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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Sa 29.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo, ich hab eeine frage, gibt es eien möglichkeit rechnerisch summenformeln herzuleiten also so wie
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
es gibt hier einen link, der mir jedoch nicht ganz verständlich ist..könnte das jemand präzisieren??
http://www.matheboard.de/archive/374348/thread.html
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> Hallo, ich hab eine frage, gibt es eine möglichkeit
> rechnerisch summenformeln herzuleiten also so wie
> [mm]\summe_{i=1}^{n}i\ =\ \bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
> es gibt hier einen link, der mir jedoch nicht ganz
> verständlich ist..könnte das jemand präzisieren??
> http://www.matheboard.de/archive/374348/thread.html
Wenn wir die dort erwähnte Eigenschaft verwenden,
dass die Summenformel für ein Polynom n-ten
Grades durch ein Polynom vom nächsthöheren
Grad n+1 dargestellt werden kann, so haben wir
für das vorliegende Beispiel also:
$\ P(n)=n$ (Polynom 1.Grades)
$\ [mm] Q(n)=a*n^2+b*n+c$ [/mm] (Polynom 2.Grades)
mit $\ [mm] Q(n)=\summe_{i=1}^{n}P(i)$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
Dies ist natürlich ein sehr starker Satz. Es geht nun
nur noch darum, die Koeffizienten a,b,c der quadrati-
schen Funktion zu berechnen.
Dazu berechnest du z.B. Q(1), Q(2), Q(3) durch
addieren und erhältst dann durch Einsetzen in
die Gleichung drei lineare Gleichungen für a,b und c.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Sa 29.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
was meisnt du mit das ist ein sehr starker satz??
kannst du es einmal exemplarisch vorrechnen bitte, weil ich nicht genau weis was ich jetzt mit was gleichsetzten soll..vielen dank schon mal
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> was meinst du mit das ist ein sehr starker satz ??
Der Satz liefert ein Rezept zum Aufstellen von
Summenformeln für alle polynomialen Zahlenfolgen.
Beispiel:
$\ [mm] a_n=12n^5-7n^4+3n^3+n^2-8n+5$
[/mm]
$\ [mm] s_k=\summe_{n=1}^{k}a_n=\ [/mm] ?$
> kannst du es einmal exemplarisch vorrechnen bitte, weil
> ich nicht genau weiss was ich jetzt mit was gleichsetzten
> soll..vielen dank schon mal
$\ Q(1)=1 [mm] =a*1^2+b*1+c$
[/mm]
$\ Q(2)=1+2=3 [mm] =a*2^2+b*2+c$
[/mm]
$\ Q(3)=1+2+3=6 [mm] =a*3^2+b*3+c$
[/mm]
also:
$\ (1)\ a+ b+ c=1$
$\ (2)\ 4a+2b+c=3$
$\ (3)\ 9a+3b+c=6$
Alles klar ?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Sa 29.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
kann ich den satz denn auch für ein polynom benutzen das nen bruch hat also wie die am anfang genannte summenformel asu Post #1 von mir oder geht sie nru für polynome?
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Dein post #1 enthält ja keinen Bruch, in dem die Variable im Nenner stünde.
Der Satz gilt für Polynome mit ganzzahligen positiven Exponenten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 So 30.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
entschuldigung aber noch eine frage
bei folgen wie
[mm] 1^1+2^2+3^3 ....n^n
[/mm]
funktioniert dieser weg also nicht
und wenn man sowas hat wie
1+2+4+8...2^(n)
kann man dann als Polynom 2^(n+1) nehmen , aber wie würde das gleichungssystem dort aussehen?? kann das mal jemand skizzieren bitte
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Das sind in der Tat völlig andere Fälle, und der von Al-Chwarizmi angeführte Satz gilt ganz offensichtlich nicht. Die Folgen sind ja nicht polynomial, sondern exponentiell formuliert.
Meines Wissens gibt es da keine allgemeine Regel, aber schon ein paar bekannte Vorgehensweisen. Für die von dir angegebene geometrische Reihe ist es z.B. einfach, eine explizite Darstellung von [mm] a_n [/mm] zu finden (wie Dir ja offenbar bewusst ist).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Sa 29.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
was ist denn ganu gemeint mit
"Dazu berechnest du z.B. Q(1), Q(2), Q(3) durch
addieren und erhältst dann durch Einsetzen in
die Gleichung drei lineare Gleichungen für a,b und c"
was ist den Q? wie sieht das gelichungssystem denn aus?
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Aber das Al-Chwarizmi hier doch schon vorgeführt. Q(k) erhältst Du durch Einsetzen in die zu ermittelnde Summe mit n=k.
edit:
sorry, ich kriegs irgendwie nicht hin, den Beitrag von Al-Chwarizmi zu verlinken. Es ist sein zweiter in dieser Diskussion.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Sa 29.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das was du fragst hat Al doch im ersten post fuer die Bezeichnungen gesagt, im letzten stehen die Gleichungen.
