strecke von f(x) in I [a;b] < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mi 25.05.2005 | | Autor: | nina182 |
hallo,
also ich habe eine beliebige funktion f(x), von der ich nur weiß, dass sie differenzierbar und stetig ist. der verlauf des graphen ist also völlig egal.
Dann lege ich ein Intervall I[a;b] fest.
Jetzt will ich die länge der strecke zwischen den beiden x-werten a und b von dem Graphen ermitteln.
dazu hab ich zunächst das intervall in ganz viele kleine stücke [mm] \Deltax [/mm] zerlegt.
über [mm] \Delta(x) [/mm] kann ich dann noch aussagen, dass:
[mm] \Delta(x)= x_{i+1}- x_{i}
[/mm]
und [mm] x_{i}=\Delta(x)*i+a
[/mm]
wenn man dann noch ein wenig weiterrechnet, dann kommt man für irgendein stück dieser strecke [mm] \Delta(s_{i})= \wurzel{1+ (\bruch{f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}})^{2}}
[/mm]
so un jetzt soll ich über die summe dieser stücke s bestimmen für [mm] f(x)=x^{2} [/mm] und wenn ich des dann einsetz und so dann kommt bei mir was absolut komisches raus, was nicht stimmen kann...... und außerdem fehlt mir dann eine passende summenformel........ wäre also schön, wenn irgenjemand eine idee hätte wie man das nun am besten weiter angeht.....
so zu guter letzt dann noch, ich hab diese frage noch in keinem anderen forum gepostet.
lg nina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> hallo,
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> also ich habe eine beliebige funktion f(x), von der ich nur
> weiß, dass sie differenzierbar und stetig ist. der verlauf
> des graphen ist also völlig egal.
> Dann lege ich ein Intervall I[a;b] fest.
> Jetzt will ich die länge der strecke zwischen den beiden
> x-werten a und b von dem Graphen ermitteln.
>
> dazu hab ich zunächst das intervall in ganz viele kleine
> stücke [mm]\Deltax[/mm] zerlegt.
> über [mm]\Delta(x)[/mm] kann ich dann noch aussagen, dass:
> [mm]\Delta(x)= x_{i+1}- x_{i}[/mm]
>
> und [mm]x_{i}=\Delta(x)*i+a[/mm]
>
> wenn man dann noch ein wenig weiterrechnet, dann kommt man
> für irgendein stück dieser strecke [mm]\Delta(s_{i})= \wurzel{1+ (\bruch{f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}})^{2}}[/mm]
>
> so un jetzt soll ich über die summe dieser stücke s
> bestimmen für [mm]f(x)=x^{2}[/mm] und wenn ich des dann einsetz und
> so dann kommt bei mir was absolut komisches raus, was nicht
> stimmen kann...... und außerdem fehlt mir dann eine
> passende summenformel........ wäre also schön, wenn
> irgenjemand eine idee hätte wie man das nun am besten
> weiter angeht.....
>
> so zu guter letzt dann noch, ich hab diese frage noch in
> keinem anderen forum gepostet.
>
> lg nina
Hallo Nina,
also du sollst die Länge des Graphen von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] im Intervall
$I$ mit den Grenzen $a,b$ bestimmen. Ich bin dabei ![[]](/images/popup.gif) hierauf
gestoßen. Ich bezweifle zwar, dass ihr in der 11 schon Integralrechnung
macht, aber auch Summen sind in der 11 höchst selten, deshalb können
wir es ja mal mit der Formel versuchen.
Also die Formel lautet [mm] $\displaystyle [/mm] L = [mm] \int_c^d \sqrt{1 + f^\prime(x)^2}\,dx\ [/mm] $ und unsere Funtkion
[mm] $f(x)=x^2 \rightarrow [/mm] f'(x)=2x$
Eingesetzt:
[mm] $L=\int_a^b \sqrt{1+(2x)^2} [/mm] dx$
[mm] $L=\int_a^b \sqrt{1+4x^2} [/mm] dx$
[mm] $L=\int_a^b (1+4x^2)^\frac{1}{2} [/mm] dx$
Vielleicht kommst du von hier schon alleine weiter.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein,
so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 27.05.2005 | | Autor: | nina182 |
hallo fugre,
danke erstmal für deine hilfe.
wir haben zwar schon mit integration angefangen und auch schon mit substitutionen gearbeitet, aber ich hab keine ahnung wie ich [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] { [mm] \wurzel{1+4* x^{2}} [/mm] dx}
integrieren soll. wenn ich substituieren will, dann hab ich das problem, dass das x nicht raus fällt.....
wäre schön, wenn du oder einer eine idee hättest/hättet.
lg nina
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Hallo,
> danke erstmal für deine hilfe.
