summe, produkt von iid ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1.) Let X~Cauchy(1), and Y=exp(X). What is the law of Y?
2.) Let X~N(0,1) and Y=X². What is the law of Y?
3.) Let X,Y ~ Unif[0,1] and Z=X+Y. What is the law of Z?
4.) Let X,Y ~N(0,1) and Z=Y/X. what is the law of Z? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bräuchte Hilfe um diese Aufgaben zu lösen.
zu den Aufgaben 2. - 4. habe ich lösungsansätze aber immer noch verständnisprobleme.
Ich fange mal mit der aufgabe Nr.2 an.
Also für 2 ZV gilt: [mm] f_X_*_Y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(t)*f_Y(z-t)\, [/mm] dt,
für X, Y unabhängig.
Tja, nun ist Y=X²=X*X ja nicht unbedingt unabhängig. Trotzdem würde ich intuitiv behaupten, dass auch X*X ~ N(0,1). Aber wahrscheinlich kann ich die Formel nicht anwenden?
zu 3.)
Hier gilt die Unabhängigkeit.
Das bedeutet: [mm] f_X_+_Y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_X(t)+f_Y(z-t)\, [/mm] dt, ,
wobei f(t) = 1 für [mm] t\in[0,1] [/mm] und f(z-t) = 1 für [mm] z-t\in[0,1].
[/mm]
In die Formel eingesetzt wäre es ja nur [mm] f_X_+_Y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} 1\, [/mm] dt,. Ich hab im Internet oft gelesen, dass man dabei die Integrationsgrenzen ändern muss/kann. Aber mir wird nicht klar warum. Abgesehen davon weiß ich, dass ich letztendlich bei der Dreiecksverteilung ankommen muss.
zu 4.) Hier das selbe problem. Ich hab keine schwierigkeiten damit, diese Formel hier zu benutzen: [mm] f_X_/_Y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \left| t \right|f_X(z*t)*f_Y(t)\, [/mm] dt, = [mm] \bruch{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} [/mm] t [mm] exp(\bruch{-t^2}{2}(z^2+1) \,dt,
[/mm]
Wie komme ich hier zu meinen richtigen Integrationsgrenzen?
Die Lösung wäre dann, dass Z~cauchy(1) ist.
Zur 1.) aufgabe habe ich noch keine idee.
Vielen Dank im Voraus
|
|
| |
|
Hallo wimalein und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> 1.) Let X~Cauchy(1), and Y=exp(X). What is the law of Y?
> 2.) Let X~N(0,1) and Y=X². What is the law of Y?
> 3.) Let X,Y ~ Unif[0,1] and Z=X+Y. What is the law of Z?
> 4.) Let X,Y ~N(0,1) and Z=Y/X. what is the law of Z?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich bräuchte Hilfe um diese Aufgaben zu lösen.
>
> Zur 1.) aufgabe habe ich noch keine idee.
Nun, hier hilft der Transformationssatz für Dichten weiter:
Ist [mm]X[/mm] ZV mit Dichte [mm]f_X[/mm] und [mm]T:\IR\to\IR[/mm] diffbar mit [mm]T'>0[/mm] oder [mm]T'<0[/mm] und [mm]T(\IR)=(a,b)[/mm], so hat die Verkettung [mm]T\circ X[/mm] die Dichte:
[mm]f_{T\circ X}(y)=\begin{cases} \frac{f_X\left(T^{-1}(y)\right)}{\left|T'\left(T^{-1}(y)\right)\right|}, & \mbox{fuer } y\in (a,b) \\
0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
Hier ist [mm] $T(x)=\exp(X)$ [/mm] ...
Rechne es einfach geradeheraus aus
>
> Vielen Dank im Voraus
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Di 15.02.2011 | | Autor: | wimalein |
| Aufgabe | | 1.) Let X~Cauchy(1), and Y=exp(X). What is the law of Y? |
Hallo,
gut, vom Transformationssatz hoer ich zum ersten Mal. Vielen Dank fuer deinen Tipp.
Ich weiss nicht, ob es jetzt in Ordnung ist, wenn ich meine vermeidliche Loesung poste. Ich will nur mal sicher gehen, dass ichs richtig verstanden habe.