Lass dir doch was Zeit die osts zu lesen, vielleicht auch einen weiter vorn noch mal!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Sa 29.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hi,
ja das stimmt ich muss mich entschuldigen.
Ich hätte präziser formulieren sollen, was ist denn genau das was ich als koeffizienten rausbekomme? nachdem ich mit Q(1) , Q(2), Q(3) gleichgesetzt habe??
$ \ (1)\ a+ b+ c=1 $
$ \ (2)\ 4a+2b+c=3 $
$ \ (3)\ 9a+3b+c=6 $
für welchen polynom steht das jetzt denn? doch für meinen am anfang vorgeschlagenen udn nicht den aus post 4 oben ?
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Auflösung eines linearen Gleichungssystems - aus der Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 1&1&1 \\ 4 & 2&1&3 \\ 9&3&1&6 }
[/mm]
erhältst Du durch geeignete Umformung (Gauß-Algorithmus):
[mm] \pmat{ 1 & 1&1&1 \\ 0 & 2&3&1 \\ 0&0&1&0 }
[/mm]
also [mm] \a{}c=0, b=\bruch{1}{2}, a=\bruch{1}{2}
[/mm]
mithin das Ergebnis [mm] \summe_{i=1}^{n}i=\bruch{1}{2}n^2+\bruch{1}{2}n=\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 So 30.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
was mache ich denn jetzt aber bei zahlenfolgen, wo der grad des polynoms nicht klar ist also z.B.
[mm] 1^2+3^2+5^2.....(2*n-1)^2
[/mm]
kann man jetzt hier von einem polynom dritten grades ausgehen?
oder wenn die folge lautet
3+7+11.....(4n-1) kann man dann von einem quadratischen polynom ausgehen?
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Wieso "nicht klar"? Wie kommst Du denn zu Deinen (richtigen!) Annahmen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 So 30.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo
ich hab den satz mala uf die folge
1*2+2*3+3*4.....
angewendet und es funktioniert nicht...doch liegt hier doch eine einheitliche hochzahl vor oder??
hab ich mich verrechnet oder darf man den satz hhier nicht anwenden?
welche möglichkeiten gibt es denn sonst zur ermittlung von summenformeln gibt es einen geziehlten weg zu raten?
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Wie hast Du ihn denn angewandt?
Bei deiner Folge [mm] a_n=n*(n+1) [/mm] funktioniert er doch hervorragend!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 So 30.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
also Q (1)= 2
Q(2)= 8
Q(3)=20
a+b+c=1
4a+2b+c=8
9a+3b+c=20
a=3
b=-3
c=2
aber die richtige summenformel heißt:
[mm] \bruch{n(n+1)*(n+2)}{3}
[/mm]
das ista ber nicht [mm] 3n^2-3n+2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 So 30.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Polynom ist zu niedrig, du musst eines dritten Grades ansetzen, also 4 Unbekannte.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 30.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
ja aber weshalb denn ?? bzw woher weis ich das bis jetzt war es immer so..die foleg hat doch den exponenten 1 udnd er höhere grad ist dann 2 oder?
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Die Folge hat den Grad 2, wie ich schon angedeutet habe:
[mm] a_n=n(n+1)=...?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 30.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ich hab das jetzt mal ausprobiert aber es funkzt nicht
also der polynom mpsste sein
[mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
folge ist :1*2+2*3+3*4 ...
Q(1)=2
Q(2)=8
Q(3)=22
Q(4)=42
dann hab ich das gleichungssystem aufgestellt udn gelöst ich bekomme heraus
[mm] (-1/3)n^3+6n^2-\bruch{29}{3}n+6
[/mm]
wenn ich aber die richtige summenformel ausmultipliziere ergibt sie :
[mm] \bruch{n(n+1)(n+2)}{3}= \bruch{n^3}{3}+n^2+\bruch{2*n}{3}
[/mm]
was hab ich den falsch gemacht?
edit:
es funtkioniert natürlich alles entschuldigung
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> hallo,
> ich hab das jetzt mal ausprobiert aber es funkzt nicht
> also das polynom müsste sein
> [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> folge ist :1*2+2*3+3*4 ...
> Q(1)=2
> Q(2)=8
> Q(3)=22 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
3*4=12 8+12=?
> Q(4)=42
> dann hab ich das gleichungssystem aufgestellt und gelöst
> ich bekomme heraus
> [mm](-1/3)n^3+6n^2-\bruch{29}{3}n+6[/mm]
mit den falschen Q-Werten ging's natürlich schief ...
> wenn ich aber die richtige summenformel ausmultipliziere
> ergibt sie :
> [mm]\bruch{n(n+1)(n+2)}{3}= \bruch{n^3}{3}+n^2+\bruch{2*n}{3}[/mm]
>
> was hab ich denn falsch gemacht?
siehe oben !
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