streng monoton wachsend DGl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] f'(x)=1+(f(x))^2, [/mm] f(0)=0 |
Hallo,
ich bin neu hier und hoffe, dass ich nicht eine ähnliche Aufgabe übersehen habe.
Also ich habe diese Aufgabe gestellt bekommen, und soll nun mit Hilfe der DGL zeigen, dass f streng monoton wachsend ist.
Die allg. Bedingungen für streng monoton wachsend ist ja:
[mm] \forall a,b\in [/mm] A:a<b [mm] \Rightarrow [/mm] f(xa)<f(xb)
Nun weiss ich leider nicht, was bei dieser DGL nun A sein soll.
Ich habe erstmal bis f^(4) abgeleitet und konnte sehen, dass der Wert stark ansteigt, aber wie schreiben ich das math. richtig auf?
Also habe gerechnet:
[mm] f'(x)=1+(f(x))^2 \Rightarrow f'(0)=1+(f(0))^2=1+0=1
[/mm]
[mm] f''(x)=2(f'(x))\Rightarrow [/mm] f''(0)=2*(f'(0))=2*1=2
[mm] f^3(x)=2(f''(x))\Rightarrow f^3(0)=2*(f''(0))=2*2=4
[/mm]
[mm] f^4(x)=2(f^3(x))\Rightarrow f^4(0)=2*(f^3(0))=2*4=8
[/mm]
Kann ich alleine mit den Ableitungen arbeiten?
Ich meine, man kann ja erkennen, bei [mm] f^n, [/mm] dass der Wert stark ansteigt.
Oder besser einen anderen Lösungsansatz?
Danke erstmal vorab
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hi,
Nun, die Aufgabe wird einfach, wenn du weißt, was eine weitere Bedingung für die strenge Monotonie ist. Denk da speziell an die Ableitung (sowas wie größer/kleiner Null).
Falls ihr diesen Satz nicht hattet, könntest du ihn auch schnell beweisen.
Du könntest natürlich auch weiterhin einfach versuchen, die DGL zu lösen.
Das Prinzip was du mit den Ableitungen verfolgst, kann ich nicht wirklich nachvollziehen. Bin deinen Erklärungen sehr aufgeschlossen.
|
|
|
| |
|
Also ich habe mal nachgeschlagen und erkläre mir es nun so:
wenn die Ableitung nirgendwo negativ (bzw. positiv) ist, dann ist sie monoton wachsend (bzw. fallend) und auf keinem echten Teilintervall konstant gleich null ist.
Ist es etwa diese mir fehlende Bedingung??
Das wäre ja super, dann könnte ich ja bereits nach der ersten Ableitung argumentieren.
Die Ableitungen hatte ich nur durchgeführt, da ich als 2. Aufgabe das Taylorpolynom Grad 3 berechnen sollte mit x0=0 und ich damit begonnen hatte als ich bei der ersten nicht weiter wusste.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Mo 16.12.2013 | | Autor: | chrisno |
Selbst da bist Du schon zu weit. Schau in die DGL. Da steht direkt das streng monoton wachsend.
|
|
|
| |
|
Das heißt:
weil in der DGL ein 1+ steht oder weil f(x) zum Quadrat ist?
Also da hat mir die erste Antwort mehr geholfen, falls ich sie richtig gedeutet hab.
Ich habe mich ja bereits damit ja beschäftigt und nachgelesen, aber was fehlt mir nun ??
Werde ja natürlich selber damit rechnen und versuchen logisch zu argumentieren, aber da ich mit DGL meine Schwierigkeiten habe, wäre es von Vorteil zumindest zu wissen, ob ich mit der Ableiungsbedingung nun richtig lag.
|
|
|
| |
|
Abend,
> Das heißt:
> weil in der DGL ein 1+ steht oder weil f(x) zum Quadrat
> ist?
Absolut. Denn es ist ja
[mm] \underbrace{1}_{>0}+\underbrace{(f(x))^2}_{>0}>0
[/mm]
Und somit gilt die strenge Monotonie.
ABER!
Du musst eben aufpassen: Hattet ihr den Satz, dass dies gilt? Also steht das wirklich so in deinen Aufzeichnungen der Vorlesung?
Wenn ja: Dann benutze dies.
Wenn nein: Dann kannst du es nicht benutzen. Du könntest die Behauptung mit der Ableitung dann aber noch schnell zeigen (Mittelwertsatz der Differentialrechnung).