Also Y=T(X)=exp(X), daher ist [mm] T^{-1}(X)=logY [/mm]
Nun folgt: [mm] \IF_Y(y)=\IP(Y\le y)=\IP(X\le logy)=\IF_X(logy)=\IF_X(T^{-1}(x))=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{\pi}*arctan(logy)
[/mm]
um deine Formel nutzen zu Koennen leite ich natuerlich die Verteilungsfunktion nach y ab um die Dichtefunktion zu erhalten, setze ein und bekomme als Ergebnis:
[mm] f_Y(y)=\bruch{1}{\pi}*(\bruch{1}{1+log^2y})*\bruch{1}{y}*\bruch{1}{y}=\bruch{1}{\pi*y^2*(1+log^2y)}
[/mm]
okay, soweit so gut. Ich hoffe ich hab mich jetzt nicht grob verrechnet, aber das Prinzip hab ich verstanden.
Vielen vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Di 15.02.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
kleine Korrektur: Mathematica liefert
$ [mm] f_Y(y)\bruch{1}{\pi\cdot{}\red{y}\cdot{}(1+\log^2y)} [/mm] $.
Dein Ergebnis wird als nicht konvergent ausgewiesen.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Di 15.02.2011 | | Autor: | wimalein |
Hmmm,
also die formel fuer die Dichtetransformation (so hab ich es jetzt herausgefunden) ist [mm] f_Y(y)=f_X(T^{-1}(y))*\bruch{dT^{-1}(y)}{dy}.
[/mm]
Hier waere doch [mm] f_X(T^{-1}(y)) [/mm] das was du schreibst und dann kaeme doch noch das [mm] \bruch{dT^{-1}(y)}{dy}=\bruch{1}{y} [/mm] hinzu. Deswegen das [mm] y^2 [/mm] im Nenner.
Aber andererseits wundere ich mich auch, warum [mm] f_Y(y)=f_X(T^{-1}(y)) [/mm] nicht gilt, wenn [mm] \IF_Y(y)=\IF_X(T^{-1}(y)) [/mm] doch gilt.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hmmm,
> also die formel fuer die Dichtetransformation (so hab ich
> es jetzt herausgefunden) ist
> [mm]f_Y(y)=f_X(T^{-1}(y))*\bruch{dT^{-1}(y)}{dy}.[/mm]
Die Formel kenne ich etwas anders, siehe oben. Da steht im Nenner dann [mm]|T'(T^{-1}(y))|[/mm]
>
> Hier waere doch [mm]f_X(T^{-1}(y))[/mm] das was du schreibst
Nein, [mm]X\sim C_1[/mm] mit Dichte [mm]f_{X}(x)=\frac{1}{\pi}\cdot{}\frac{1}{1+x^2}[/mm]
Wenn du da als Argument statt [mm]x[/mm] nun [mm]T^{-1}(y)=\ln(y)[/mm] reinstopfst, steht doch da
[mm]f_X(T^{-1}(y))=f_X(\ln(y))=\frac{1}{\pi}\cdot{}\frac{1}{1+\ln^2(y)}[/mm]
Hinzu kommt ein y im Nenner aus dem [mm]T'(T^{-1}(y))=\exp(\ln(y))=y[/mm]
> und
> dann kaeme doch noch das
> [mm]\bruch{dT^{-1}(y)}{dy}=\bruch{1}{y}[/mm] hinzu. Deswegen das [mm]y^2[/mm]
> im Nenner.
>
> Aber andererseits wundere ich mich auch, warum
> [mm]f_Y(y)=f_X(T^{-1}(y))[/mm] nicht gilt, wenn
> [mm]\IF_Y(y)=\IF_X(T^{-1}(y))[/mm] doch gilt.
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
was willst du bei 2) mit der Faltung?
Das ist doch wie in 1) eine Dichtetrafo.
Beachte hier, dass die Funktion [mm]T(x)=x^2[/mm] nicht alle Vor. des Trafosatzes erfüllt.
"Zum Glück" ist die gegebene Verteilung von [mm]X[/mm] symmetrisch um 0, also
[mm]X\sim N_{0,1}[/mm] hat Dichte [mm]f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot{}e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot{}1_{\IR}(x)[/mm]
Betrachte stattdessen, die Verteilung bzw. die Dichte von [mm]|X|[/mm]:
[mm]f_{|X|}=\red{2}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot{}e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot{}1_{\IR^+}(x)[/mm]
Außerdem ist [mm]|X|^2=X^2[/mm] ...