> wir haben zwar schon mit integration angefangen und auch
> schon mit substitutionen gearbeitet, aber ich hab keine
> ahnung wie ich [mm]\integral_{0}^{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\wurzel{1+4* x^{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> dx}
hier hilft die Substitution
[mm]\begin{array}{l}
2x\; = \;\sinh \;t \\
2\;dx\; = \;\cosh \;t\;dt \\
\end{array}[/mm]
weiter.
Wird die Substitution in das Integral eingesetzt, so folgt:
[mm]\int\limits_{0}^{1} {\sqrt {1\; + \;4x^{2} } \;dx} \; = \;\int\limits_{0}^{ar\sinh \;2} {\frac{1}{2}\;\cosh ^{2} t\;dt} [/mm]
Dieses Integral läßt sich durch partielle Integration lösen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Fr 27.05.2005 | | Autor: | nina182 |
hallo,
könntest du vielleicht deinen eingabefehler korrigieren, des wäre nett.
und für was steht denn bitte sinh und cosh für sin und cos???
lg nina
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Hallo Nina,
> und für was steht denn bitte sinh und cosh für sin und
> cos???
Nein, diese Funktionen werden folgendermaßen definiert:
[m]\begin{gathered}
\sinh \left( x \right): = \frac{{e^x }}
{2} - \frac{{e^{ - x} }}
{2} \hfill \\
\cosh \left( x \right): = \frac{{e^x }}
{2} + \frac{{e^{ - x} }}
{2} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Durch das Ableiten kann man jetzt feststellen, daß
[mm] $\cosh' [/mm] x = [mm] \sinh [/mm] x$
[mm] $\sinh' [/mm] x = [mm] \cosh [/mm] x$
gilt.
Es gilt ferner:
[mm] $\cosh^2 [/mm] x - [mm] \sinh^2 [/mm] x = 1$ (!)
Jetzt zu deiner Frage; Du willst [m]\int {\sqrt {1 + 4x^2 } } \mathrm{d}x[/m] auf eine geschlossene Form bringen.
Wir benutzen also den Tip von MathePower:
[m]\int {\sqrt {1 + 4x^2 } } \mathrm{d}x\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
x\left( t \right): = \frac{{\sinh \left( t \right)}}
{2} \\
x'\left( t \right) = \frac{{\cosh \left( t \right)}}
{2}
\end{subarray}} \int {\sqrt {1 + 4\frac{{\sinh ^2 t}}
{4}} \frac{{\cosh \left( t \right)}}
{2}} \mathrm{d}t = \int {\sqrt {1 + \sinh ^2 t} \frac{{\cosh \left( t \right)}}
{2}} \mathrm{d}t\mathop = \limits^{\left( \red{!} \right)} \int {\sqrt {\cosh ^2 t} \frac{{\cosh \left( t \right)}}
{2}} \mathrm{d}t = \frac{1}
{2}\int {\cosh ^2 \left( t \right)} \mathrm{d}t[/m]
Jetzt müssen wir das neue Integral auf eine geschlossene Formel bringen:
[m]\begin{gathered}
\int {\cosh ^2 \left( t \right)} \mathrm{d}t = \int {\underbrace {\cosh \left( t \right)}_{u'}\underbrace {\cosh \left( t \right)}_v} \mathrm{d}t\mathop = \limits^{{\text{partielle Integration}}} \overbrace {\sinh \left( t \right)}^u\overbrace {\cosh \left( t \right)}^v - \int {\overbrace {\sinh \left( t \right)}^u\overbrace {\sinh \left( t \right)}^{v'}} \mathrm{d}t\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{Wir ''ziehen''}} \\
{\text{das Minus ins}} \\
{\text{Integral und benutzen}} \\
{\text{die Formel bei }}\left( \red{!} \right) \\
\end{subarray}} \sinh \left( t \right)\cosh \left( t \right) + \int {1 - \cosh ^2 \left( t \right)} \mathrm{d}t \hfill \\
= \sinh \left( t \right)\cosh \left( t \right) + \int 1 \mathrm{d}t - \int {\cosh ^2 \left( t \right)} \mathrm{d}t = \sinh \left( t \right)\cosh \left( t \right) + t - \int {\cosh ^2 \left( t \right)} \mathrm{d}t \hfill \\
