streng monoton fallend < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Folge [mm] e_n [/mm] = (1+(1/n))^(n) streng monoton fallend |
Hey @ all,
für streng monoton wachsend habe ich folgendes heraus:
Es gilt:
[mm] 1>(e_{n+1} [/mm] / [mm] e_n) [/mm] = (1+(1/(n+1))^(n+1)) / (1+(1/n)^(n)) = [mm] ((n+2)^{n+1}*n^n) [/mm] / [mm] ((n+1)^{2*n+1}) [/mm] = ((n+1)/n) * [mm] (1-(1/(n+1)^2)^{n+1}
[/mm]
Bernoullische Ungleichung
((n+1)/n) * [mm] (1-(1/(n+1)^2)^{n+1} [/mm] > ((n+1)/n) * (1-(1/(n+1)) = 1
Also gilt [mm] e_n [/mm] < e_(n+1) d.h. [mm] (e_n) [/mm] ist tsreng monoton wachsend
Muss ich nun von der Lösung ausgehen für die obige Frage?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Folge [mm]e_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= (1+(1/n))^(n) streng monoton fallend
das ist Unsinn - vielleicht geht's um ${((1+1/n)}^{\red{n+1}})}_n$?!
> Hey @ all,
> für streng monoton wachsend habe ich folgendes heraus:
> Es gilt:
> [mm]1>(e_{n+1}[/mm] / [mm]e_n)[/mm] = (1+(1/(n+1))^(n+1)) / (1+(1/n)^(n)) =
> [mm]((n+2)^{n+1}*n^n)[/mm] / [mm]((n+1)^{2*n+1})[/mm] = ((n+1)/n) *
> [mm](1-(1/(n+1)^2)^{n+1}[/mm]
> Bernoullische Ungleichung
> ((n+1)/n) * [mm](1-(1/(n+1)^2)^{n+1}[/mm] > ((n+1)/n) * (1-(1/(n+1))
> = 1
Ich rechne das gleich nochmal nach, irgendwie hast Du das sehr unschön
aufgeschrieben (damit meine ich eigentlich nur "abgetippt": Brüche kannst Du
so schreiben: [mm] $\frac{1}{n}$!).
[/mm]
Ich kann Dir aber sagen, dass [mm] ${((1+1/n)^n)}_n$ [/mm] mit Sicherheit
eine streng monoton wachsende Folge ist, die gegen [mm] $e\,$ [/mm] konvergiert - sofern man
oft auch [mm] $e\,$ [/mm] als Grenzwert dieser Folge definiert!
> Also gilt [mm]e_n[/mm] < e_(n+1)
Für alle [mm] $n\,$!
[/mm]
> d.h. [mm](e_n)[/mm] ist tsreng monoton
> wachsend
>
>
> Muss ich nun von der Lösung ausgehen für die obige
> Frage?
Nein - wenn Du Lust hast, kannst Du ja mal Deine Lösung einfach
mit ![[]](/images/popup.gif) Beispiel 5.13Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
vergleichen.
Auf jeden Fall ist die obige Aufgabe falsch formuliert. Und wie gesagt:
${((1+1/n)}^{\red{n+1}})}_n$
wäre eine streng monoton fallende Folge!
P.S. Kannst Du das mal ein wenig sortieren? Ich meine, wieso fängst Du mit
$1 > \frac{e_{n+1}}{e_n}$ an - da steht dann ja schon eine Behauptung! Wie wäre
es, wenn Du einfach $\frac{e_{n+1}}{e_n}$ ausrechnest, und dann begründest, dass
dieser Bruch stets $ < 1\,$ sein muss (man beachte auch $e_n > 0$ für alle $n\,$!)
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Sorry, in der Tat handelt es sich um
[mm] e_n:= (1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] |
Danke für das Beispiel 
Wie kann ich dann bei der oben genannten Funktion beweisen dass Sie streng monoton fallend ist ?
Danke
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Hallo,
eine Folge reeller Zahlen $ [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] $ ist streng monoton fallend, wenn
$ [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] $ für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $
Beweise das mittels vollständiger Induktion für $ [mm] (e_n)_{n \in \IN} [/mm] $
Viele Grüße,
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry, in der Tat handelt es sich um
> [mm]e_n:= (1+\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm]
> Danke für das Beispiel
> Wie kann ich dann bei der oben genannten Funktion beweisen
> dass Sie streng monoton fallend ist ?
> Danke
"grob": Zeige zunächst [mm] $e_n [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Danach beachte, dass
deswegen:
[mm] $$e_{n+1} [/mm] < [mm] e_n \iff \frac{e__n}{e_{n+1}} [/mm] > 1$$
gilt. Das sollte bei der strengen Monotonie helfen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Tipp zur Monotonie:
[mm] $$\frac{e_n}{e_{n+1}}=\ldots=\left(\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}\right)^{n+1}*\frac{n+1}{n+2}\,.$$
[/mm]
Schreibe nun [mm] $\tfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}$ [/mm] in die Form [mm] $1+x\,$ [/mm] und verwende
danach Bernoulli! (Man braucht hier auch keine Induktion, wie man so
sieht!)
Gruß,
Marcel
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