>
> Also da hat mir die erste Antwort mehr geholfen, falls ich
> sie richtig gedeutet hab.
> Ich habe mich ja bereits damit ja beschäftigt und
> nachgelesen, aber was fehlt mir nun ??
> Werde ja natürlich selber damit rechnen und versuchen
> logisch zu argumentieren, aber da ich mit DGL meine
> Schwierigkeiten habe, wäre es von Vorteil zumindest zu
> wissen, ob ich mit der Ableiungsbedingung nun richtig lag.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Di 17.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Alles richtig, aber zur Sicherheit: [mm] (f(x))^2\ge0, [/mm] also [mm] \underbrace{1}_{>0}+\underbrace{(f(x))^2}_{\ge0}>0
[/mm]
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:01 Di 17.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Man kann das AWP
$ [mm] f'(x)=1+(f(x))^2, [/mm] $ f(0)=0
auch locker lösen (TDV). Die eindeutig bestimmte Lösung ist
f(x)= [mm] \tan(x) [/mm] für x [mm] \in [/mm] (- [mm] \bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}).
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo FRED,
> Man kann das AWP
>
> [mm]f'(x)=1+(f(x))^2,[/mm] f(0)=0
>
> auch locker lösen (TDV). Die eindeutig bestimmte Lösung
> ist
>
Trennung der Variablen?
> f(x)= [mm]\tan(x)[/mm] für x [mm]\in[/mm] (- [mm]\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}).[/mm]
Ich komme nicht darauf. Kannst du das bitte erklären?
[mm] \frac{df}{dx}=1+f^2\Rightarrowd [/mm] $f=dx+f^2dx$
Wie trennst du das?
>
>
> FRED
LG, Bjoern
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:42 Di 17.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> > Man kann das AWP
> >
> > [mm]f'(x)=1+(f(x))^2,[/mm] f(0)=0
> >
> > auch locker lösen (TDV). Die eindeutig bestimmte Lösung
> > ist
> >
> Trennung der Variablen?
> > f(x)= [mm]\tan(x)[/mm] für x [mm]\in[/mm] (- [mm]\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}).[/mm]
>
> Ich komme nicht darauf. Kannst du das bitte erklären?
> [mm]\frac{df}{dx}=1+f^2\Rightarrowd[/mm] [mm]f=dx+f^2dx[/mm]
> Wie trennst du das?
[mm] \bruch{df}{1+f^2}=dx
[/mm]
FRED
> >
> >
> > FRED
>
> LG, Bjoern
|
|
|
| |
|
Hallo FRED und danke für deine Antwort, aber ich komme noch immer nicht darauf!
> > Hallo FRED,
> >
> > > Man kann das AWP
> > >
> > > [mm]f'(x)=1+(f(x))^2,[/mm] f(0)=0
> > >
> > > auch locker lösen (TDV). Die eindeutig bestimmte Lösung
> > > ist
> > >
> > Trennung der Variablen?
> > > f(x)= [mm]\tan(x)[/mm] für x [mm]\in[/mm] (- [mm]\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}).[/mm]
>
> >
> > Ich komme nicht darauf. Kannst du das bitte erklären?
> > [mm]\frac{df}{dx}=1+f^2\Rightarrowd[/mm] [mm]f=dx+f^2dx[/mm]
> > Wie trennst du das?
>
>
> [mm]\bruch{df}{1+f^2}=dx[/mm]
[mm] \Rightarrow \arctan(x)-\arctan(x_0)=y-y_0\Rightarrow \arctan(x)-\arctan(0)=y-0\Rightarrow \arctan(x)=y
[/mm]
Wo ist mein Fehler?
>
> FRED
> > >
> > >
> > > FRED
> >
> > LG, Bjoern
>
LG, Bjoern
|
|
|
| |
|
Hallo Björn,
> Hallo FRED und danke für deine Antwort, aber ich komme
> noch immer nicht darauf!
>
> > > Hallo FRED,
> > >
> > > > Man kann das AWP
> > > >
> > > > [mm]f'(x)=1+(f(x))^2,[/mm] f(0)=0
> > > >
> > > > auch locker lösen (TDV). Die eindeutig bestimmte Lösung
> > > > ist
> > > >
> > > Trennung der Variablen?
> > > > f(x)= [mm]\tan(x)[/mm] für x [mm]\in[/mm] (- [mm]\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}).[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich komme nicht darauf. Kannst du das bitte erklären?