Was sagt also der Trafosatz für Dichten?
Um die Verteilung von [mm]X^2[/mm] am Ende zu klassifizieren, schaue dir die Dichte der Gammaverteilung an und beachte, dass [mm]\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Di 15.02.2011 | | Autor: | wimalein |
Hallo,
also bei der 2. Aufgabe geht es nicht so einfach, da [mm] Y=T(X)=X^2 [/mm] in [mm] (-\infty,0) [/mm] monoton fallend ist und in [mm] (0,\infty) [/mm] monoton wachsend.
Das bedeutet fuer die Verteilungsfunktion [mm] \IF_Y(y)=\left\{\begin{matrix}
\IF_X(\wurzel{y}) \\
1-\IF_X(\wurzel{y})
\end{matrix}\right.
[/mm]
fuer [mm] f_X(\wurzel{y}) [/mm] dann dementsprechend auch nicht eindeutig.
okay, betrachte ich nun [mm] \begin{vmatrix}
X
\end{vmatrix}
[/mm]
[mm] f_{|X|}(\wurzel{y})=2\cdot{}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot{}e^{-\frac{y}{2}}\cdot{}1_{\IR^+}(x)
[/mm]
In die Dichtetransformationsformel eingesetzt ergaebe sich nun [mm] \frac{1}{\sqrt{2y\pi}}\cdot{}e^{-\frac{y}{2}}\cdot{}1_{\IR^+}(x)=f_{|Y|}(y).
[/mm]
Und nun bin ich noch etwas ueberfragt, wie ich den Betrag wieder loswerde.
Allerdings ist es ja so schon, die Gammaverteilung mit [mm] a=b=\bruch{1}{2}.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo,
> also bei der 2. Aufgabe geht es nicht so einfach, da
> [mm]Y=T(X)=X^2[/mm] in [mm](-\infty,0)[/mm] monoton fallend ist und in
> [mm](0,\infty)[/mm] monoton wachsend. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das bedeutet fuer die Verteilungsfunktion
> [mm]\IF_Y(y)=\left\{\begin{matrix} \IF_X(\wurzel{y}) \\
1-\IF_X(\wurzel{y}) \end{matrix}\right.[/mm]
>
> fuer [mm]f_X(\wurzel{y})[/mm] dann dementsprechend auch nicht
> eindeutig.
>
> okay, betrachte ich nun [mm]\begin{vmatrix} X \end{vmatrix}[/mm]
>
> [mm]f_{|X|}(\wurzel{y})=2\cdot{}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot{}e^{-\frac{y}{2}}\cdot{}1_{\IR^+}(x)[/mm]
>
> In die Dichtetransformationsformel eingesetzt ergaebe sich
> nun
> [mm]\frac{1}{\sqrt{2y\pi}}\cdot{}e^{-\frac{y}{2}}\cdot{}1_{\IR^+}(x)=f_{|Y|}(y).[/mm]
>
> Und nun bin ich noch etwas ueberfragt, wie ich den Betrag
> wieder loswerde.
Es ist doch [mm]T\circ|X|=|X^2|=X^2[/mm], also bist du ihn schon los 
>
> Allerdings ist es ja so schon, die Gammaverteilung mit
> [mm]a=b=\bruch{1}{2}.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nicht ganz, es ist doch [mm]\frac{1}{\sqrt{2y\pi}}\cdot{}e^{-\frac{y}{2}}=\frac{1}{\blue{2}^{\red{\frac{1}{2}}}\cdot{}\Gamma\left(\red{\frac{1}{2}}\right)}\cdot{}y^{\red{\frac{1}{2}}-1}\cdot{}e^{-\frac{y}{\blue{2}}}[/mm]
Das ist die Dichte von [mm]\Gamma_{\blue{2},\red{\frac{1}{2}}[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Mi 16.02.2011 | | Autor: | wimalein |
Vielen vielen Dank für die Hilfe.
die beiden nichtbesprochenen Aufgaben hab ich soweit auch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 15.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
