sum 1/k < wurzel(2n) < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Sa 31.10.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | Zu zeigen ist das
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/k < [mm] \wurzel{2n} [/mm] |
Bisher haben wir nur die Induktion kennengelernt, allerdings bringt die mich nicht wirklich weiter.
Induktionsvoraussetzung:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/k < [mm] \wurzel{2n}
[/mm]
Induktionsanfang: n = 1
[mm] \summe_{i=1}^{1} [/mm] 1/k = 1/1 = 1 < [mm] \wurzel{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2n}
[/mm]
Induktionsvoraussetzung gelte für alle n >= 1
Induktionsschritt:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] 1/k = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/k + 1/(n+1) < [mm] \wurzel{2n} [/mm] + 1/(n+1)
Und nun?
Ich muss dazu sagen, das wir die Konvergenz von Folgen zuletzt definiert haben. Leider nicht die von Reihen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Sa 31.10.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Das ist leider nicht alles definiert bei uns. Aber Cauchy-Schwarz ist:
[mm] \vmat{ \summe_{i=1}^{n} 1/i } \le \wurzel{\summe_{i=1}^{n} (1)^2} \wurzel{ \summe_{i=1}^{n}(i^{-1})^2 } [/mm] = [mm] \wurzel{n} \wurzel{\summe_{i=1}^{n} (i^{-1})^2} \le \wurzel{2n}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{\summe_{i=1}^{n} (i^{-1})^2} \le \wurzel{2} \gdw \summe_{i=1}^{n} (i^{-1})^2 \le \wurzel{2}
[/mm]
Was du bis hier auch gezeigt hast. Euler und Pi darf allerdings nicht verwendet werden.
Gibt es andere Wege?
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Hallo Zusammen,
Seht euch diese Aufgabe an. Wenn die dortige Induktion wirklich stimmt, gilt zusammen mit Karls Aussage: [mm]\textstyle\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k^2}}\mathrel{\textcolor{blue}{\le}}\textcolor{blue}{2-\frac{1}{n}}<2[/mm].
Gruß V.N.
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Guten Morgen,
Den Induktionsschritt, den du gemacht hast begreife ich auch noch nicht so ganz. Ist es nicht eher so, dass man [mm] \(n+1\) [/mm] für [mm] \(n\) [/mm] einsetzt?
Somit kommt man auf die Ungleichung (die Summenvariable ist doch [mm] \(k\) [/mm] und nicht [mm] \(i\), [/mm] oder?):
[mm] \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k} =\frac{1}{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} [/mm] < [mm] \sqrt{2(n+1)}
[/mm]
Wenn du nun aus der Wurzel [mm] \(2n\) [/mm] ausklammerst, kannst du dieses Produkt als zwei Wurzeln schreiben und anschließend die gesamte Ungleichung durch diese Wurzel teilen. Mach es geschickt, damit die Summe quasi elliminiert wird. Die übrigbleibende Ungleichung brauchst du nur noch geschickt umzuformen, so dass zu sehen ist, dass sie stimmt.
Viel Erfolg noch,
pi-roland.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 So 01.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Klar, habe ich. Auf [mm] \wurzel{2n} [/mm] wollte ich mit der Ungleichung noch schließen. Nun wurde ein schöner Weg über Cauchy-Schwarz-Ungleichung gezeigt, den ich gerne weiter verfolgen würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 So 01.11.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
laut Induktionsvoraussetzung gelte
1+ 1/2+ ... +1/n < [mm] \wurzel{2n}
[/mm]
Beidseitige Addition von 1/(n+1) liefert
1+ 1/2+ ... +1/n +1/(n+1)< [mm] \wurzel{2n}+1/(n+1)
[/mm]
Die Induktionsbehauptung hingegen ist
1+ 1/2+ ... +1/n +1/(n+1)< [mm] \wurzel{2n+2}.
[/mm]
Diese Behauptung ist gewiesen, wenn du die Gültigkeit der Kettenungleichung
1+ 1/2+ ... +1/n +1/(n+1)< [mm] \wurzel{2n}+1/(n+1) [/mm] < [mm] \wurzel{2n+2} [/mm] nachweisen kannst.
Der vordere Teil entspricht der Folgerung aus der Induktionsbehauptung, du kannst dich also voll auf den Nachweis von [mm] \wurzel{2n}+1/(n+1) [/mm] < [mm] \wurzel{2n+2} [/mm] konzentrieren.
Es gilt
[mm] \wurzel{2n}+1/(n+1) [/mm] < [mm] \wurzel{2n+2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1/(n+1) < [mm] \wurzel{2n+2}-\wurzel{2n} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{\wurzel{2n+2}+\wurzel{2n}}{n+1}<(\wurzel{2n+2}-\wurzel{2n})((\wurzel{2n+2}+\wurzel{2n})
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{\wurzel{2n+2}+\wurzel{2n}}{n+1}<2
[/mm]
Der Bruch lässt sich in zwei Summanden zerlegen, von denen der erste [mm] \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{n+1}} [/mm] ist (und der zweite ist geringfügig kleiner).
Wenn also [mm] \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{n+1}} [/mm] <1 nachgewiesen werden könnte, ist auch der zweite Summand kleiner als 1 und damit die Summe kleiner als 2.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 So 01.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Sehr sehr coole Lösung. Da ist der eine Schritt drin den ich die ganze Zeit vergesse:
[mm] \wurzel{2n} [/mm] + 1/(n+1) < [mm] \wurzel{2n+2}
[/mm]
Das geht ja gut zu zeigen.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:30 Di 03.11.2009 | | Autor: | fred97 |
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> Induktionsvoraussetzung gelte für alle n >= 1
Wenn Du das voraussetzt, brauchst Du nichts mehr beweisen !!!
FRED
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Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung
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