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Forum "Integration" - substitutionsregel
substitutionsregel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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substitutionsregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 So 27.04.2008
Autor: Toni908

Aufgabe
Zeigen Sie
a) Ist f : [-a; a]-> [mm] \IR [/mm] eine gerade Funktion, dann ist
[mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=2\integral_{0}^{a}{f(x) dx} [/mm]

b) Ist f : [-a; a]| -> [mm] \IR [/mm] eine ungerade Funktion, dann ist

[mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx}=0 [/mm]
c) Berechnen Sie [mm] \integral_{-1}^{1}{x² dx}=. [/mm] Warum ist die Substitutionsregel t = x² hier nicht anwendbar ?

Hallo,

bei a) und b) wüsste ich nicht wie ich das beweisen könnte.

bei c) habe ich 4 ausgerechnet. Die substitutionsregel kann man hier nicht anwenden, da man ein ganz anderes ergebnis bekommt wenn man t integriert oder wenn man x² integriert. Das wäre mein Argument dazu.

Also für a) und b) bräuchte ich noch hilfe.

LG Toni

        
Bezug
substitutionsregel: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 So 27.04.2008
Autor: Loddar

Hallo Toni!


Berechne bei Aufgabe a.) und b.) das entsprechende Integral [mm] $\integral_{-a}^{a}{f(x) \ dx}$ [/mm] .

Verwende anschließnd die Eigenschaft für gerade bzw. ungerade Funktionen.

gerade Funktion:  $f(x) \ = \ f(-x)$

ungerade Funktion:  $f(x) \ = \ -f(-x)$

Zudem sollta man wissen, dass Integration einer geraden Funktion eine  ungerade Funktion entsteht und umgekehrt.


Gruß
Loddar


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substitutionsregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 So 27.04.2008
Autor: Toni908

Hallo Loddar

[mm] \integral_{-a}^{a}{f(-x) dx}=F(a)-F(-a)=2 [/mm] F(a)



[mm] \integral_{-a}^{a}{-f(-x) dx}=-F(a)+F(-a)=0 [/mm]

meinst du es so?



Bezug
                        
Bezug
substitutionsregel: nicht ganz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 So 27.04.2008
Autor: Loddar

Hallo Toni!


> [mm]\integral_{-a}^{a}{f(-x) dx}=F(a)-F(-a)=2[/mm] F(a)

[ok]


> [mm]\integral_{-a}^{a}{-f(-x) dx}=-F(a)+F(-a)=0[/mm]

[notok] Wo "zauberst" Du das Minuszeichen im Integral her?


Gruß
Loddar


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substitutionsregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 So 27.04.2008
Autor: Toni908

Hallo

ich habe aus von deinem Tipp die ungerade Funktion genommen. Dann habe ich wohl falsch integriert?


[mm] \integral_{-a}^{a}{-f(-x) dx}=F(a)+F(-a)=0 [/mm]



Bezug
                                        
Bezug
substitutionsregel: nicht richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 So 27.04.2008
Autor: Loddar

Hallo Toni!


Nochmal: wo kommen denn die Minuszeichen im Integral her? Integriere zunächst und wende anschließend die Eigenschaft für gerade bzw. ungerade Funktion an.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
substitutionsregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 So 27.04.2008
Autor: HJKweseleit

Man müsste eigentlich noch beweisen, dass das Integral einer geraden Fkt. ungerade ist und umgekehrt. Für Polynome ist das trivial, aber sonst?

Deshalb:


a) Ist f : [-a; a]-> [mm]\IR[/mm] eine gerade Funktion, dann ist
[mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx} =\integral_{-a}^{0}{f(x) dx} + \integral_{0}^{a}{f(x) dx} =\integral_{-a}^{0}{f(-x) dx} + \integral_{0}^{a}{f(x) dx} [/mm]
                             (wegen f gerade)

Setze nun y=-x und damit dy=-dx , Vorzeichen bei Grenze ändert sich ebenfalls...
[mm]=\integral_{a}^{0}{f(y)(-dy)} + \integral_{0}^{a}{f(x) dx} = - \integral_{a}^{0}{f(y)(dy)} + \integral_{0}^{a}{f(x) dx}[/mm] jetzt Grenzen vertauschen und Vorzeichen

[mm]=\integral_{0}^{a}{f(y)(dy)} + \integral_{0}^{a}{f(x) dx} =2* \integral_{0}^{a}{f(x)[/mm], da beide Integrale den selben Wert geben und nur andere Variablen enthalten (Puristen substituieren nochmals x=y).

b) kannst du analog berechnen, das erste Integral bekommt ein anderes Vorzeichen (jeweils) und hebt sich dann mit dem zweiten Integral auf.




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