> > > [mm]\frac{df}{dx}=1+f^2\Rightarrowd[/mm] [mm]f=dx+f^2dx[/mm]
> > > Wie trennst du das?
> >
> >
> > [mm]\bruch{df}{1+f^2}=dx[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \arctan(x)-\arctan(x_0)=y-y_0\Rightarrow \arctan(x)-\arctan(0)=y-0\Rightarrow \arctan(x)=y[/mm]
>
> Wo ist mein Fehler?
Integrierst du [mm]\frac{1}{1+f^2} \ df \ = \ 1 \ dx[/mm] auf beiden Seiten, so erhältst du
[mm]\int{\frac{1}{1+f^2} \ df} \ = \ \int{1 \ dx}[/mm] und damit
[mm]\arctan(f)=x+c[/mm]
Die Integrationskonstanten auf beiden Seiten kannst du zu einer (c) verrechnen
Das gilt es nach [mm]f[/mm] aufzulösen, also den Tangens drauf schmeißen
[mm]f=f(x) \ = \ \tan(x+c)[/mm]
Nun die Anfangsbedingung einbauen: [mm]f(0)=\tan(c)=0[/mm], also [mm]c=0[/mm]
Damit ergibt sich Freds Lösung
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo und auch dir ein Dankeschön für die schnelle Antwort!
> Hallo Björn,
>
> > Hallo FRED und danke für deine Antwort, aber ich komme
> > noch immer nicht darauf!
> >
> > > > Hallo FRED,
> > > >
> > > > > Man kann das AWP
> > > > >
> > > > > [mm]f'(x)=1+(f(x))^2,[/mm] f(0)=0
> > > > >
> > > > > auch locker lösen (TDV). Die eindeutig bestimmte
> Lösung
> > > > > ist
> > > > >
> > > > Trennung der Variablen?
> > > > > f(x)= [mm]\tan(x)[/mm] für x [mm]\in[/mm] (- [mm]\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}).[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ich komme nicht darauf. Kannst du das bitte
> erklären?
> > > > [mm]\frac{df}{dx}=1+f^2\Rightarrowd[/mm] [mm]f=dx+f^2dx[/mm]
> > > > Wie trennst du das?
> > >
> > >
> > > [mm]\bruch{df}{1+f^2}=dx[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow \arctan(x)-\arctan(x_0)=y-y_0\Rightarrow \arctan(x)-\arctan(0)=y-0\Rightarrow \arctan(x)=y[/mm]
>
> >
> > Wo ist mein Fehler?
>
> Integrierst du [mm]\frac{1}{1+f^2} \ df \ = \ 1 \ dx[/mm] auf beiden
> Seiten, so erhältst du
>
> [mm]\int{\frac{1}{1+f^2} \ df} \ = \ \int{1 \ dx}[/mm] und damit
>
> [mm]\arctan(f)=x+c[/mm]
Hier war mein Fehler!
Ich habe berechnet: [mm] \integral_{x_0}^{x}{\frac{1}{1+f^2}df}=\integral_{y_0}^{y}{dx}.
[/mm]
Richtig ist: [mm] \integral_{y_0}^{y}{\frac{1}{1+f^2}df}=\integral_{x_0}^{x}{dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \arctan(y)-\arctan(y_0)=x-x_0\Rightarrow \arctan(y)-\arctan(0)=x-0\Rightarrow \arctan(y)=x\Rightarrow [/mm] $y=tan(x)$
>
> Die Integrationskonstanten auf beiden Seiten kannst du zu
> einer (c) verrechnen
>
> Das gilt es nach [mm]f[/mm] aufzulösen, also den Tangens drauf
> schmeißen
>
> [mm]f=f(x) \ = \ \tan(x+c)[/mm]
>
> Nun die Anfangsbedingung einbauen: [mm]f(0)=\tan(c)=0[/mm], also
> [mm]c=0[/mm]
>
> Damit ergibt sich Freds Lösung
So geht es natürlich auch!
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
LG, Bjoern
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Di 17.12.2013 | | Autor: | helixsteff |
Ich möchte mich für die Hilfen und schnellen Antworten noch mal bedanken.
Habe ohne TdV gearbeitet, da wir dies noch nicht hatten, bzw. eigentlich haben wir noch gar nicht viel mit DGL gearbeitet. Ich hoffe es reicht meinem Tutor!
Wünsche noch schönen Advent
|
|
|
|
