strikt konvexe funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} [/mm] eine strikt konvexe, stetig diffbare Funktion. Zeigen Sie, dass für b>a die Relation
[mm] \frac{f(x)-f(b)}{x-b}>\frac{f(a)-f(b)}{a-b} [/mm] für alle x in (a,b) erfüllt ist. |
Hallo,
also ich habe das versucht, aber es klappt nicht so ganz. Zunächst ist f' ja streng monoton wachsend.
Dann gibt es nach Mittelwertsatz ein [mm] \xi\in[x,b]:f'(\xi)=\frac{f(x)-f(b)}{x-b} [/mm] und ein [mm] \eta\in[a,b]:f'(\eta)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}. [/mm] Die Frage ist, warum dann [mm] \xi>\eta [/mm] ist. Wenn man das mal so aufzeichnet muss das ja auch so sein, aber ich konnte es formal bisher nicht begründen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $x=\lambda [/mm] a + [mm] (1-\lambda) [/mm] b$
Oder mal einfach in Worten: Die rechte Seite der Ungleichung ist die Steigung der Geraden durch Anfangs- und Endpunkt. (d.h. (a,f(a)) und (b,f(b))
Weil die Funktion streng konvex ist, liegt f(x) auf jeden Fall unterhalb dieser Geraden, also muß auch die Durchschnittsteigung von (x,f(x)) nach (b,f(b)) größer sein.
ciao
Stefan
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