Hallo ich_ich,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Danke erstmal für die wahnsinnig schnelle Antwort!
>
> Ich habe noch ein kleines Verständnisproblem... Ich
> dachte, wenn ich weiß, dass [mm]\integral_{a}^{b} F_{X_1} (x) d \lambda(x) = \integral_{a}^{b} F_{X_2} (x) d \lambda(x)[/mm]
und die Integrale auf allen Intervallen [mm] [c,d]\subset[a,b] [/mm] übereinstimmen
> gilt, dann ist [mm]F_{X_1}= F_{X_2}[/mm] auf dem Intervall [a,b],
> außer auf den Nullmengen, die im Intervall enthalten sind.
> Oder habe ich da noch irgendetwas falsch verstanden?
Im Allgemeinen folgt aus
[mm] $\int_a^b [/mm] f d [mm] \lambda(x)=\int_a^b [/mm] g d [mm] \lambda(x)$
[/mm]
für alle [mm] $a\le [/mm] b$, dass
[mm] $\int_a^b [/mm] (f-g) d [mm] \lambda(x)=0$
[/mm]
für alle [mm] $a\le [/mm] b$, es stimmen f und g also bis auf eine Nullmenge überein.
>
> Aber ich müsste mit deiner Argumentation und wegen der
> monotonen Konvergent zum Ziel kommen..
Ja, mit donquijottes Tipp kannst du zum Beispiel schnell ein Widerspruchbeweis machen.
LG
|
|
|
|