\red{\Leftrightarrow} 2\int {\cosh ^2 \left( t \right)} \mathrm{d}t = \sinh \left( t \right)\cosh \left( t \right) + t \Leftrightarrow \int {\cosh ^2 \left( t \right)} \mathrm{d}t = \frac{{\sinh \left( t \right)\cosh \left( t \right) + t}}
{2} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Jetzt setzen wir dieses Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung ein, und erhalten folgenden Term auf der rechten Seite:
[m]\frac{{\sinh \left( t \right)\cosh \left( t \right) + t}}
{4}[/m]
Jetzt führen wir die Rücksubstitution durch:
[m]\frac{{\sinh \left( t \right)\cosh \left( t \right) + t}}
{4} = \frac{{\sinh t}}
{2}*\frac{{\cosh t}}
{2} + \frac{t}
{4}\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
x\left( t \right) = \frac{{\sinh t}}
{2} = \frac{{e^t }}
{4} - \frac{{e^{ - t} }}
{4} \Rightarrow 4x = e^t - \frac{1}
{{e^t }} = \frac{{e^{2t} - 1}}
{{e^t }} \Leftrightarrow 4xe^t + 1 = \left( {e^t } \right)^2 \\
\Leftrightarrow - \left( {e^t } \right)^2 + 4xe^t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {e^t } \right)^2 - 4xe^t - 1 = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\begin{subarray}{l}
{\text{quadratische}} \\
{\text{Gleichung}}
\end{subarray}} e^t = \sqrt {4x^2 + 1} + 2x \\
\Rightarrow t = \ln \left( {\sqrt {4x^2 + 1} + 2x} \right)
\end{subarray}} \frac{{\sinh t}}
{2}*\frac{{\sqrt {1 + \sinh ^2 t} }}
{{\sqrt 4 }} + \frac{t}
{4} = \frac{{\sinh t}}
{2}*\sqrt {\frac{1}
{4} + \left( {\frac{{\sinh t}}
{2}} \right)^2 } + \frac{t}
{4} = x\sqrt {\frac{1}
{4} + x^2 } + \frac{{\ln \left( {\sqrt {4x^2 + 1} + 2x} \right)}}
{4}[/m]
Also gilt:
[m]\int {\sqrt {1 + 4x^2 } } \mathrm{d}x = x\sqrt {\frac{1}
{4} + x^2 } + \frac{{\ln \left( {\sqrt {4x^2 + 1} + 2x} \right)}}
{4}[/m]
Grüße
Karl
[P.S. Diese Art der Substitution hat den Vorteil, daß Du für das gleiche Integral aber mit anderen Integrationsgrenzen die Grenzen bei der Substitution nicht wieder neu berechnen mußt. Du brauchst also nicht immer wieder neu zu integrieren, sondern kannst gleich den obigen geschlossenen Ausdruck verwenden.]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Fr 27.05.2005 | | Autor: | nina182 |
hallo karl_pech,
vielen dank für den ausführlichen lösungsweg, auch wenn ich bis jetz noch nichts von sinh oder cosh gehört habe. ich werd mich noch mal damit befassen und gegebenenfalls nochmal am montag mit meinem mathelehrer sprechen...
ich wünsch noch ein schönes wochenende
lg nina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mi 25.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 Möglichkeiten: 1. wenn du für f(x) [mm] x^{2} [/mm] einsetzt, findest du dass du durch [mm] x_{i+1}-x_{i} [/mm] kürzen kannst. es bleibt dann [mm] (x_{i+1}+x_{i})^{2} [/mm] für kleine [mm] \Delta [/mm] Ù ist das [mm] (2*x_{i})^{2}
[/mm]
oder du siehst, dass der Ausdruck für [mm] x_{i+1}-x_{i} [/mm] sehr klein die Ableitung von f(x) ist. dann steht da [mm] \wurzel{1+f'^{2}(x)}
[/mm]
wirklich ne Summenformel gibts für die Wurzel nicht. Aber das Integral ist der Grenzwerd der Summe für kleine [mm] \Delta [/mm] x:
Ich glaub mehr will dein Lehrer nicht, als eins von den beiden
Gruss leduart
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